More spec additions, and some minor clean-up.
[opus.git] / doc / draft-ietf-codec-opus.xml
index ba5db9d..bd01b67 100644 (file)
@@ -1,8 +1,8 @@
-<?xml version='1.0'?>
+<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
 <!DOCTYPE rfc SYSTEM 'rfc2629.dtd'>
 <?rfc toc="yes" symrefs="yes" ?>
 
-<rfc ipr="trust200902" category="std" docName="draft-ietf-codec-opus-03">
+<rfc ipr="trust200902" category="std" docName="draft-ietf-codec-opus-06">
 
 <front>
 <title abbrev="Interactive Audio Codec">Definition of the Opus Audio Codec</title>
@@ -19,7 +19,7 @@
 <country>Canada</country>
 </postal>
 <phone>+1 514 282-8858</phone>
-<email>jean-marc.valin@octasic.com</email>
+<email>jmvalin@jmvalin.ca</email>
 </address>
 </author>
 
 </address>
 </author>
 
+<author initials="T." surname="Terriberry" fullname="Timothy Terriberry">
+<organization>Mozilla Corporation</organization>
+<address>
+<postal>
+<street>650 Castro Street</street>
+<city>Mountain View</city>
+<region>CA</region>
+<code>94041</code>
+<country>USA</country>
+</postal>
+<phone>+1 650 903-0800</phone>
+<email>tterriberry@mozilla.com</email>
+</address>
+</author>
 
-<date day="15" month="February" year="2011" />
+<date day="7" month="July" year="2011" />
 
 <area>General</area>
 
@@ -47,8 +61,8 @@
 
 <abstract>
 <t>
-This document describes the Opus codec, designed for interactive speech and audio 
-transmission over the Internet.
+This document defines the Opus codec, designed for interactive speech and audio
+ transmission over the Internet.
 </t>
 </abstract>
 </front>
@@ -57,205 +71,607 @@ transmission over the Internet.
 
 <section anchor="introduction" title="Introduction">
 <t>
-We propose the Opus codec based on a linear prediction layer (LP) and an
-MDCT-based enhancement layer. The main idea behind the proposal is that
-the speech low frequencies are usually more efficiently coded using
-linear prediction codecs (such as CELP variants), while the higher frequencies
-are more efficiently coded in the transform domain (e.g. MDCT). For low 
-sampling rates, the MDCT layer is not useful and only the LP-based layer is
-used. On the other hand, non-speech signals are not always adequately coded
-using linear prediction, so for music only the MDCT-based layer is used.
+The Opus codec is a real-time interactive audio codec composed of a linear
+ prediction (LP)-based layer and a Modified Discrete Cosine Transform
+ (MDCT)-based layer.
+The main idea behind using two layers is that in speech, linear prediction
+ techniques (such as CELP) code low frequencies more efficiently than transform
+ (e.g., MDCT) domain techniques, while the situation is reversed for music and
+ higher speech frequencies.
+Thus a codec with both layers available can operate over a wider range than
+ either one alone and, by combining them, achieve better quality than either
+ one individually.
 </t>
 
 <t>
-In this proposed prototype, the LP layer is based on the 
-<eref target='http://developer.skype.com/silk'>SILK</eref> codec 
-<xref target="SILK"></xref> and the MDCT layer is based on the 
-<eref target='http://www.celt-codec.org/'>CELT</eref>  codec
- <xref target="CELT"></xref>.
+The primary normative part of this specification is provided by the source code
+ in <xref target="ref-implementation"></xref>.
+In general, only the decoder portion of this software is normative, though a
+ significant amount of code is shared by both the encoder and decoder.
+<!--TODO: Forward reference conformance test-->
+The decoder contains significant amounts of integer and fixed-point arithmetic
+ which must be performed exactly, including all rounding considerations, so any
+ useful specification must make extensive use of domain-specific symbolic
+ language to adequately define these operations.
+Additionally, any
+conflict between the symbolic representation and the included reference
+implementation must be resolved. For the practical reasons of compatibility and
+testability it would be advantageous to give the reference implementation
+priority in any disagreement. The C language is also one of the most
+widely understood human-readable symbolic representations for machine
+behavior.
+For these reasons this RFC uses the reference implementation as the sole
+ symbolic representation of the codec.
 </t>
 
-<t>This is a work in progress.</t>
-</section>
-
-<section anchor="hybrid" title="Opus Codec">
+<!--TODO: C is not unambiguous; many parts are implementation-defined-->
+<t>While the symbolic representation is unambiguous and complete it is not
+always the easiest way to understand the codec's operation. For this reason
+this document also describes significant parts of the codec in English and
+takes the opportunity to explain the rationale behind many of the more
+surprising elements of the design. These descriptions are intended to be
+accurate and informative, but the limitations of common English sometimes
+result in ambiguity, so it is expected that the reader will always read
+them alongside the symbolic representation. Numerous references to the
+implementation are provided for this purpose. The descriptions sometimes
+differ from the reference in ordering or through mathematical simplification
+wherever such deviation makes an explanation easier to understand.
+For example, the right shift and left shift operations in the reference
+implementation are often described using division and multiplication in the text.
+In general, the text is focused on the "what" and "why" while the symbolic
+representation most clearly provides the "how".
+</t>
 
+<section anchor="notation" title="Notation and Conventions">
 <t>
-In hybrid mode, each frame is coded first by the LP layer and then by the MDCT 
-layer. In the current prototype, the cutoff frequency is 8 kHz. In the MDCT
-layer, all bands below 8 kHz are discarded, such that there is no coding
-redundancy between the two layers. Also both layers use the same instance of 
-the range coder to encode the signal, which ensures that no "padding bits" are
-wasted. The hybrid approach makes it easy to support both constant bit-rate
-(CBR) and varaible bit-rate (VBR) coding. Although the SILK layer used is VBR,
-it is easy to make the bit allocation of the CELT layer produce a final stream
-that is CBR by using all the bits left unused by the SILK layer.
+The key words "MUST", "MUST NOT", "REQUIRED", "SHALL", "SHALL NOT", "SHOULD",
+ "SHOULD NOT", "RECOMMENDED", "MAY", and "OPTIONAL" in this document are to be
+ interpreted as described in RFC 2119.
+</t>
+<t>
+Even when using floating-point, various operations in the codec require
+ bit-exact fixed-point behavior.
+The notation "Q<spanx style="emph">n</spanx>", where
+ <spanx style="emph">n</spanx> is an integer, denotes the number of binary
+ digits to the right of the decimal point in a fixed-point number.
+For example, a signed Q14 value in a 16-bit word can represent values from
+ -2.0 to 1.99993896484375, inclusive.
+This notation is for informational purposes only.
+Arithmetic, when described, always operates on the underlying integer.
+E.g., the text will explicitly indicate any shifts required after a
+ multiplication.
 </t>
-
 <t>
-In addition to their frame size, the SILK and CELT codecs require
-a look-ahead of 5.2 ms and 2.5 ms, respectively. SILK's look-ahead is due to
-noise shaping estimation (5 ms) and the internal resampling (0.2 ms), while
-CELT's look-ahead is due to the overlapping MDCT windows. To compensate for the
-difference, the CELT encoder input is delayed by 2.7 ms. This ensures that low
-frequencies and high frequencies arrive at the same time.
+Expressions, where included in the text, follow C operator rules and
+ precedence, with the exception that syntax like "2**n" is used to indicate 2
+ raised to the power n.
+The text also makes use of the following functions:
 </t>
 
+<section anchor="min" title="min(x,y)">
+<t>
+The smallest of two values x and y.
+</t>
+</section>
 
-<section title="Source Code">
+<section anchor="max" title="max(x,y)">
 <t>
-The source code is currently available in a
-<eref target='git://git.xiph.org/users/jm/ietfcodec.git'>Git repository</eref> 
-which references two other
-repositories (for SILK and CELT). Development snapshots are provided at 
-<eref target='http://opus-codec.org/'/>.
+The largest of two values x and y.
+</t>
+</section>
 
+<section anchor="clamp" title="clamp(lo,x,hi)">
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+clamp(lo,x,hi) = max(lo,min(x,hi))
+]]></artwork>
+</figure>
+<t>
+With this definition, if lo&gt;hi, the lower bound is the one that is enforced.
 </t>
 </section>
 
+<section anchor="sign" title="sign(x)">
+<t>
+The sign of x, i.e.,
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+          ( -1,  x < 0 ,
+sign(x) = <  0,  x == 0 ,
+          (  1,  x > 0 .
+]]></artwork>
+</figure>
+</t>
 </section>
 
-<section anchor="modes" title="Codec Modes">
+<section anchor="log2" title="log2(f)">
 <t>
-There are three possible operating modes for the proposed prototype:
-<list style="numbers">
-<t>A linear prediction (LP) mode for use in low bit-rate connections with up to 8 kHz audio bandwidth (16 kHz sampling rate)</t>
-<t>A hybrid (LP+MDCT) mode for full-bandwidth speech at medium bitrates</t>
-<t>An MDCT-only mode for very low delay speech transmission as well as music transmission.</t>
-</list>
-Each of these modes supports a number of difference frame sizes and sampling
-rates. In order to distinguish between the various modes and configurations,
-we define a single-byte table-of-contents (TOC) header that can used in the transport layer 
-(e.g RTP) to signal this information. The following describes the proposed
-TOC byte.
+The base-two logarithm of f.
 </t>
+</section>
 
+<section anchor="ilog" title="ilog(n)">
 <t>
-The LP mode supports the following configurations (numbered from 0 to 11):
+The minimum number of bits required to store a positive integer n in two's
+ complement notation, or 0 for a non-positive integer n.
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+          ( 0,                 n <= 0,
+ilog(n) = <
+          ( floor(log2(n))+1,  n > 0
+]]></artwork>
+</figure>
+Examples:
 <list style="symbols">
-<t>8 kHz:  10, 20, 40, 60 ms (0..3)</t>
-<t>12 kHz: 10, 20, 40, 60 ms (4..7)</t>
-<t>16 kHz: 10, 20, 40, 60 ms (8..11)</t>
+<t>ilog(-1) = 0</t>
+<t>ilog(0) = 0</t>
+<t>ilog(1) = 1</t>
+<t>ilog(2) = 2</t>
+<t>ilog(3) = 2</t>
+<t>ilog(4) = 3</t>
+<t>ilog(7) = 3</t>
 </list>
-for a total of 12 configurations.
+</t>
+</section>
+
+</section>
+
+</section>
+
+<section anchor="overview" title="Opus Codec Overview">
+
+<t>
+The Opus codec scales from 6&nbsp;kb/s narrowband mono speech to 510&nbsp;kb/s
+ fullband stereo music, with algorithmic delays ranging from 5&nbsp;ms to
+ 65.2&nbsp;ms.
+At any given time, either the LP layer, the MDCT layer, or both, may be active.
+It can seamlessly switch between all of its various operating modes, giving it
+ a great deal of flexibility to adapt to varying content and network
+ conditions without renegotiating the current session.
+Internally, the codec always operates at a 48&nbsp;kHz sampling rate, though it
+ allows input and output of various bandwidths, defined as follows:
+</t>
+<texttable>
+<ttcol>Abbreviation</ttcol>
+<ttcol align="right">Audio Bandwidth</ttcol>
+<ttcol align="right">Sampling Rate (Effective)</ttcol>
+<c>NB (narrowband)</c>       <c>4&nbsp;kHz</c>  <c>8&nbsp;kHz</c>
+<c>MB (medium-band)</c>      <c>6&nbsp;kHz</c> <c>12&nbsp;kHz</c>
+<c>WB (wideband)</c>         <c>8&nbsp;kHz</c> <c>16&nbsp;kHz</c>
+<c>SWB (super-wideband)</c> <c>12&nbsp;kHz</c> <c>24&nbsp;kHz</c>
+<c>FB (fullband)</c>        <c>20&nbsp;kHz</c> <c>48&nbsp;kHz</c>
+</texttable>
+<t>
+These can be chosen independently on the encoder and decoder side, e.g., a
+ fullband signal can be decoded as wideband, or vice versa.
+This approach ensures a sender and receiver can always interoperate, regardless
+ of the capabilities of their actual audio hardware.
 </t>
 
 <t>
-The hybrid mode supports the following configurations (numbered from 12 to 15):
-<list style="symbols">
-<t>32 kHz: 10, 20 ms (12..13)</t>
-<t>48 kHz: 10, 20 ms (14..15)</t>
-</list>
-for a total of 4 configurations.
+The LP layer is based on the
+ <eref target='http://developer.skype.com/silk'>SILK</eref> codec
+ <xref target="SILK"></xref>.
+It supports NB, MB, or WB audio and frame sizes from 10&nbsp;ms to 60&nbsp;ms,
+ and requires an additional 5.2&nbsp;ms look-ahead for noise shaping estimation
+ (5&nbsp;ms) and internal resampling (0.2&nbsp;ms).
+Like Vorbis and many other modern codecs, SILK is inherently designed for
+ variable-bitrate (VBR) coding, though an encoder can with sufficient effort
+ produce constant-bitrate (CBR) or near-CBR streams.
 </t>
 
 <t>
-The MDCT-only mode supports the following configurations (numbered from 16 to 31):
-<list style="symbols">
-<t>8 kHz:  2.5, 5, 10, 20 ms (16..19)</t>
-<t>16 kHz: 2.5, 5, 10, 20 ms (20..23)</t>
-<t>32 kHz: 2.5, 5, 10, 20 ms (24..27)</t>
-<t>48 kHz: 2.5, 5, 10, 20 ms (28..31)</t>
+The MDCT layer is based on the
+ <eref target='http://www.celt-codec.org/'>CELT</eref>  codec
+ <xref target="CELT"></xref>.
+It supports sampling NB, WB, SWB, or FB audio and frame sizes from 2.5&nbsp;ms
+ to 20&nbsp;ms, and requires an additional 2.5&nbsp;ms look-ahead due to the
+ overlapping MDCT windows.
+The CELT codec is inherently designed for CBR coding, but unlike many CBR
+ codecs it is not limited to a set of predetermined rates.
+It internally allocates bits to exactly fill any given target budget, and an
+ encoder can produce a VBR stream by varying the target on a per-frame basis.
+The MDCT layer is not used for speech when the audio bandwidth is WB or less,
+ as it is not useful there.
+On the other hand, non-speech signals are not always adequately coded using
+ linear prediction, so for music only the MDCT layer should be used.
+</t>
+
+<t>
+A hybrid mode allows the use of both layers simultaneously with a frame size of
+ 10 or 20&nbsp;ms and a SWB or FB audio bandwidth.
+Each frame is split into a low frequency signal and a high frequency signal,
+ with a cutoff of 8&nbsp;kHz.
+The LP layer then codes the low frequency signal, followed by the MDCT layer
+ coding the high frequency signal.
+In the MDCT layer, all bands below 8&nbsp;kHz are discarded, so there is no
+ coding redundancy between the two layers.
+</t>
+
+<t>
+At the decoder, the two decoder outputs are simply added together.
+To compensate for the different look-aheads required by each layer, the CELT
+ encoder input is delayed by an additional 2.7&nbsp;ms.
+This ensures that low frequencies and high frequencies arrive at the same time.
+This extra delay MAY be reduced by an encoder by using less lookahead for noise
+ shaping or using a simpler resampler in the LP layer, but this will reduce
+ quality.
+However, the base 2.5&nbsp;ms look-ahead in the CELT layer cannot be reduced in
+ the encoder because it is needed for the MDCT overlap, whose size is fixed by
+ the decoder.
+</t>
+
+<t>
+Both layers use the same entropy coder, avoiding any waste from "padding bits"
+ between them.
+The hybrid approach makes it easy to support both CBR and VBR coding.
+Although the LP layer is VBR, the bit allocation of the MDCT layer can produce
+ a final stream that is CBR by using all the bits left unused by the LP layer.
+</t>
+
+</section>
+
+<section anchor="modes" title="Codec Modes">
+<t>
+As described, the two layers can be combined in three possible operating modes:
+<list style="numbers">
+<t>A LP-only mode for use in low bitrate connections with an audio bandwidth of
+ WB or less,</t>
+<t>A hybrid (LP+MDCT) mode for SWB or FB speech at medium bitrates, and</t>
+<t>An MDCT-only mode for very low delay speech transmission as well as music
+ transmission.</t>
 </list>
-for a total of 16 configurations.
+A single packet may contain multiple audio frames, however they must share a
+ common set of parameters, including the operating mode, audio bandwidth, frame
+ size, and channel count.
+A single-byte table-of-contents (TOC) header signals which of the various modes
+ and configurations a given packet uses.
+It is composed of a frame count code, "c", a stereo flag, "s", and a
+ configuration number, "config", arranged as illustrated in
+ <xref target="toc_byte"/>.
+A description of each of these fields follows.
+</t>
+
+<figure anchor="toc_byte" title="The TOC byte">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+ 0
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
++-+-+-+-+-+-+-+-+
+| c |s| config  |
++-+-+-+-+-+-+-+-+
+]]></artwork>
+</figure>
+
+<t>
+The top five bits of the TOC byte, labeled "config", encode one of 32 possible
+ configurations of operating mode, audio bandwidth, and frame size.
+<xref target="config_bits"/> lists the parameters for each configuration.
 </t>
+<texttable anchor="config_bits" title="TOC Byte Configuration Parameters">
+<ttcol>Configuration Number(s)</ttcol>
+<ttcol>Mode</ttcol>
+<ttcol>Bandwidth</ttcol>
+<ttcol>Frame Size(s)</ttcol>
+<c>0...3</c>   <c>LP-only</c>   <c>NB</c>  <c>10, 20, 40, 60&nbsp;ms</c>
+<c>4...7</c>   <c>LP-only</c>   <c>MB</c>  <c>10, 20, 40, 60&nbsp;ms</c>
+<c>8...11</c>  <c>LP-only</c>   <c>WB</c>  <c>10, 20, 40, 60&nbsp;ms</c>
+<c>12...13</c> <c>Hybrid</c>    <c>SWB</c> <c>10, 20&nbsp;ms</c>
+<c>14...15</c> <c>Hybrid</c>    <c>FB</c>  <c>10, 20&nbsp;ms</c>
+<c>16...19</c> <c>MDCT-only</c> <c>NB</c>  <c>2.5, 5, 10, 20&nbsp;ms</c>
+<c>20...23</c> <c>MDCT-only</c> <c>WB</c>  <c>2.5, 5, 10, 20&nbsp;ms</c>
+<c>24...27</c> <c>MDCT-only</c> <c>SWB</c> <c>2.5, 5, 10, 20&nbsp;ms</c>
+<c>28...31</c> <c>MDCT-only</c> <c>FB</c>  <c>2.5, 5, 10, 20&nbsp;ms</c>
+</texttable>
 
 <t>
-There is thus a total of 32 configurations, encoded in 5 bits. On bit is used to signal mono vs stereo, which leaves 2 bits for the number of frames per packets (codes 0 to 3):
+One additional bit, labeled "s", is used to signal mono vs. stereo, with 0
+ indicating mono and 1 indicating stereo.
+The remaining two bits, labeled "c", code the number of frames per packet
+ (codes 0 to 3) as follows:
 <list style="symbols">
-<t>0:    1 frames in the packet</t>
+<t>0:    1 frame in the packet</t>
 <t>1:    2 frames in the packet, each with equal compressed size</t>
-<t>2:    2 frames in the packet, with different compressed size</t>
-<t>3:    arbitrary number of frames in the packet</t>
+<t>2:    2 frames in the packet, with different compressed sizes</t>
+<t>3:    an arbitrary number of frames in the packet</t>
 </list>
-For code 2, the TOC byte is followed by the length of the first frame, encoded as described below.
-For code 3, the TOC byte is followed by a byte encoding the number of frames in the packet, with the MSB indicating VBR. In the VBR case, the byte indicating the number of frames is followed by N-1 frame 
-lengths encoded as described below. As an additional limit, the audio duration contained
-within a packet may not exceed 120 ms.
 </t>
 
 <t>
-The compressed size of the frames (if needed) is indicated -- usually -- with one byte, with the following meaning:
+A well-formed Opus packet MUST contain at least one byte with the TOC
+ information, though the frame(s) within a packet MAY be zero bytes long.
+It must also obey various additional rules indicated by "MUST", "MUST NOT",
+ etc., in this section.
+A receiver MUST NOT process packets which violate these rules as normal Opus
+ packets.
+They are reserved for future applications, such as in-band headers (containing
+ metadata, etc.) or multichannel support.
+</t>
+
+<t>
+When a packet contains multiple VBR frames, the compressed length of one or
+ more of these frames is indicated with a one or two byte sequence, with the
+ meaning of the first byte as follows:
 <list style="symbols">
 <t>0:          No frame (DTX or lost packet)</t>
-<t>1-251:      Size of the frame in bytes</t>
-<t>252-255:    A second byte is needed. The total size is (size[1]*4)+size[0]</t>
+<!--TODO: Would be nice to be clearer about the distinction between "frame
+ size" (in samples or ms) and "the compressed size of the frame" (in bytes).
+"the compressed length of the frame" is maybe a little better, but not when we
+ jump back and forth to talking about sizes.-->
+<t>1...251:    Size of the frame in bytes</t>
+<t>252...255:  A second byte is needed. The total size is (size[1]*4)+size[0]</t>
 </list>
 </t>
 
 <t>
-The maximum size representable is 255*4+255=1275 bytes. For 20 ms frames, that 
-represents a bit-rate of 510 kb/s, which is really the highest rate anyone would want 
-to use in stereo mode (beyond that point, lossless codecs would be more appropriate).
+The maximum representable size is 255*4+255=1275&nbsp;bytes.
+For 20&nbsp;ms frames, this represents a bitrate of 510&nbsp;kb/s, which is
+ approximately the highest useful rate for lossily compressed fullband stereo
+ music.
+Beyond this point, lossless codecs are more appropriate.
+It is also roughly the maximum useful rate of the MDCT layer, as shortly
+ thereafter quality no longer improves with additional bits due to limitations
+ on the codebook sizes.
 </t>
 
-<section anchor="examples" title="Examples">
 <t>
-Simplest case: one narrowband mono 20-ms SILK frame
+No length is transmitted for the last frame in a VBR packet, or any of the
+ frames in a CBR packet, as it can be inferred from the total size of the
+ packet and the size of all other data in the packet.
+However, it MUST NOT exceed 1275&nbsp;bytes, to allow for repacketization by
+ gateways, conference bridges, or other software.
 </t>
 
 <t>
-<figure>
-<artwork><![CDATA[
+For code 0 packets, the TOC byte is immediately followed by N-1&nbsp;bytes of
+ compressed data for a single frame (where N is the size of the packet),
+ as illustrated in <xref target="code0_packet"/>.
+</t>
+<figure anchor="code0_packet" title="A Code 0 Packet" align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
  0                   1                   2                   3
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
-|    1    |0|0|0|               compressed data...              |
+|0|0|s| config  |                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+                                               |
+|                    Compressed frame 1 (N-1 bytes)...          :
+:                                                               |
+|                                                               |
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
 ]]></artwork>
 </figure>
-</t>
 
 <t>
-Two 48 kHz mono 5 ms CELT frames of the same compressed size:
+For code 1 packets, the TOC byte is immediately followed by the
+ (N-1)/2&nbsp;bytes of compressed data for the first frame, followed by
+ (N-1)/2&nbsp;bytes of compressed data for the second frame, as illustrated in
+ <xref target="code1_packet"/>.
+The number of payload bytes available for compressed data, N-1, MUST be even
+ for all code 1 packets.
 </t>
+<figure anchor="code1_packet" title="A Code 1 Packet" align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+ 0                   1                   2                   3
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|1|0|s| config  |                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+                                               :
+|             Compressed frame 1 ((N-1)/2 bytes)...             |
+:                               +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                               |                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+                               :
+|             Compressed frame 2 ((N-1)/2 bytes)...             |
+:                                               +-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+]]></artwork>
+</figure>
 
 <t>
-<figure>
-<artwork><![CDATA[
+For code 2 packets, the TOC byte is followed by a one or two byte sequence
+ indicating the the length of the first frame (marked N1 in the figure below),
+ followed by N1 bytes of compressed data for the first frame.
+The remaining N-N1-2 or N-N1-3&nbsp;bytes are the compressed data for the
+ second frame.
+This is illustrated in <xref target="code2_packet"/>.
+The length of the first frame, N1, MUST be no larger than the size of the
+ payload remaining after decoding that length for all code 2 packets.
+</t>
+<figure anchor="code2_packet" title="A Code 2 Packet" align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
  0                   1                   2                   3
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
-|    29   |0|0|1|               compressed data...              |
+|0|1|s| config  | N1 (1-2 bytes):                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+                               :
+|               Compressed frame 1 (N1 bytes)...                |
+:                               +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                               |                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+                               |
+|                     Compressed frame 2...                     :
+:                                                               |
+|                                                               |
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
 ]]></artwork>
 </figure>
+
+<t>
+For code 3 packets, the TOC byte is followed by a byte encoding the number of
+ frames in the packet in bits 0 to 5 (marked "M" in the figure below), with bit
+ 6 indicating whether or not padding is inserted (marked "p" in the figure
+ below), and bit 7 indicating VBR (marked "v" in the figure below).
+M MUST NOT be zero, and the audio duration contained within a packet MUST NOT
+ exceed 120&nbsp;ms.
+This limits the maximum frame count for any frame size to 48 (for 2.5&nbsp;ms
+ frames), with lower limits for longer frame sizes.
+<xref target="frame_count_byte"/> illustrates the layout of the frame count
+ byte.
+</t>
+<figure anchor="frame_count_byte" title="The frame count byte">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+ 0
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
++-+-+-+-+-+-+-+-+
+|     M     |p|v|
++-+-+-+-+-+-+-+-+
+]]></artwork>
+</figure>
+<t>
+When padding is used, the number of bytes of padding is encoded in the
+ bytes following the frame count byte.
+Values from 0...254 indicate that 0...254&nbsp;bytes of padding are included,
+ in addition to the byte(s) used to indicate the size of the padding.
+If the value is 255, then the size of the additional padding is 254&nbsp;bytes,
+ plus the padding value encoded in the next byte.
+The additional padding bytes appear at the end of the packet, and SHOULD be set
+ to zero by the encoder, however the decoder MUST accept any value for the
+ padding bytes.
+By using code 255 multiple times, it is possible to create a packet of any
+ specific, desired size.
+Let P be the total amount of padding, including both the trailing padding bytes
+ themselves and the header bytes used to indicate how many there are.
+Then P MUST be no more than N-2 for CBR packets, or N-M-1 for VBR packets.
+</t>
+<t>
+In the CBR case, the compressed length of each frame in bytes is equal to the
+ number of remaining bytes in the packet after subtracting the (optional)
+ padding, (N-2-P), divided by M.
+This number MUST be an integer multiple of M.
+The compressed data for all M frames then follows, each of size
+ (N-2-P)/M&nbsp;bytes, as illustrated in <xref target="code3cbr_packet"/>.
 </t>
 
+<figure anchor="code3cbr_packet" title="A CBR Code 3 Packet" align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+ 0                   1                   2                   3
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|1|1|s| config  |     M     |p|0|  Padding length (Optional)    :
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                                               |
+:            Compressed frame 1 ((N-2-P)/M bytes)...            :
+|                                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                                               |
+:            Compressed frame 2 ((N-2-P)/M bytes)...            :
+|                                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                                               |
+:                              ...                              :
+|                                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                                               |
+:            Compressed frame M ((N-2-P)/M bytes)...            :
+|                                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+:                     Padding (Optional)...                     |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+]]></artwork>
+</figure>
+
 <t>
-Two 48 kHz mono 20-ms hybrid frames of different compressed size:
+In the VBR case, the (optional) padding length is followed by M-1 frame
+ lengths (indicated by "N1" to "N[M-1]" in the figure below), each encoded in a
+ one or two byte sequence as described above.
+The packet MUST contain enough data for the M-1 lengths after the (optional)
+ padding, and the sum of these lengths MUST be no larger than the number of
+ bytes remaining in the packet after decoding them.
+The compressed data for all M frames follows, each frame consisting of the
+ indicated number of bytes, with the final frame consuming any remaining bytes
+ before the final padding, as illustrated in <xref target="code3cbr_packet"/>.
+The number of header bytes (TOC byte, frame count byte, padding length bytes,
+ and frame length bytes), plus the length of the first M-1 frames themselves,
+ plus the length of the padding MUST be no larger than N, the total size of the
+ packet.
 </t>
 
+<figure anchor="code3vbr_packet" title="A VBR Code 3 Packet" align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+ 0                   1                   2                   3
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|1|1|s| config  |     M     |p|1| Padding length (Optional)     :
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+: N1 (1-2 bytes): N2 (1-2 bytes):     ...       :     N[M-1]    |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                                               |
+:               Compressed frame 1 (N1 bytes)...                :
+|                                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                                               |
+:               Compressed frame 2 (N2 bytes)...                :
+|                                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                                               |
+:                              ...                              :
+|                                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|                                                               |
+:                     Compressed frame M...                     :
+|                                                               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+:                     Padding (Optional)...                     |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+]]></artwork>
+</figure>
+
+<section anchor="examples" title="Examples">
 <t>
+Simplest case, one NB mono 20&nbsp;ms SILK frame:
+</t>
+
 <figure>
 <artwork><![CDATA[
  0                   1                   2                   3
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
-|    15   |0|1|1|       2       |   frame size  |compressed data|
-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
-|                       compressed data...                      |
+|0|0|0|    1    |               compressed data...              :
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
 ]]></artwork>
 </figure>
-</t>
 
 <t>
-Four 48 kHz stereo 20-ms CELT frame of the same compressed size:
-
+Two FB mono 5&nbsp;ms CELT frames of the same compressed size:
 </t>
 
+<figure>
+<artwork><![CDATA[
+ 0                   1                   2                   3
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|1|0|0|   29    |               compressed data...              :
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+]]></artwork>
+</figure>
+
 <t>
+Two FB mono 20&nbsp;ms hybrid frames of different compressed size:
+</t>
+
 <figure>
 <artwork><![CDATA[
  0                   1                   2                   3
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
-|    31   |1|1|0|       4       |      compressed data...       |
+|1|1|0|   15    |     2     |0|1|      N1       |               |
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+               |
+|                       compressed data...                      :
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
 ]]></artwork>
 </figure>
+
+<t>
+Four FB stereo 20&nbsp;ms CELT frames of the same compressed size:
 </t>
+
+<figure>
+<artwork><![CDATA[
+ 0                   1                   2                   3
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+|1|1|1|   31    |     4     |0|0|      compressed data...       :
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+]]></artwork>
+</figure>
 </section>
 
 
@@ -263,11 +679,12 @@ Four 48 kHz stereo 20-ms CELT frame of the same compressed size:
 
 <section title="Opus Decoder">
 <t>
-The Opus decoder consists of two main blocks: the SILK decoder and the CELT decoder. 
+The Opus decoder consists of two main blocks: the SILK decoder and the CELT decoder.
 The output of the Opus decode is the sum of the outputs from the SILK and CELT decoders
 with proper sample rate conversion and delay compensation as illustrated in the
 block diagram below. At any given time, one or both of the SILK and CELT decoders
-may be active. 
+may be active.
+</t>
 <figure>
 <artwork>
 <![CDATA[
@@ -285,347 +702,2502 @@ stream  | Range |---+  +-------+    +----------+  /---\  audio
 ]]>
 </artwork>
 </figure>
+
+<section anchor="range-decoder" title="Range Decoder">
+<t>
+Opus uses an entropy coder based on <xref target="range-coding"></xref>,
+which is itself a rediscovery of the FIFO arithmetic code introduced by <xref target="coding-thesis"></xref>.
+It is very similar to arithmetic encoding, except that encoding is done with
+digits in any base instead of with bits,
+so it is faster when using larger bases (i.e., an octet). All of the
+calculations in the range coder must use bit-exact integer arithmetic.
+</t>
+<t>
+Symbols may also be coded as <spanx style="emph">raw bits</spanx> packed
+ directly into the bitstream, bypassing the range coder.
+These are packed backwards starting at the end of the frame.
+This reduces complexity and makes the stream more resilient to bit errors, as
+ corruption in the raw bits will not desynchronize the decoding process, unlike
+ corruption in the input to the range decoder.
+Raw bits are only used in the CELT layer.
+</t>
+<t>
+Each symbol coded by the range coder is drawn from a finite alphabet and coded
+ in a separate <spanx style="emph">context</spanx>, which describes the size of
+ the alphabet and the relative frequency of each symbol in that alphabet.
+Opus only uses static contexts.
+They are not adapted to the statistics of the data as it is coded.
+</t>
+<t>
+The parameters needed to encode or decode a symbol in a given context are
+ represented by a three-tuple (fl,fh,ft), with
+ 0 &lt;= fl &lt; fh &lt;= ft &lt;= 65535.
+The values of this tuple are derived from the probability model for the
+ symbol, represented by traditional <spanx style="emph">frequency counts</spanx>
+ (although, since Opus uses static contexts, these are not updated as symbols
+ are decoded).
+Let f[i] be the frequency of the <spanx style="emph">i</spanx>th symbol in a
+ context with <spanx style="emph">n</spanx> symbols total.
+Then the three-tuple corresponding to the <spanx style="emph">k</spanx>th
+ symbol is given by
+</t>
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+     k-1                             n-1
+     __                              __
+fl = \  f[i],  fh = fl + f[k],  ft = \  f[i]
+     /_                              /_
+     i=0                             i=0
+]]></artwork>
+</figure>
+<t>
+The range decoder extracts the symbols and integers encoded using the range
+ encoder in <xref target="range-encoder"/>.
+The range decoder maintains an internal state vector composed of the two-tuple
+ (val,rng), representing the difference between the high end of the current
+ range and the actual coded value, minus one, and the size of the current
+ range, respectively.
+Both val and rng are 32-bit unsigned integer values.
+The decoder initializes rng to 128 and initializes val to 127 minus the top 7
+ bits of the first input octet.
+It then immediately normalizes the range using the procedure described in
+ <xref target="range-decoder-renorm"/>.
+</t>
+
+<section anchor="decoding-symbols" title="Decoding Symbols">
+<t>
+Decoding a symbol is a two-step process.
+The first step determines a 16-bit unsigned value fs, which lies within the
+ range of some symbol in the current context.
+The second step updates the range decoder state with the three-tuple (fl,fh,ft)
+ corresponding to that symbol.
+</t>
+<t>
+The first step is implemented by ec_decode() (entdec.c), which computes
+ fs = ft - min(val/(rng/ft)+1, ft).
+The divisions here are exact integer division.
+</t>
+<t>
+The decoder then identifies the symbol in the current context corresponding to
+ fs; i.e., the one whose three-tuple (fl,fh,ft) satisfies fl &lt;= fs &lt; fh.
+It uses this tuple to update val according to
+ val = val - (rng/ft)*(ft-fh).
+If fl is greater than zero, then the decoder updates rng using
+ rng = (rng/ft)*(fh-fl).
+Otherwise, it updates rng using rng = rng - (rng/ft)*(ft-fh).
+After these updates, implemented by ec_dec_update() (entdec.c), it normalizes
+ the range using the procedure in the next section, and returns the index of
+ the identified symbol.
+</t>
+<t>
+With this formulation, all the truncation error from using finite precision
+ arithmetic accumulates in symbol 0.
+This makes the cost of coding a 0 slightly smaller, on average, than the
+ negative log of its estimated probability and makes the cost of coding any
+ other symbol slightly larger.
+When contexts are designed so that 0 is the most probable symbol, which is
+ often the case, this strategy minimizes the inefficiency introduced by the
+ finite precision.
+</t>
+
+<section anchor="range-decoder-renorm" title="Renormalization">
+<t>
+To normalize the range, the decoder repeats the following process, implemented
+ by ec_dec_normalize() (entdec.c), until rng > 2**23.
+If rng is already greater than 2**23, the entire process is skipped.
+First, it sets rng to (rng&lt;&lt;8).
+Then it reads the next 8 bits of input into sym, using the remaining bit from
+ the previous input octet as the high bit of sym, and the top 7 bits of the
+ next octet as the remaining bits of sym.
+If no more input octets remain, it uses zero bits instead.
+Then, it sets val to (val&lt;&lt;8)+(255-sym)&amp;0x7FFFFFFF.
+</t>
+<t>
+It is normal and expected that the range decoder will read several bytes
+ into the raw bits data (if any) at the end of the packet by the time the frame
+ is completely decoded, as illustrated in <xref target="finalize-example"/>.
+This same data MUST also be returned as raw bits when requested.
+The encoder is expected to terminate the stream in such a way that the decoder
+ will decode the intended values regardless of the data contained in the raw
+ bits.
+<xref target="encoder-finalizing"/> describes a procedure for doing this.
+If the range decoder consumes all of the bytes belonging to the current frame,
+ it MUST continue to use zero when any further input bytes are required, even
+ if there is additional data in the current packet, from padding or other
+ frames.
+</t>
+
+<figure anchor="finalize-example" title="Illustrative example of raw bits
+ overlapping range coder data">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+ n               n+1             n+2             n+3
+ 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+:     | <----------- Overlap region ------------> |             :
++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+      ^                                           ^
+      |   End of data buffered by the range coder |
+...-----------------------------------------------+
+      |
+      | End of data consumed by raw bits
+      +-------------------------------------------------------...
+]]></artwork>
+</figure>
+</section>
+</section>
+
+<section anchor="decoding-alternate" title="Alternate Decoding Methods">
+<t>
+The reference implementation uses three additional decoding methods that are
+ exactly equivalent to the above, but make assumptions and simplifications that
+ allow for a more efficient implementation.
+</t>
+<section title="ec_decode_bin()">
+<t>
+The first is ec_decode_bin() (entdec.c), defined using the parameter ftb
+ instead of ft.
+It is mathematically equivalent to calling ec_decode() with
+ ft = (1&lt;&lt;ftb), but avoids one of the divisions.
+</t>
+</section>
+<section title="ec_dec_bit_logp()">
+<t>
+The next is ec_dec_bit_logp() (entdec.c), which decodes a single binary symbol,
+ replacing both the ec_decode() and ec_dec_update() steps.
+The context is described by a single parameter, logp, which is the absolute
+ value of the base-2 logarithm of the probability of a "1".
+It is mathematically equivalent to calling ec_decode() with
+ ft = (1&lt;&lt;logp), followed by ec_dec_update() with
+ fl = 0, fh = (1&lt;&lt;logp)-1, ft = (1&lt;&lt;logp) if the returned value
+ of fs is less than (1&lt;&lt;logp)-1 (a "0" was decoded), and with
+ fl = (1&lt;&lt;logp)-1, fh = ft = (1&lt;&lt;logp) otherwise (a "1" was
+ decoded).
+The implementation requires no multiplications or divisions.
+</t>
+</section>
+<section title="ec_dec_icdf()">
+<t>
+The last is ec_dec_icdf() (entdec.c), which decodes a single symbol with a
+ table-based context of up to 8 bits, also replacing both the ec_decode() and
+ ec_dec_update() steps, as well as the search for the decoded symbol in between.
+The context is described by two parameters, an icdf
+ (<spanx style="emph">inverse</spanx> cumulative distribution function)
+ table and ftb.
+As with ec_decode_bin(), (1&lt;&lt;ftb) is equivalent to ft.
+idcf[k], on the other hand, stores (1&lt;&lt;ftb)-fh for the kth symbol in
+ the context, which is equal to (1&lt;&lt;ftb)-fl for the (k+1)st symbol.
+fl for the 0th symbol is assumed to be 0, and the table is terminated by a
+ value of 0 (where fh&nbsp;==&nbsp;ft).
+</t>
+<t>
+The function is mathematically equivalent to calling ec_decode() with
+ ft = (1&lt;&lt;ftb), using the returned value fs to search the table for the
+ first entry where fs &lt; (1&lt;&lt;ftb)-icdf[k], and calling
+ ec_dec_update() with fl = (1&lt;&lt;ftb)-icdf[k-1] (or 0 if k&nbsp;==&nbsp;0),
+ fh = (1&lt;&lt;ftb)-idcf[k], and ft = (1&lt;&lt;ftb).
+Combining the search with the update allows the division to be replaced by a
+ series of multiplications (which are usually much cheaper), and using an
+ inverse CDF allows the use of an ftb as large as 8 in an 8-bit table without
+ any special cases.
+This is the primary interface with the range decoder in the SILK layer, though
+ it is used in a few places in the CELT layer as well.
+</t>
+<t>
+Although icdf[k] is more convenient for the code, the frequency counts, f[k],
+ are a more natural representation of the probability distribution function
+ (PDF) for a given symbol.
+Therefore this draft lists the latter, not the former, when describing the
+ context in which a symbol is coded as a list, e.g., {4, 4, 4, 4}/16 for a
+ uniform context with four possible values and ft=16.
+The value of ft after the slash is always the sum of the entries in the PDF,
+ but is included for convenience.
+Contexts with identical probabilities, f[k]/ft, but different values of ft
+ (or equivalently, ftb) are not the same, and cannot, in general, be used in
+ place of one another.
+An icdf table is also not capable of representing a PDF where the first symbol
+ has 0 probability.
+In such contexts, ec_dec_icdf() can decode the symbol by using a table that
+ drops the entries for any initial zero-probability values and adding the
+ constant offset of the first value with a non-zero probability to its return
+ value.
+</t>
+</section>
+</section>
+
+<section anchor="decoding-bits" title="Decoding Raw Bits">
+<t>
+The raw bits used by the CELT layer are packed at the end of the packet, with
+ the least significant bit of the first value to be packed in the least
+ significant bit of the last byte, filling up to the most significant bit in
+ the last byte, and continuing on to the least significant bit of the
+ penultimate byte, and so on.
+The reference implementation reads them using ec_dec_bits() (entdec.c).
+Because the range decoder must read several bytes ahead in the stream, as
+ described in <xref target="range-decoder-renorm"/>, the input consumed by the
+ raw bits MAY overlap with the input consumed by the range coder, and a decoder
+ MUST allow this.
+The format should render it impossible to attempt to read more raw bits than
+ there are actual bits in the frame, though a decoder MAY wish to check for
+ this and report an error.
+</t>
+</section>
+
+<section anchor="decoding-ints" title="Decoding Uniformly Distributed Integers">
+<t>
+The ec_dec_uint() (entdec.c) function decodes one of ft equiprobable values in
+ the range 0 to ft-1, inclusive, each with a frequency of 1, where ft may be as
+ large as 2**32-1.
+Because ec_decode() is limited to a total frequency of 2**16-1, this is split
+ up into a range coded symbol representing up to 8 of the high bits of the
+ value, and, if necessary, raw bits representing the remaining bits.
+The limit of 8 bits in the range coded symbol is a trade-off between
+ implementation complexity, modeling error (since the symbols no longer truly
+ have equal coding cost) and rounding error introduced by the range coder
+ itself (which gets larger as more bits are included).
+Using raw bits reduces the maximum number of divisions required in the worst
+ case, but means that it may be possible to decode a value outside the range
+ 0 to ft-1, inclusive.
+</t>
+
+<t>
+ec_dec_uint() takes a single, positive parameter, ft, which is not necessarily
+ a power of two, and returns an integer, t, whose value lies between 0 and
+ ft-1, inclusive.
+Let ftb = ilog(ft-1), i.e., the number of bits required to store ft-1 in two's
+ complement notation.
+If ftb is 8 or less, then t is decoded with t = ec_decode(ft), and the range
+ coder state is updated using the three-tuple (t,t+1,ft).
+</t>
+<t>
+If ftb is greater than 8, then the top 8 bits of t are decoded using
+ t = ec_decode((ft-1&gt;&gt;ftb-8)+1),
+ the decoder state is updated using the three-tuple
+ (t,t+1,(ft-1&gt;&gt;ftb-8)+1), and the remaining bits are decoded as raw bits,
+ setting t = t&lt;&lt;ftb-8|ec_dec_bits(ftb-8).
+If, at this point, t >= ft, then the current frame is corrupt.
+In that case, the decoder should assume there has been an error in the coding,
+ decoding, or transmission and SHOULD take measures to conceal the
+ error and/or report to the application that a problem has occurred.
+</t>
+
+</section>
+
+<section anchor="decoder-tell" title="Current Bit Usage">
+<t>
+The bit allocation routines in the CELT decoder need a conservative upper bound
+ on the number of bits that have been used from the current frame thus far,
+ including both range coder bits and raw bits.
+This drives allocation decisions that must match those made in the encoder.
+The upper bound is computed in the reference implementation to whole-bit
+ precision by the function ec_tell() (entcode.h) and to fractional 1/8th bit
+ precision by the function ec_tell_frac() (entcode.c).
+Like all operations in the range coder, it must be implemented in a bit-exact
+ manner, and must produce exactly the same value returned by the same functions
+ in the encoder after encoding the same symbols.
+</t>
+<t>
+ec_tell() is guaranteed to return ceil(ec_tell_frac()/8.0).
+In various places the codec will check to ensure there is enough room to
+ contain a symbol before attempting to decode it.
+In practice, although the number of bits used so far is an upper bound,
+ decoding a symbol whose probability model suggests it has a worst-case cost of
+ p 1/8th bits may actually advance the return value of ec_tell_frac() by
+ p-1, p, or p+1 1/8th bits, due to approximation error in that upper bound,
+ truncation error in the range coder, and for large values of ft, modeling
+ error in ec_dec_uint().
+</t>
+<t>
+However, this error is bounded, and periodic calls to ec_tell() or
+ ec_tell_frac() at precisely defined points in the decoding process prevent it
+ from accumulating.
+For a symbol that requires a whole number of bits (i.e., ft/(fh-fl) is a power
+ of two, including values of ft larger than 2**8 with ec_dec_uint()), and there
+ are at least p 1/8th bits available, decoding the symbol will never advance
+ the decoder past the end of the frame, i.e., will never
+ <spanx style="emph">bust</spanx> the budget.
+Frames contain a whole number of bits, and the return value of ec_tell_frac()
+ will only advance by more than p 1/8th bits in this case if there was a
+ fractional number of bits remaining, and by no more than the fractional part.
+However, when p is not a whole number of bits, an extra 1/8th bit is required
+ to ensure decoding the symbol will not bust.
+</t>
+<t>
+The reference implementation keeps track of the total number of whole bits that
+ have been processed by the decoder so far in a variable nbits_total, including
+ the (possibly fractional number of bits) that are currently buffered (but not
+ consumed) inside the range coder.
+nbits_total is initialized to 33 just after the initial range renormalization
+ process completes (or equivalently, it can be initialized to 9 before the
+ first renormalization).
+The extra two bits over the actual amount buffered by the range coder
+ guarantees that it is an upper bound and that there is enough room for the
+ encoder to terminate the stream.
+Each iteration through the range coder's renormalization loop increases
+ nbits_total by 8.
+Reading raw bits increases nbits_total by the number of raw bits read.
+</t>
+
+<section anchor="ec_tell" title="ec_tell()">
+<t>
+The whole number of bits buffered in rng may be estimated via l = ilog(rng).
+ec_tell() then becomes a simple matter of removing these bits from the total.
+It returns (nbits_total - l).
+</t>
+<t>
+In a newly initialized decoder, before any symbols have been read, this reports
+ that 1 bit has been used.
+This is the bit reserved for termination of the encoder.
+</t>
+</section>
+
+<section anchor="ec_tell_frac" title="ec_tell_frac()">
+<t>
+ec_tell_frac() estimates the number of bits buffered in rng to fractional
+ precision.
+Since rng must be greater than 2**23 after renormalization, l must be at least
+ 24.
+Let r = rng&gt;&gt;(l-16), so that 32768 &lt;= r &lt; 65536, an unsigned Q15
+ value representing the fractional part of rng.
+Then the following procedure can be used to add one bit of precision to l.
+First, update r = r*r&gt;&gt;15.
+Then add the 16th bit of r to l via l = 2*l + (r&gt;&gt;16).
+Finally, if this bit was a 1, reduce r by a factor of two via r = r&gt;&gt;1,
+ so that it once again lies in the range 32768 &lt;= r &lt; 65536.
+</t>
+<t>
+This procedure is repeated three times to extend l to 1/8th bit precision.
+ec_tell_frac() then returns (nbits_total*8 - l).
+</t>
+</section>
+
+</section>
+
+</section>
+
+<section anchor='outline_decoder' title='SILK Decoder'>
+<t>
+The decoder's LP layer uses a modified version of the SILK codec (herein simply
+ called "SILK"), which runs a decoded excitation signal through adaptive
+ long-term and short-term prediction synthesis filters.
+It runs in NB, MB, and WB modes internally.
+When used in a hybrid frame in SWB or FB mode, the LP layer itself still only
+ runs in WB mode.
+</t>
+<t>
+Internally, the LP layer of a single Opus frame is composed of either a single
+ 10&nbsp;ms SILK frame or between one and three 20&nbsp;ms SILK frames.
+Each SILK frame is in turn composed of either two or four 5&nbsp;ms subframes.
+Optional Low Bit-Rate Redundancy (LBRR) frames, which are reduced-bitrate
+ encodings of previous SILK frames, may appear to aid in recovery from packet
+ loss.
+If present, these appear before the regular SILK frames.
+They are in most respects identical to regular active SILK frames, except that
+ they are usually encoded with a lower bitrate, and from here on this draft
+ will use "SILK frame" to refer to either one and "regular SILK frame" if it
+ needs to draw a distinction between the two.
 </t>
+<t>
+All of these frames and subframes are decoded from the same range coder, with
+ no padding between them.
+Thus packing multiple SILK frames in a single Opus frame saves, on average,
+ half a byte per SILK frame.
+It also allows some parameters to be predicted from prior SILK frames in the
+ same Opus frame, since this does not degrade packet loss robustness (beyond
+ any penalty for merely using fewer, larger packets to store multiple frames).
+</t>
+
+<t>
+Stereo support in SILK uses a variant of mid-side coding, allowing a mono
+ decoder to simply decode the mid channel.
+However, the data for the two channels is interleaved, so a mono decoder must
+ still unpack the data for the side channel.
+It would be required to do so anyway for hybrid Opus frames, or to support
+ decoding individual 20&nbsp;ms frames.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_symbols">
+<ttcol align="center">Symbol(s)</ttcol>
+<ttcol align="center">PDF</ttcol>
+<ttcol align="center">Condition</ttcol>
+<c>VAD flags</c>     <c>{1, 1}/2</c>                    <c></c>
+<c>LBRR flag</c>     <c>{1, 1}/2</c>                    <c></c>
+<c>Per-frame LBRR flags</c> <c><xref target="silk_lbrr_flags"/></c> <c><xref target="silk_lbrr_flags"/></c>
+<c>Frame Type</c>    <c><xref target="silk_frame_type"/></c>    <c></c>
+<c>Gain index</c>    <c><xref target="silk_gains"/></c> <c></c>
+<postamble>
+Order of the symbols in the SILK section of the bit-stream.
+</postamble>
+</texttable>
+
+<section title="Decoder Modules">
+<t>
+An overview of the decoder is given in <xref target="decoder_figure"/>.
+</t>
+<figure align="center" anchor="decoder_figure">
+<artwork align="center">
+<![CDATA[
+
+   +---------+    +------------+
+-->| Range   |--->| Decode     |---------------------------+
+ 1 | Decoder | 2  | Parameters |----------+       5        |
+   +---------+    +------------+     4    |                |
+                       3 |                |                |
+                        \/               \/               \/
+                  +------------+   +------------+   +------------+
+                  | Generate   |-->| LTP        |-->| LPC        |-->
+                  | Excitation |   | Synthesis  |   | Synthesis  | 6
+                  +------------+   +------------+   +------------+
+
+1: Range encoded bitstream
+2: Coded parameters
+3: Pulses and gains
+4: Pitch lags and LTP coefficients
+5: LPC coefficients
+6: Decoded signal
+]]>
+</artwork>
+<postamble>Decoder block diagram.</postamble>
+</figure>
+
+          <section title='Range Decoder'>
+            <t>
+              The range decoder decodes the encoded parameters from the received bitstream. Output from this function includes the pulses and gains for the excitation signal generation, as well as LTP and LSF codebook indices, which are needed for decoding LTP and LPC coefficients needed for LTP and LPC synthesis filtering the excitation signal, respectively.
+            </t>
+          </section>
+
+          <section title='Decode Parameters'>
+            <t>
+              Pulses and gains are decoded from the parameters that were decoded by the range decoder.
+            </t>
+
+            <t>
+              When a voiced frame is decoded and LTP codebook selection and indices are received, LTP coefficients are decoded using the selected codebook by choosing the vector that corresponds to the given codebook index in that codebook. This is done for each of the four subframes.
+              The LPC coefficients are decoded from the LSF codebook by first adding the chosen LSF vector and the decoded LSF residual signal. The resulting LSF vector is stabilized using the same method that was used in the encoder, see
+              <xref target='lsf_stabilizer_overview_section' />. The LSF coefficients are then converted to LPC coefficients, and passed on to the LPC synthesis filter.
+            </t>
+          </section>
+
+          <section title='Generate Excitation'>
+            <t>
+              The pulses signal is multiplied with the quantization gain to create the excitation signal.
+            </t>
+          </section>
+
+          <section title='LTP Synthesis'>
+            <t>
+              For voiced speech, the excitation signal e(n) is input to an LTP synthesis filter that will recreate the long term correlation that was removed in the LTP analysis filter and generate an LPC excitation signal e_LPC(n), according to
+              <figure align="center">
+                <artwork align="center">
+                  <![CDATA[
+                   d
+                  __
+e_LPC(n) = e(n) + \  e_LPC(n - L - i) * b_i,
+                  /_
+                 i=-d
+]]>
+                </artwork>
+              </figure>
+              using the pitch lag L, and the decoded LTP coefficients b_i.
+              The number of LTP coefficients is 5, and thus d&nbsp;=&nbsp;2.
+
+              For unvoiced speech, the output signal is simply a copy of the excitation signal, i.e., e_LPC(n) = e(n).
+            </t>
+          </section>
+
+          <section title='LPC Synthesis'>
+            <t>
+              In a similar manner, the short-term correlation that was removed in the LPC analysis filter is recreated in the LPC synthesis filter. The LPC excitation signal e_LPC(n) is filtered using the LTP coefficients a_i, according to
+              <figure align="center">
+                <artwork align="center">
+                  <![CDATA[
+                 d_LPC
+                  __
+y(n) = e_LPC(n) + \  y(n - i) * a_i,
+                  /_
+                  i=1
+]]>
+                </artwork>
+              </figure>
+              where d_LPC is the LPC synthesis filter order, and y(n) is the decoded output signal.
+            </t>
+          </section>
+        </section>
+
+<!--TODO: Document mandated decoder resets-->
+
+<section title="Header Bits">
+<t>
+The LP layer begins with two to eight header bits, decoded in silk_Decode()
+ (silk_dec_API.c).
+These consist of one Voice Activity Detection (VAD) bit per frame (up to 3),
+ followed by a single flag indicating the presence of LBRR frames.
+For a stereo packet, these flags correspond to the mid channel, and a second
+ set of flags is included for the side channel.
+</t>
+<t>
+Because these are the first symbols decoded by the range coder, they can be
+ extracted directly from the upper bits of the first byte of compressed data.
+Thus, a receiver can determine if an Opus frame contains any active SILK frames
+ without the overhead of using the range decoder.
+</t>
+</section>
+
+<section anchor="silk_lbrr_flags" title="LBRR Flags">
+<t>
+For Opus frames longer than 20&nbsp;ms, a set of per-frame LBRR flags is
+ decoded for each channel that has its LBRR flag set.
+For 40&nbsp;ms Opus frames the 2-frame LBRR flag PDF from
+ <xref target="silk_lbrr_flag_pdfs"/> is used, and for 60&nbsp;ms Opus frames
+ the 3-frame LBRR flag PDF is used.
+For each channel, the resulting 2- or 3-bit integer contains the corresponding
+ LBRR flag for each frame, packed in order from the LSb to the MSb.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_lbrr_flag_pdfs" title="LBRR Flag PDFs">
+<ttcol>Frame Size</ttcol>
+<ttcol>PDF</ttcol>
+<c>40&nbsp;ms</c> <c>{0, 53, 53, 150}/256</c>
+<c>60&nbsp;ms</c> <c>{0, 41, 20, 29, 41, 15, 28, 82}/256</c>
+</texttable>
+
+<t>
+LBRR frames do not include their own separate VAD flags.
+An LBRR frame is only meant to be transmitted for active speech, thus all LBRR
+ frames are treated as active.
+</t>
+</section>
+
+<section title="SILK Frame Contents">
+<t>
+Each SILK frame includes a set of side information that encodes the frame type,
+ quantization type and gains, short-term prediction filter coefficients, LSF
+ interpolation weight, long-term prediction filter lags and gains, and a
+ pseudorandom number generator (PRNG) seed.
+This is followed by the quantized excitation signal.
+</t>
+<section anchor="silk_frame_type" title="Frame Type">
+<t>
+Each SILK frame begins with a single <spanx style="emph">frame type</spanx>
+ symbol that jointly codes the signal type and quantization offset type of the
+ corresponding frame.
+If the current frame is a regular SILK frame whose VAD bit was not set (an
+ <spanx style="emph">inactive</spanx> frame), then the frame type symbol takes
+ on the value either 0 or 1 and is decoded using the first PDF in
+ <xref target="silk_frame_type_pdfs"/>.
+If the frame is an LBRR frame or a regular SILK frame whose VAD flag was set
+ (an <spanx style="emph">active</spanx> frame), then the symbol ranges from 2
+ to 5, inclusive, and is decoded using the second PDF in
+ <xref target="silk_frame_type_pdfs"/>.
+<xref target="silk_frame_type_table"/> translates between the value of the
+ frame type symbol and the corresponding signal type and quantization offset
+ type.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_frame_type_pdfs" title="Frame Type PDFs">
+<ttcol>VAD Flag</ttcol>
+<ttcol>PDF</ttcol>
+<c>Inactive</c> <c>{26, 230, 0, 0, 0, 0}/256</c>
+<c>Active</c>   <c>{0, 0, 24, 74, 148, 10}/256</c>
+</texttable>
+
+<texttable anchor="silk_frame_type_table"
+ title="Signal Type and Quantization Offset Type from Frame Type">
+<ttcol>Frame Type</ttcol>
+<ttcol>Signal Type</ttcol>
+<ttcol align="right">Quantization Offset Type</ttcol>
+<c>0</c> <c>Inactive</c> <c>0</c>
+<c>1</c> <c>Inactive</c> <c>1</c>
+<c>2</c> <c>Unvoiced</c> <c>0</c>
+<c>3</c> <c>Unvoiced</c> <c>1</c>
+<c>4</c> <c>Voiced</c>   <c>0</c>
+<c>5</c> <c>Voiced</c>   <c>1</c>
+</texttable>
+
+</section>
+
+<section anchor="silk_gains" title="Sub-Frame Gains">
+<t>
+A separate quantization gain is coded for each 5&nbsp;ms subframe.
+These gains control the step size between quantization levels of the excitation
+ signal and, therefore, the quality of the reconstruction.
+They are independent of the pitch gains coded for voiced frames.
+The quantization gains are themselves uniformly quantized to 6&nbsp;bits on a
+ log scale, giving them a resolution of approximately 1.369&nbsp;dB and a range
+ of approximately 1.94&nbsp;dB to 88.21&nbsp;dB.
+</t>
+<t>
+For the first LBRR frame, an LBRR frame where the previous LBRR frame was not
+ coded, or the first regular SILK frame in an Opus frame, the first subframe
+ uses an independent coding method.
+The 3 most significant bits of the quantization gain are decoded using a PDF
+ selected from <xref target="silk_independent_gain_msb_pdfs"/> based on the
+ decoded signal type.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_independent_gain_msb_pdfs"
+ title="PDFs for Independent Quantization Gain MSb Coding">
+<ttcol align="left">Signal Type</ttcol>
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>Inactive</c> <c>{32, 112, 68, 29, 12,  1,  1, 1}/256</c>
+<c>Unvoiced</c> <c>{2,   17, 45, 60, 62, 47, 19, 4}/256</c>
+<c>Voiced</c>   <c>{1,    3, 26, 71, 94, 50,  9, 2}/256</c>
+</texttable>
+
+<t>
+The 3 least significant bits are decoded using a uniform PDF:
+</t>
+<texttable anchor="silk_independent_gain_lsb_pdf"
+ title="PDF for Independent Quantization Gain LSb Coding">
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>{32, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 32}/256</c>
+</texttable>
+
+<t>
+For all other subframes (including the first subframe of frames not listed as
+ using independent coding above), the quantization gain is coded relative to
+ the gain from the previous subframe.
+The PDF in <xref target="silk_delta_gain_pdf"/> yields a delta gain index
+ between 0 and 40, inclusive.
+</t>
+<texttable anchor="silk_delta_gain_pdf"
+ title="PDF for Delta Quantization Gain Coding">
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>{6,   5,  11,  31, 132,  21,   8,   4,
+    3,   2,   2,   2,   1,   1,   1,   1,
+    1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,
+    1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,
+    1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1}/256</c>
+</texttable>
+<t>
+The following formula translates this index into a quantization gain for the
+ current subframe using the gain from the previous subframe:
+</t>
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+log_gain = min(max(2*gain_index - 16,
+                   previous_log_gain + gain_index - 4), 63)
+]]></artwork>
+</figure>
+<t>
+silk_gains_dequant() (silk_gain_quant.c) dequantizes the gain for the
+ <spanx style="emph">k</spanx>th subframe and converts it into a linear Q16
+ scale factor via
+</t>
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+gain_Q16[k] = silk_log2lin((0x1D1C71*log_gain>>16) + 2090)
+]]></artwork>
+</figure>
+<t>
+The function silk_log2lin() (silk_log2lin.c) computes an approximation of
+ of 2**(inLog_Q7/128.0), where inLog_Q7 is its Q7 input.
+Let i = inLog_Q7&gt;&gt;7 be the integer part of inLogQ7 and
+ f = inLog_Q7&amp;127 be the fractional part.
+Then, if i &lt; 16, then
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+(1<<i) + (((-174*f*(128-f)>>16)+f)>>7)*(1<<i)
+]]></artwork>
+</figure>
+ yields the approximate exponential.
+Otherwise, silk_log2lin uses
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+(1<<i) + ((-174*f*(128-f)>>16)+f)*((1<<i)>>7) .
+]]></artwork>
+</figure>
+</t>
+</section>
+
+<section anchor="silk_nlsfs" title="Normalized Line Spectral Frequencies">
+
+<t>
+Normalized Line Spectral Frequencies (LSFs) follow the quantization gains in
+ the bitstream, and represent the Linear Prediction Coefficients (LPCs) for the
+ current SILK frame.
+Once decoded, they form an increasing list of Q15 values between 0 and 1.
+These represent the interleaved zeros on the unit circle between 0 and pi
+ (hence "normalized") in the standard decomposition of the LPC filter into a
+ symmetric part and an anti-symmetric part (P and Q in
+ <xref target="silk_nlsf2lpc"/>).
+Because of non-linear effects in the decoding process, an implementation SHOULD
+ match the fixed-point arithmetic described in this section exactly.
+An encoder SHOULD also use the same process.
+</t>
+<t>
+The normalized LSFs are coded using a two-stage vector quantizer (VQ).
+NB and MB frames use an order-10 predictor, while WB frames use an order-16
+ predictor, and thus have different sets of tables.
+The first VQ stage uses a 32-element codebook, coded with one of the PDFs in
+ <xref target="silk_nlsf_stage1_pdfs"/>, depending on the audio bandwidth and
+ the signal type of the current SILK frame.
+This yields a single index, <spanx style="emph">I1</spanx>, for the entire
+ frame.
+This indexes an element in a coarse codebook, selects the PDFs for the
+ second stage of the VQ, and selects the prediction weights used to remove
+ intra-frame redundancy from the second stage.
+The actual codebook elements are listed in
+ <xref target="silk_nlsf_nbmb_codebook"/> and
+ <xref target="silk_nlsf_wb_codebook"/>, but they are not needed until the last
+ stages of reconstructing the LSF coefficients.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_stage1_pdfs"
+ title="PDFs for Normalized LSF Index Stage-1 Decoding">
+<ttcol align="left">Audio Bandwidth</ttcol>
+<ttcol align="left">Signal Type</ttcol>
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>NB or MB</c> <c>Inactive or unvoiced</c>
+<c>
+{44, 34, 30, 19, 21, 12, 11,  3,
+  3,  2, 16,  2,  2,  1,  5,  2,
+  1,  3,  3,  1,  1,  2,  2,  2,
+  3,  1,  9,  9,  2,  7,  2,  1}/256
+</c>
+<c>NB or MB</c> <c>Voiced</c>
+<c>
+{1, 10,  1,  8,  3,  8,  8, 14,
+13, 14,  1, 14, 12, 13, 11, 11,
+12, 11, 10, 10, 11,  8,  9,  8,
+ 7,  8,  1,  1,  6,  1,  6,  5}/256
+</c>
+<c>WB</c> <c>Inactive or unvoiced</c>
+<c>
+{31, 21,  3, 17,  1,  8, 17,  4,
+  1, 18, 16,  4,  2,  3,  1, 10,
+  1,  3, 16, 11, 16,  2,  2,  3,
+  2, 11,  1,  4,  9,  8,  7,  3}/256
+</c>
+<c>WB</c> <c>Voiced</c>
+<c>
+{1,  4, 16,  5, 18, 11,  5, 14,
+15,  1,  3, 12, 13, 14, 14,  6,
+14, 12,  2,  6,  1, 12, 12, 11,
+10,  3, 10,  5,  1,  1,  1,  3}/256
+</c>
+</texttable>
+
+<t>
+A total of 16 PDFs are available for the LSF residual in the second stage: the
+ 8 (a...h) for NB and MB frames given in
+ <xref target="silk_nlsf_stage2_nbmb_pdfs"/>, and the 8 (i...p) for WB frames
+ given in <xref target="silk_nlsf_stage2_wb_pdfs"/>.
+Which PDF is used for which coefficient is driven by the index, I1,
+ decoded in the first stage.
+<xref target="silk_nlsf_nbmb_stage2_cb_sel"/> lists the letter of the
+ corresponding PDF for each normalized LSF coefficient for NB and MB, and
+ <xref target="silk_nlsf_wb_stage2_cb_sel"/> lists the same information for WB.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_stage2_nbmb_pdfs"
+ title="PDFs for NB/MB Normalized LSF Index Stage-2 Decoding">
+<ttcol align="left">Codebook</ttcol>
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>a</c> <c>{1,   1,   1,  15, 224,  11,   1,   1,   1}/256</c>
+<c>b</c> <c>{1,   1,   2,  34, 183,  32,   1,   1,   1}/256</c>
+<c>c</c> <c>{1,   1,   4,  42, 149,  55,   2,   1,   1}/256</c>
+<c>d</c> <c>{1,   1,   8,  52, 123,  61,   8,   1,   1}/256</c>
+<c>e</c> <c>{1,   3,  16,  53, 101,  74,   6,   1,   1}/256</c>
+<c>f</c> <c>{1,   3,  17,  55,  90,  73,  15,   1,   1}/256</c>
+<c>g</c> <c>{1,   7,  24,  53,  74,  67,  26,   3,   1}/256</c>
+<c>h</c> <c>{1,   1,  18,  63,  78,  58,  30,   6,   1}/256</c>
+</texttable>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_stage2_wb_pdfs"
+ title="PDFs for WB Normalized LSF Index Stage-2 Decoding">
+<ttcol align="left">Codebook</ttcol>
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>i</c> <c>{1,   1,   1,   9, 232,   9,   1,   1,   1}/256</c>
+<c>j</c> <c>{1,   1,   2,  28, 186,  35,   1,   1,   1}/256</c>
+<c>k</c> <c>{1,   1,   3,  42, 152,  53,   2,   1,   1}/256</c>
+<c>l</c> <c>{1,   1,  10,  49, 126,  65,   2,   1,   1}/256</c>
+<c>m</c> <c>{1,   4,  19,  48, 100,  77,   5,   1,   1}/256</c>
+<c>n</c> <c>{1,   1,  14,  54, 100,  72,  12,   1,   1}/256</c>
+<c>o</c> <c>{1,   1,  15,  61,  87,  61,  25,   4,   1}/256</c>
+<c>p</c> <c>{1,   7,  21,  50,  77,  81,  17,   1,   1}/256</c>
+</texttable>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_nbmb_stage2_cb_sel"
+ title="Codebook Selection for NB/MB Normalized LSF Index Stage 2 Decoding">
+<ttcol>I1</ttcol>
+<ttcol>Coefficient</ttcol>
+<c/>
+<c><spanx style="vbare">0&nbsp;1&nbsp;2&nbsp;3&nbsp;4&nbsp;5&nbsp;6&nbsp;7&nbsp;8&nbsp;9</spanx></c>
+<c> 0</c>
+<c><spanx style="vbare">a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a</spanx></c>
+<c> 1</c>
+<c><spanx style="vbare">b&nbsp;d&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b</spanx></c>
+<c> 2</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b</spanx></c>
+<c> 3</c>
+<c><spanx style="vbare">b&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b</spanx></c>
+<c> 4</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c</spanx></c>
+<c> 5</c>
+<c><spanx style="vbare">a&nbsp;f&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;b</spanx></c>
+<c> g</c>
+<c><spanx style="vbare">a&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;b</spanx></c>
+<c> 7</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
+<c> 8</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;e</spanx></c>
+<c> 9</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+<c>10</c>
+<c><spanx style="vbare">e&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c</spanx></c>
+<c>11</c>
+<c><spanx style="vbare">b&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
+<c>12</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
+<c>13</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;h&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+<c>14</c>
+<c><spanx style="vbare">d&nbsp;d&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e</spanx></c>
+<c>15</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e</spanx></c>
+<c>16</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
+<c>17</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+<c>18</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
+<c>19</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;h&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+<c>20</c>
+<c><spanx style="vbare">d&nbsp;g&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f</spanx></c>
+<c>21</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;h&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
+<c>22</c>
+<c><spanx style="vbare">e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+<c>23</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;e</spanx></c>
+<c>24</c>
+<c><spanx style="vbare">e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;d&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+<c>25</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+<c>26</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;e&nbsp;c&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;d</spanx></c>
+<c>27</c>
+<c><spanx style="vbare">b&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;c</spanx></c>
+<c>28</c>
+<c><spanx style="vbare">e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;g&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f</spanx></c>
+<c>29</c>
+<c><spanx style="vbare">d&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;c</spanx></c>
+<c>30</c>
+<c><spanx style="vbare">c&nbsp;f&nbsp;d&nbsp;h&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+<c>31</c>
+<c><spanx style="vbare">e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
+</texttable>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_wb_stage2_cb_sel"
+ title="Codebook Selection for WB Normalized LSF Index Stage 2 Decoding">
+<ttcol>I1</ttcol>
+<ttcol>Coefficient</ttcol>
+<c/>
+<c><spanx style="vbare">0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;9&nbsp;10&nbsp;11&nbsp;12&nbsp;13&nbsp;14&nbsp;15</spanx></c>
+<c> 0</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
+<c> 1</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c> 2</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c> 3</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
+<c> 4</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c> 5</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
+<c> 6</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
+<c> 7</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c> 8</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c> 9</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
+<c>j0</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
+<c>11</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c>12</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c>13</c>
+<c><spanx style="vbare">l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
+<c>14</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c>15</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
+<c>16</c>
+<c><spanx style="vbare">j&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
+<c>17</c>
+<c><spanx style="vbare">j&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
+<c>18</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
+<c>19</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
+<c>20</c>
+<c><spanx style="vbare">l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
+<c>21</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c>22</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
+<c>23</c>
+<c><spanx style="vbare">j&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
+<c>24</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c>25</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
+<c>26</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
+<c>27</c>
+<c><spanx style="vbare">l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
+<c>28</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
+<c>29</c>
+<c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
+<c>30</c>
+<c><spanx style="vbare">l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
+<c>31</c>
+<c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
+</texttable>
+
+<t>
+Decoding the second stage residual proceeds as follows.
+For each coefficient, the decoder reads a symbol using the PDF corresponding to
+ I1 from either <xref target="silk_nlsf_nbmb_stage2_cb_sel"/> or
+ <xref target="silk_nlsf_wb_stage2_cb_sel"/>, and subtracts 4 from the result
+ to given an index in the range -4 to 4, inclusive.
+If the index is either -4 or 4, it reads a second symbol using the PDF in
+ <xref target="silk_nlsf_ext_pdf"/>, and adds the value of this second symbol
+ to the index, using the same sign.
+This gives the index, I2[k], a total range of -10 to 10, inclusive.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_ext_pdf"
+ title="PDF for Normalized LSF Index Extension Decoding">
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>{156, 60, 24,  9,  4,  2,  1}/256</c>
+</texttable>
+
+<t>
+The decoded indices from both stages are translated back into normalized LSF
+ coefficients in silk_NLSF_decode() (silk_NLSF_decode.c).
+The stage-2 indices represent residuals after both the first stage of the VQ
+ and a separate backwards-prediction step.
+The backwards prediction process in the encoder subtracts a prediction from
+ each residual formed by a multiple of the coefficient that follows it.
+The decoder must undo this process.
+<xref target="silk_nlsf_pred_weights"/> contains lists of prediction weights
+ for each coefficient.
+There are two lists for NB and MB, and another two lists for WB, giving two
+ possible prediction weights for each coefficient.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_pred_weights"
+ title="Prediction Weights for Normalized LSF Decoding">
+<ttcol align="left">Coefficient</ttcol>
+<ttcol align="right">A</ttcol>
+<ttcol align="right">B</ttcol>
+<ttcol align="right">C</ttcol>
+<ttcol align="right">D</ttcol>
+ <c>0</c> <c>179</c> <c>116</c> <c>175</c>  <c>68</c>
+ <c>1</c> <c>138</c>  <c>67</c> <c>148</c>  <c>62</c>
+ <c>2</c> <c>140</c>  <c>82</c> <c>160</c>  <c>66</c>
+ <c>3</c> <c>148</c>  <c>59</c> <c>176</c>  <c>60</c>
+ <c>4</c> <c>151</c>  <c>92</c> <c>178</c>  <c>72</c>
+ <c>5</c> <c>149</c>  <c>72</c> <c>173</c> <c>117</c>
+ <c>6</c> <c>153</c> <c>100</c> <c>174</c>  <c>85</c>
+ <c>7</c> <c>151</c>  <c>89</c> <c>164</c>  <c>90</c>
+ <c>8</c> <c>163</c>  <c>92</c> <c>177</c> <c>118</c>
+ <c>9</c> <c/>        <c/>      <c>174</c> <c>136</c>
+<c>10</c> <c/>        <c/>      <c>196</c> <c>151</c>
+<c>11</c> <c/>        <c/>      <c>182</c> <c>142</c>
+<c>12</c> <c/>        <c/>      <c>198</c> <c>160</c>
+<c>13</c> <c/>        <c/>      <c>192</c> <c>142</c>
+<c>14</c> <c/>        <c/>      <c>182</c> <c>155</c>
+</texttable>
+
+<t>
+The prediction is undone using the procedure implemented in
+ silk_NLSF_residual_dequant() (silk_NLSF_decode.c), which is as follows.
+Each coefficient selects its prediction weight from one of the two lists based
+ on the stage-1 index, I1.
+<xref target="silk_nlsf_nbmb_weight_sel"/> gives the selections for each
+ coefficient for NB and MB, and <xref target="silk_nlsf_wb_weight_sel"/> gives
+ the selections for WB.
+Let d_LPC be the order of the codebook, i.e., 10 for NB and MB, and 16 for WB,
+ and let pred_Q8[k] be the weight for the <spanx style="emph">k</spanx>th
+ coefficient selected by this process for
+ 0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d_LPC-1.
+Then, the stage-2 residual for each coefficient is computed via
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+  res_Q10[k] = (k+1 < d_LPC ? (res_Q10[k+1]*pred_Q8[k])>>8 : 0)
+               + ((((I2[k]<<10) + sign(I2[k])*102)*qstep)>>16) ,
+]]></artwork>
+</figure>
+ where qstep is the Q16 quantization step size, which is 11796 for NB and MB
+ and 9830 for WB (representing step sizes of approximately 0.18 and 0.15,
+ respectively).
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_nbmb_weight_sel"
+ title="Prediction Weight Selection for NB/MB Normalized LSF Decoding">
+<ttcol>I1</ttcol>
+<ttcol>Coefficient</ttcol>
+<c/>
+<c><spanx style="vbare">0&nbsp;1&nbsp;2&nbsp;3&nbsp;4&nbsp;5&nbsp;6&nbsp;7&nbsp;8</spanx></c>
+<c> 0</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c> 1</c>
+<c><spanx style="vbare">B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c> 2</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c> 3</c>
+<c><spanx style="vbare">B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c> 4</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c> 5</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c> 6</c>
+<c><spanx style="vbare">B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c> 7</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c> 8</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
+<c> 9</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
+<c>10</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c>11</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>12</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>13</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>14</c>
+<c><spanx style="vbare">B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
+<c>15</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>16</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>17</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
+<c>18</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>19</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>20</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>21</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>22</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
+<c>23</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
+<c>24</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
+<c>25</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>26</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c>27</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c>28</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
+<c>29</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
+<c>30</c>
+<c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B</spanx></c>
+<c>31</c>
+<c><spanx style="vbare">B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
+</texttable>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_wb_weight_sel"
+ title="Prediction Weight Selection for WB Normalized LSF Decoding">
+<ttcol>I1</ttcol>
+<ttcol>Coefficient</ttcol>
+<c/>
+<c><spanx style="vbare">0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;9&nbsp;10&nbsp;11&nbsp;12&nbsp;13&nbsp;14</spanx></c>
+<c> 0</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c> 1</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c> 2</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c> 3</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c> 4</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c> 5</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c> 6</c>
+<c><spanx style="vbare">D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c> 7</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c> 8</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c> 9</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>10</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>11</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>12</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>13</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>14</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>15</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>16</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>17</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>18</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>19</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>20</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>21</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>22</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>23</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>24</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>25</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>26</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>27</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>28</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>29</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
+<c>30</c>
+<c><spanx style="vbare">D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+<c>31</c>
+<c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
+</texttable>
+
+<t>
+The spectral distortion introduced by the quantization of each LSF coefficient
+ varies, so the stage-2 residual is weighted accordingly, using the
+ low-complexity weighting function proposed in <xref target="laroia-icassp"/>.
+The weights are derived directly from the stage-1 codebook vector.
+Let cb1_Q8[k] be the <spanx style="emph">k</spanx>th entry of the stage-1
+ codebook vector from <xref target="silk_nlsf_nbmb_codebook"/> or
+ <xref target="silk_nlsf_wb_codebook"/>.
+Then for 0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d_LPC the following expression
+ computes the square of the weight as a Q18 value:
+<figure align="center">
+<artwork align="center">
+<![CDATA[
+w2_Q18[k] = (1024/(cb1_Q8[k] - cb1_Q8[k-1])
+             + 1024/(cb1_Q8[k+1] - cb1_Q8[k])) << 16 ,
+]]>
+</artwork>
+</figure>
+ where cb1_Q8[-1]&nbsp;=&nbsp;0 and cb1_Q8[d_LPC]&nbsp;=&nbsp;256, and the
+ division is exact integer division.
+This is reduced to an unsquared, Q9 value using the following square-root
+ approximation:
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+i = ilog(w2_Q18[k])
+f = (w2_Q18[k]>>(i-8)) & 127
+y = ((i&1) ? 32768 : 46214) >> ((32-i)>>1)
+w_Q9[k] = y + ((213*f*y)>>16)
+]]></artwork>
+</figure>
+The cb1_Q8[] vector completely determines these weights, and they may be
+ tabulated and stored as 13-bit unsigned values (with a range of 1819 to 5227)
+ to avoid computing them when decoding.
+The reference implementation computes them on the fly in
+ silk_NLSF_VQ_weights_laroia() (silk_NLSF_VQ_weights_laroia.c) and its
+ caller, to reduce the amount of ROM required.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_nbmb_codebook"
+           title="Codebook Vectors for NB/MB Normalized LSF Stage 1 Decoding">
+<ttcol>I1</ttcol>
+<ttcol>Codebook</ttcol>
+<c/>
+<c><spanx style="vbare">&nbsp;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;&nbsp;9</spanx></c>
+<c>0</c>
+<c><spanx style="vbare">12&nbsp;&nbsp;35&nbsp;&nbsp;60&nbsp;&nbsp;83&nbsp;108&nbsp;132&nbsp;157&nbsp;180&nbsp;206&nbsp;228</spanx></c>
+<c>1</c>
+<c><spanx style="vbare">15&nbsp;&nbsp;32&nbsp;&nbsp;55&nbsp;&nbsp;77&nbsp;101&nbsp;125&nbsp;151&nbsp;175&nbsp;201&nbsp;225</spanx></c>
+<c>2</c>
+<c><spanx style="vbare">19&nbsp;&nbsp;42&nbsp;&nbsp;66&nbsp;&nbsp;89&nbsp;114&nbsp;137&nbsp;162&nbsp;184&nbsp;209&nbsp;230</spanx></c>
+<c>3</c>
+<c><spanx style="vbare">12&nbsp;&nbsp;25&nbsp;&nbsp;50&nbsp;&nbsp;72&nbsp;&nbsp;97&nbsp;120&nbsp;147&nbsp;172&nbsp;200&nbsp;223</spanx></c>
+<c>4</c>
+<c><spanx style="vbare">26&nbsp;&nbsp;44&nbsp;&nbsp;69&nbsp;&nbsp;90&nbsp;114&nbsp;135&nbsp;159&nbsp;180&nbsp;205&nbsp;225</spanx></c>
+<c>5</c>
+<c><spanx style="vbare">13&nbsp;&nbsp;22&nbsp;&nbsp;53&nbsp;&nbsp;80&nbsp;106&nbsp;130&nbsp;156&nbsp;180&nbsp;205&nbsp;228</spanx></c>
+<c>6</c>
+<c><spanx style="vbare">15&nbsp;&nbsp;25&nbsp;&nbsp;44&nbsp;&nbsp;64&nbsp;&nbsp;90&nbsp;115&nbsp;142&nbsp;168&nbsp;196&nbsp;222</spanx></c>
+<c>7</c>
+<c><spanx style="vbare">19&nbsp;&nbsp;24&nbsp;&nbsp;62&nbsp;&nbsp;82&nbsp;100&nbsp;120&nbsp;145&nbsp;168&nbsp;190&nbsp;214</spanx></c>
+<c>8</c>
+<c><spanx style="vbare">22&nbsp;&nbsp;31&nbsp;&nbsp;50&nbsp;&nbsp;79&nbsp;103&nbsp;120&nbsp;151&nbsp;170&nbsp;203&nbsp;227</spanx></c>
+<c>9</c>
+<c><spanx style="vbare">21&nbsp;&nbsp;29&nbsp;&nbsp;45&nbsp;&nbsp;65&nbsp;106&nbsp;124&nbsp;150&nbsp;171&nbsp;196&nbsp;224</spanx></c>
+<c>10</c>
+<c><spanx style="vbare">30&nbsp;&nbsp;49&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;97&nbsp;121&nbsp;142&nbsp;165&nbsp;186&nbsp;209&nbsp;229</spanx></c>
+<c>11</c>
+<c><spanx style="vbare">19&nbsp;&nbsp;25&nbsp;&nbsp;52&nbsp;&nbsp;70&nbsp;&nbsp;93&nbsp;116&nbsp;143&nbsp;166&nbsp;192&nbsp;219</spanx></c>
+<c>12</c>
+<c><spanx style="vbare">26&nbsp;&nbsp;34&nbsp;&nbsp;62&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;97&nbsp;118&nbsp;145&nbsp;167&nbsp;194&nbsp;217</spanx></c>
+<c>13</c>
+<c><spanx style="vbare">25&nbsp;&nbsp;33&nbsp;&nbsp;56&nbsp;&nbsp;70&nbsp;&nbsp;91&nbsp;113&nbsp;143&nbsp;165&nbsp;196&nbsp;223</spanx></c>
+<c>14</c>
+<c><spanx style="vbare">21&nbsp;&nbsp;34&nbsp;&nbsp;51&nbsp;&nbsp;72&nbsp;&nbsp;97&nbsp;117&nbsp;145&nbsp;171&nbsp;196&nbsp;222</spanx></c>
+<c>15</c>
+<c><spanx style="vbare">20&nbsp;&nbsp;29&nbsp;&nbsp;50&nbsp;&nbsp;67&nbsp;&nbsp;90&nbsp;117&nbsp;144&nbsp;168&nbsp;197&nbsp;221</spanx></c>
+<c>16</c>
+<c><spanx style="vbare">22&nbsp;&nbsp;31&nbsp;&nbsp;48&nbsp;&nbsp;66&nbsp;&nbsp;95&nbsp;117&nbsp;146&nbsp;168&nbsp;196&nbsp;222</spanx></c>
+<c>17</c>
+<c><spanx style="vbare">24&nbsp;&nbsp;33&nbsp;&nbsp;51&nbsp;&nbsp;77&nbsp;116&nbsp;134&nbsp;158&nbsp;180&nbsp;200&nbsp;224</spanx></c>
+<c>18</c>
+<c><spanx style="vbare">21&nbsp;&nbsp;28&nbsp;&nbsp;70&nbsp;&nbsp;87&nbsp;106&nbsp;124&nbsp;149&nbsp;170&nbsp;194&nbsp;217</spanx></c>
+<c>19</c>
+<c><spanx style="vbare">26&nbsp;&nbsp;33&nbsp;&nbsp;53&nbsp;&nbsp;64&nbsp;&nbsp;83&nbsp;117&nbsp;152&nbsp;173&nbsp;204&nbsp;225</spanx></c>
+<c>20</c>
+<c><spanx style="vbare">27&nbsp;&nbsp;34&nbsp;&nbsp;65&nbsp;&nbsp;95&nbsp;108&nbsp;129&nbsp;155&nbsp;174&nbsp;210&nbsp;225</spanx></c>
+<c>21</c>
+<c><spanx style="vbare">20&nbsp;&nbsp;26&nbsp;&nbsp;72&nbsp;&nbsp;99&nbsp;113&nbsp;131&nbsp;154&nbsp;176&nbsp;200&nbsp;219</spanx></c>
+<c>22</c>
+<c><spanx style="vbare">34&nbsp;&nbsp;43&nbsp;&nbsp;61&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;93&nbsp;114&nbsp;155&nbsp;177&nbsp;205&nbsp;229</spanx></c>
+<c>23</c>
+<c><spanx style="vbare">23&nbsp;&nbsp;29&nbsp;&nbsp;54&nbsp;&nbsp;97&nbsp;124&nbsp;138&nbsp;163&nbsp;179&nbsp;209&nbsp;229</spanx></c>
+<c>24</c>
+<c><spanx style="vbare">30&nbsp;&nbsp;38&nbsp;&nbsp;56&nbsp;&nbsp;89&nbsp;118&nbsp;129&nbsp;158&nbsp;178&nbsp;200&nbsp;231</spanx></c>
+<c>25</c>
+<c><spanx style="vbare">21&nbsp;&nbsp;29&nbsp;&nbsp;49&nbsp;&nbsp;63&nbsp;&nbsp;85&nbsp;111&nbsp;142&nbsp;163&nbsp;193&nbsp;222</spanx></c>
+<c>26</c>
+<c><spanx style="vbare">27&nbsp;&nbsp;48&nbsp;&nbsp;77&nbsp;103&nbsp;133&nbsp;158&nbsp;179&nbsp;196&nbsp;215&nbsp;232</spanx></c>
+<c>27</c>
+<c><spanx style="vbare">29&nbsp;&nbsp;47&nbsp;&nbsp;74&nbsp;&nbsp;99&nbsp;124&nbsp;151&nbsp;176&nbsp;198&nbsp;220&nbsp;237</spanx></c>
+<c>28</c>
+<c><spanx style="vbare">33&nbsp;&nbsp;42&nbsp;&nbsp;61&nbsp;&nbsp;76&nbsp;&nbsp;93&nbsp;121&nbsp;155&nbsp;174&nbsp;207&nbsp;225</spanx></c>
+<c>29</c>
+<c><spanx style="vbare">29&nbsp;&nbsp;53&nbsp;&nbsp;87&nbsp;112&nbsp;136&nbsp;154&nbsp;170&nbsp;188&nbsp;208&nbsp;227</spanx></c>
+<c>30</c>
+<c><spanx style="vbare">24&nbsp;&nbsp;30&nbsp;&nbsp;52&nbsp;&nbsp;84&nbsp;131&nbsp;150&nbsp;166&nbsp;186&nbsp;203&nbsp;229</spanx></c>
+<c>31</c>
+<c><spanx style="vbare">37&nbsp;&nbsp;48&nbsp;&nbsp;64&nbsp;&nbsp;84&nbsp;104&nbsp;118&nbsp;156&nbsp;177&nbsp;201&nbsp;230</spanx></c>
+</texttable>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_wb_codebook"
+           title="Codebook Vectors for WB Normalized LSF Stage 1 Decoding">
+<ttcol>I1</ttcol>
+<ttcol>Codebook</ttcol>
+<c/>
+<c><spanx style="vbare">&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;&nbsp;9&nbsp;&nbsp;10&nbsp;&nbsp;11&nbsp;&nbsp;12&nbsp;&nbsp;13&nbsp;&nbsp;14&nbsp;&nbsp;15</spanx></c>
+<c>0</c>
+<c><spanx style="vbare">&nbsp;7&nbsp;23&nbsp;38&nbsp;54&nbsp;69&nbsp;&nbsp;85&nbsp;100&nbsp;116&nbsp;131&nbsp;147&nbsp;162&nbsp;178&nbsp;193&nbsp;208&nbsp;223&nbsp;239</spanx></c>
+<c>1</c>
+<c><spanx style="vbare">13&nbsp;25&nbsp;41&nbsp;55&nbsp;69&nbsp;&nbsp;83&nbsp;&nbsp;98&nbsp;112&nbsp;127&nbsp;142&nbsp;157&nbsp;171&nbsp;187&nbsp;203&nbsp;220&nbsp;236</spanx></c>
+<c>2</c>
+<c><spanx style="vbare">15&nbsp;21&nbsp;34&nbsp;51&nbsp;61&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;92&nbsp;106&nbsp;126&nbsp;136&nbsp;152&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;205&nbsp;225&nbsp;240</spanx></c>
+<c>3</c>
+<c><spanx style="vbare">10&nbsp;21&nbsp;36&nbsp;50&nbsp;63&nbsp;&nbsp;79&nbsp;&nbsp;95&nbsp;110&nbsp;126&nbsp;141&nbsp;157&nbsp;173&nbsp;189&nbsp;205&nbsp;221&nbsp;237</spanx></c>
+<c>4</c>
+<c><spanx style="vbare">17&nbsp;20&nbsp;37&nbsp;51&nbsp;59&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;89&nbsp;107&nbsp;123&nbsp;134&nbsp;150&nbsp;164&nbsp;184&nbsp;205&nbsp;224&nbsp;240</spanx></c>
+<c>5</c>
+<c><spanx style="vbare">10&nbsp;15&nbsp;32&nbsp;51&nbsp;67&nbsp;&nbsp;81&nbsp;&nbsp;96&nbsp;112&nbsp;129&nbsp;142&nbsp;158&nbsp;173&nbsp;189&nbsp;204&nbsp;220&nbsp;236</spanx></c>
+<c>6</c>
+<c><spanx style="vbare">&nbsp;8&nbsp;21&nbsp;37&nbsp;51&nbsp;65&nbsp;&nbsp;79&nbsp;&nbsp;98&nbsp;113&nbsp;126&nbsp;138&nbsp;155&nbsp;168&nbsp;179&nbsp;192&nbsp;209&nbsp;218</spanx></c>
+<c>7</c>
+<c><spanx style="vbare">12&nbsp;15&nbsp;34&nbsp;55&nbsp;63&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;87&nbsp;108&nbsp;118&nbsp;131&nbsp;148&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;203&nbsp;219&nbsp;236</spanx></c>
+<c>8</c>
+<c><spanx style="vbare">16&nbsp;19&nbsp;32&nbsp;36&nbsp;56&nbsp;&nbsp;79&nbsp;&nbsp;91&nbsp;108&nbsp;118&nbsp;136&nbsp;154&nbsp;171&nbsp;186&nbsp;204&nbsp;220&nbsp;237</spanx></c>
+<c>9</c>
+<c><spanx style="vbare">11&nbsp;28&nbsp;43&nbsp;58&nbsp;74&nbsp;&nbsp;89&nbsp;105&nbsp;120&nbsp;135&nbsp;150&nbsp;165&nbsp;180&nbsp;196&nbsp;211&nbsp;226&nbsp;241</spanx></c>
+<c>10</c>
+<c><spanx style="vbare">&nbsp;6&nbsp;16&nbsp;33&nbsp;46&nbsp;60&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;92&nbsp;107&nbsp;123&nbsp;137&nbsp;156&nbsp;169&nbsp;185&nbsp;199&nbsp;214&nbsp;225</spanx></c>
+<c>11</c>
+<c><spanx style="vbare">11&nbsp;19&nbsp;30&nbsp;44&nbsp;57&nbsp;&nbsp;74&nbsp;&nbsp;89&nbsp;105&nbsp;121&nbsp;135&nbsp;152&nbsp;169&nbsp;186&nbsp;202&nbsp;218&nbsp;234</spanx></c>
+<c>12</c>
+<c><spanx style="vbare">12&nbsp;19&nbsp;29&nbsp;46&nbsp;57&nbsp;&nbsp;71&nbsp;&nbsp;88&nbsp;100&nbsp;120&nbsp;132&nbsp;148&nbsp;165&nbsp;182&nbsp;199&nbsp;216&nbsp;233</spanx></c>
+<c>13</c>
+<c><spanx style="vbare">17&nbsp;23&nbsp;35&nbsp;46&nbsp;56&nbsp;&nbsp;77&nbsp;&nbsp;92&nbsp;106&nbsp;123&nbsp;134&nbsp;152&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;204&nbsp;222&nbsp;237</spanx></c>
+<c>14</c>
+<c><spanx style="vbare">14&nbsp;17&nbsp;45&nbsp;53&nbsp;63&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;89&nbsp;107&nbsp;115&nbsp;132&nbsp;151&nbsp;171&nbsp;188&nbsp;206&nbsp;221&nbsp;240</spanx></c>
+<c>15</c>
+<c><spanx style="vbare">&nbsp;9&nbsp;16&nbsp;29&nbsp;40&nbsp;56&nbsp;&nbsp;71&nbsp;&nbsp;88&nbsp;103&nbsp;119&nbsp;137&nbsp;154&nbsp;171&nbsp;189&nbsp;205&nbsp;222&nbsp;237</spanx></c>
+<c>16</c>
+<c><spanx style="vbare">16&nbsp;19&nbsp;36&nbsp;48&nbsp;57&nbsp;&nbsp;76&nbsp;&nbsp;87&nbsp;105&nbsp;118&nbsp;132&nbsp;150&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;202&nbsp;218&nbsp;236</spanx></c>
+<c>17</c>
+<c><spanx style="vbare">12&nbsp;17&nbsp;29&nbsp;54&nbsp;71&nbsp;&nbsp;81&nbsp;&nbsp;94&nbsp;104&nbsp;126&nbsp;136&nbsp;149&nbsp;164&nbsp;182&nbsp;201&nbsp;221&nbsp;237</spanx></c>
+<c>18</c>
+<c><spanx style="vbare">15&nbsp;28&nbsp;47&nbsp;62&nbsp;79&nbsp;&nbsp;97&nbsp;115&nbsp;129&nbsp;142&nbsp;155&nbsp;168&nbsp;180&nbsp;194&nbsp;208&nbsp;223&nbsp;238</spanx></c>
+<c>19</c>
+<c><spanx style="vbare">&nbsp;8&nbsp;14&nbsp;30&nbsp;45&nbsp;62&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;94&nbsp;111&nbsp;127&nbsp;143&nbsp;159&nbsp;175&nbsp;192&nbsp;207&nbsp;223&nbsp;239</spanx></c>
+<c>20</c>
+<c><spanx style="vbare">17&nbsp;30&nbsp;49&nbsp;62&nbsp;79&nbsp;&nbsp;92&nbsp;107&nbsp;119&nbsp;132&nbsp;145&nbsp;160&nbsp;174&nbsp;190&nbsp;204&nbsp;220&nbsp;235</spanx></c>
+<c>21</c>
+<c><spanx style="vbare">14&nbsp;19&nbsp;36&nbsp;45&nbsp;61&nbsp;&nbsp;76&nbsp;&nbsp;91&nbsp;108&nbsp;121&nbsp;138&nbsp;154&nbsp;172&nbsp;189&nbsp;205&nbsp;222&nbsp;238</spanx></c>
+<c>22</c>
+<c><spanx style="vbare">12&nbsp;18&nbsp;31&nbsp;45&nbsp;60&nbsp;&nbsp;76&nbsp;&nbsp;91&nbsp;107&nbsp;123&nbsp;138&nbsp;154&nbsp;171&nbsp;187&nbsp;204&nbsp;221&nbsp;236</spanx></c>
+<c>23</c>
+<c><spanx style="vbare">13&nbsp;17&nbsp;31&nbsp;43&nbsp;53&nbsp;&nbsp;70&nbsp;&nbsp;83&nbsp;103&nbsp;114&nbsp;131&nbsp;149&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;203&nbsp;220&nbsp;237</spanx></c>
+<c>24</c>
+<c><spanx style="vbare">17&nbsp;22&nbsp;35&nbsp;42&nbsp;58&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;93&nbsp;110&nbsp;125&nbsp;139&nbsp;155&nbsp;170&nbsp;188&nbsp;206&nbsp;224&nbsp;240</spanx></c>
+<c>25</c>
+<c><spanx style="vbare">&nbsp;8&nbsp;15&nbsp;34&nbsp;50&nbsp;67&nbsp;&nbsp;83&nbsp;&nbsp;99&nbsp;115&nbsp;131&nbsp;146&nbsp;162&nbsp;178&nbsp;193&nbsp;209&nbsp;224&nbsp;239</spanx></c>
+<c>26</c>
+<c><spanx style="vbare">13&nbsp;16&nbsp;41&nbsp;66&nbsp;73&nbsp;&nbsp;86&nbsp;&nbsp;95&nbsp;111&nbsp;128&nbsp;137&nbsp;150&nbsp;163&nbsp;183&nbsp;206&nbsp;225&nbsp;241</spanx></c>
+<c>27</c>
+<c><spanx style="vbare">17&nbsp;25&nbsp;37&nbsp;52&nbsp;63&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;92&nbsp;102&nbsp;119&nbsp;132&nbsp;144&nbsp;160&nbsp;175&nbsp;191&nbsp;212&nbsp;231</spanx></c>
+<c>28</c>
+<c><spanx style="vbare">19&nbsp;31&nbsp;49&nbsp;65&nbsp;83&nbsp;100&nbsp;117&nbsp;133&nbsp;147&nbsp;161&nbsp;174&nbsp;187&nbsp;200&nbsp;213&nbsp;227&nbsp;242</spanx></c>
+<c>29</c>
+<c><spanx style="vbare">18&nbsp;31&nbsp;52&nbsp;68&nbsp;88&nbsp;103&nbsp;117&nbsp;126&nbsp;138&nbsp;149&nbsp;163&nbsp;177&nbsp;192&nbsp;207&nbsp;223&nbsp;239</spanx></c>
+<c>30</c>
+<c><spanx style="vbare">16&nbsp;29&nbsp;47&nbsp;61&nbsp;76&nbsp;&nbsp;90&nbsp;106&nbsp;119&nbsp;133&nbsp;147&nbsp;161&nbsp;176&nbsp;193&nbsp;209&nbsp;224&nbsp;240</spanx></c>
+<c>31</c>
+<c><spanx style="vbare">15&nbsp;21&nbsp;35&nbsp;50&nbsp;61&nbsp;&nbsp;73&nbsp;&nbsp;86&nbsp;&nbsp;97&nbsp;110&nbsp;119&nbsp;129&nbsp;141&nbsp;175&nbsp;198&nbsp;218&nbsp;237</spanx></c>
+</texttable>
+
+<t>
+Given the stage-1 codebook entry cb1_Q8[], the stage-2 residual res_Q10[], and
+ their corresponding weights, w_Q9[], the reconstructed normalized LSF
+ coefficients are
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+NLSF_Q15[k] = (cb1_Q8[k]<<7) + (res_Q10[k]<<14)/w_Q9[k] ,
+]]></artwork>
+</figure>
+ where the division is exact integer division.
+However, nothing thus far in the reconstruction process, nor in the
+ quantization process in the encoder, guarantees that the coefficients are
+ monotonically increasing and separated well enough to ensure a stable filter.
+When using the reference encoder, roughly 2% of frames violate this constraint.
+The next section describes a stabilization procedure used to make these
+ guarantees.
+</t>
+
+<section anchor="silk_nlsf_stabilization" title="Normalized LSF Stabilization">
+<t>
+The normalized LSF stabilization procedure is implemented in
+ silk_NLSF_stabilize() (silk_NLSF_stabilize.c).
+This process ensures that consecutive values of the normalized LSF
+ coefficients, NLSF_Q15[], are spaced some minimum distance apart
+ (predetermined to be the 0.01 percentile of a large training set).
+<xref target="silk_nlsf_min_spacing"/> gives the minimum spacings for NB and MB
+ and those for WB, where row k is the minimum allowed value of
+ NLSF_Q[k]-NLSF_Q[k-1].
+For the purposes of computing this spacing for the first and last coefficient,
+ NLSF_Q15[-1] is taken to be 0, and NLSF_Q15[d_LPC] is taken to be 32768.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_min_spacing"
+           title="Minimum Spacing for Normalized LSF Coefficients">
+<ttcol>Coefficient</ttcol>
+<ttcol align="right">NB and MB</ttcol>
+<ttcol align="right">WB</ttcol>
+ <c>0</c> <c>250</c> <c>100</c>
+ <c>1</c>   <c>3</c>   <c>3</c>
+ <c>2</c>   <c>6</c>  <c>40</c>
+ <c>3</c>   <c>3</c>   <c>3</c>
+ <c>4</c>   <c>3</c>   <c>3</c>
+ <c>5</c>   <c>3</c>   <c>3</c>
+ <c>6</c>   <c>4</c>   <c>5</c>
+ <c>7</c>   <c>3</c>  <c>14</c>
+ <c>8</c>   <c>3</c>  <c>14</c>
+ <c>9</c>   <c>3</c>  <c>10</c>
+<c>10</c> <c>461</c>  <c>11</c>
+<c>11</c>       <c/>   <c>3</c>
+<c>12</c>       <c/>   <c>8</c>
+<c>13</c>       <c/>   <c>9</c>
+<c>14</c>       <c/>   <c>7</c>
+<c>15</c>       <c/>   <c>3</c>
+<c>16</c>       <c/> <c>347</c>
+</texttable>
+
+<t>
+The procedure starts off by trying to make small adjustments which attempt to
+ minimize the amount of distortion introduced.
+After 20 such adjustments, it falls back to a more direct method which
+ guarantees the constraints are enforced but may require large adjustments.
+</t>
+<t>
+Let NDeltaMin_Q15[k] be the minimum required spacing for the current audio
+ bandwidth from <xref target="silk_nlsf_min_spacing"/>.
+First, the procedure finds the index i where
+ NLSF_Q15[i]&nbsp;-&nbsp;NLSF_Q15[i-1]&nbsp;-&nbsp;NDeltaMin_Q15[i] is the
+ smallest, breaking ties by using the lower value of i.
+If this value is non-negative, then the stabilization stops; the coefficients
+ satisfy all the constraints.
+Otherwise, if i&nbsp;==&nbsp;0, it sets NLSF_Q15[0] to NDeltaMin_Q15[0], and if
+ i&nbsp;==&nbsp;d_LPC, it sets NLSF_Q15[d_LPC-1] to
+ (32768&nbsp;-&nbsp;NDeltaMin_Q15[d_LPC]).
+For all other values of i, both NLSF_Q15[i-1] and NLSF_Q15[i] are updated as
+ follows:
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+                                      i-1
+                                      __
+ min_center_Q15 = (NDeltaMin[i]>>1) + \  NDeltaMin[k]
+                                      /_
+                                      k=0
+                                             d_LPC
+                                              __
+ max_center_Q15 = 32768 - (NDeltaMin[i]>>1) - \  NDeltaMin[k]
+                                              /_
+                                             k=i+1
+center_freq_Q15 = clamp(min_center_Q15[i],
+                        (NLSF_Q15[i-1] + NLSF_Q15[i] + 1)>>1,
+                        max_center_Q15[i])
+
+ NLSF_Q15[i-1] = center_freq_Q15 - (NDeltaMin_Q15[i]>>1)
+
+   NLSF_Q15[i] = NLSF_Q15[i-1] + NDeltaMin_Q15[i] .
+]]></artwork>
+</figure>
+Then the procedure repeats again, until it has executed 20 times, or until
+ it stops because the coefficients satisfy all the constraints.
+</t>
+<t>
+After the 20th repetition of the above, the following fallback procedure
+ executes once.
+First, the values of NLSF_Q15[k] for 0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d_LPC
+ are sorted in ascending order.
+Then for each value of k from 0 to d_LPC-1, NLSF_Q15[k] is set to
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+max(NLSF_Q15[k], NLSF_Q15[k-1] + NDeltaMin_Q15[k]) .
+]]></artwork>
+</figure>
+Next, for each value of k from d_LPC-1 down to 0, NLSF_Q15[k] is set to
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+min(NLSF_Q15[k], NLSF_Q15[k+1] - NDeltaMin_Q15[k+1]) .
+]]></artwork>
+</figure>
+</t>
+
+</section>
+
+<section anchor="silk_nlsf_interpolation" title="Normalized LSF Interpolation">
+<t>
+For 20&nbsp;ms SILK frames, the first half of the frame (i.e., the first two
+ sub-frames) may use normalized LSF coefficients that are interpolated between
+ the decoded LSFs for the previous frame and the current frame.
+A Q2 interpolation factor follows the LSF coefficient indices in the bitstream,
+ which is decoded using the PDF in <xref target="silk_nlsf_interp_pdf"/>.
+This happens in silk_decode_indices() (silk_decode_indices.c).
+For the first frame after a decoder reset, when no prior LSF coefficients are
+ available, the decoder still decodes this factor, but ignores its value and
+ always uses 4 instead.
+For 10&nbsp;ms SILK frames, this factor is not stored at all.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_nlsf_interp_pdf"
+           title="PDF for Normalized LSF Interpolation Index">
+<ttcol>PDF</ttcol>
+<c>{13, 22, 29, 11, 181}/256</c>
+</texttable>
+
+<t>
+Let n2_Q15[k] be the normalized LSF coefficients decoded by the procedure in
+ <xref target="silk_nlsfs"/>, n0_Q15[k] be the LSF coefficients
+ decoded for the prior frame, and w_Q2 be the interpolation factor.
+Then the normalized LSF coefficients used for the first half of a 20&nbsp;ms
+ frame, n1_Q15[k], are
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+n1_Q15[k] = n0_Q15[k] + (w_Q2*(n2_Q15[k] - n0_Q15[k]) >> 2) .
+]]></artwork>
+</figure>
+This interpolation is performed in silk_decode_parameters()
+ (silk_decode_parameters.c).
+</t>
+</section>
+
+<section anchor="silk_nlsf2lpc"
+         title="Converting Normalized LSF Coefficients to LPCs">
+<t>
+Any LPC filter A(z) can be split into a symmetric part P(z) and an
+ anti-symmetric part Q(z) such that
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+          d_LPC
+           __         -k   1
+A(z) = 1 - \  a[k] * z   = - * (P(z) + Q(z))
+           /_              2
+           k=1
+]]></artwork>
+</figure>
+with
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+               -d_LPC-1      -1
+P(z) = A(z) + z         * A(z  )
+
+               -d_LPC-1      -1
+Q(z) = A(z) - z         * A(z  ) .
+]]></artwork>
+</figure>
+The even normalized LSF coefficients correspond to a pair of conjugate roots of
+ P(z), while the odd coefficients correspond to a pair of conjugate roots of
+ Q(z), all of which lie on the unit circle.
+In addition, P(z) has a root at pi and Q(z) has a root at 0.
+Thus, they may be reconstructed mathematically from a set of normalized LSF
+ coefficients, n[k], as
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+                 d_LPC/2-1
+             -1     ___                        -1    -2
+P(z) = (1 + z  ) *  | |  (1 - 2*cos(pi*n[2*k])*z  + z  )
+                    k=0
+
+                 d_LPC/2-1
+             -1     ___                          -1    -2
+Q(z) = (1 - z  ) *  | |  (1 - 2*cos(pi*n[2*k+1])*z  + z  )
+                    k=0
+]]></artwork>
+</figure>
+</t>
+<t>
+However, SILK performs this reconstruction using a fixed-point approximation so
+ that all decoders can reproduce it in a bit-exact manner to avoid prediction
+ drift.
+The function silk_NLSF2A() (silk_NLSF2A.c) implements this procedure.
+</t>
+<t>
+To start, it approximates cos(pi*n[k]) using a table lookup with linear
+ interpolation.
+The encoder SHOULD use the inverse of this piecewise linear approximation,
+ rather than true the inverse of the cosine function, when deriving the
+ normalized LSF coefficients.
+</t>
+<t>
+The top 7 bits of each normalized LSF coefficient index a value in the table,
+ and the next 8 bits interpolate between it and the next value.
+Let i&nbsp;=&nbsp;n[k]&gt;&gt;8 be the integer index and
+ f&nbsp;=&nbsp;n[k]&amp;255 be the fractional part of a given coefficient.
+Then the approximated cosine, c_Q17[k], is
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+c_Q17[k] = (cos_Q13[i]*256 + (cos_Q13[i+1]-cos_Q13[i])*f + 8) >> 4 ,
+]]></artwork>
+</figure>
+ where cos_Q13[i] is the corresponding entry of
+ <xref target="silk_cos_table"/>.
+</t>
+
+<texttable anchor="silk_cos_table"
+           title="Q13 Cosine Table for LSF Conversion">
+<ttcol align="right"></ttcol>
+<ttcol align="right">0</ttcol>
+<ttcol align="right">1</ttcol>
+<ttcol align="right">2</ttcol>
+<ttcol align="right">3</ttcol>
+<c>0</c>
+ <c>8192</c> <c>8190</c> <c>8182</c> <c>8170</c>
+<c>4</c>
+ <c>8152</c> <c>8130</c> <c>8104</c> <c>8072</c>
+<c>8</c>
+ <c>8034</c> <c>7994</c> <c>7946</c> <c>7896</c>
+<c>12</c>
+ <c>7840</c> <c>7778</c> <c>7714</c> <c>7644</c>
+<c>16</c>
+ <c>7568</c> <c>7490</c> <c>7406</c> <c>7318</c>
+<c>20</c>
+ <c>7226</c> <c>7128</c> <c>7026</c> <c>6922</c>
+<c>24</c>
+ <c>6812</c> <c>6698</c> <c>6580</c> <c>6458</c>
+<c>28</c>
+ <c>6332</c> <c>6204</c> <c>6070</c> <c>5934</c>
+<c>32</c>
+ <c>5792</c> <c>5648</c> <c>5502</c> <c>5352</c>
+<c>36</c>
+ <c>5198</c> <c>5040</c> <c>4880</c> <c>4718</c>
+<c>40</c>
+ <c>4552</c> <c>4382</c> <c>4212</c> <c>4038</c>
+<c>44</c>
+ <c>3862</c> <c>3684</c> <c>3502</c> <c>3320</c>
+<c>48</c>
+ <c>3136</c> <c>2948</c> <c>2760</c> <c>2570</c>
+<c>52</c>
+ <c>2378</c> <c>2186</c> <c>1990</c> <c>1794</c>
+<c>56</c>
+ <c>1598</c> <c>1400</c> <c>1202</c> <c>1002</c>
+<c>60</c>
+  <c>802</c>  <c>602</c>  <c>402</c>  <c>202</c>
+<c>64</c>
+    <c>0</c> <c>-202</c> <c>-402</c> <c>-602</c>
+<c>68</c>
+ <c>-802</c><c>-1002</c><c>-1202</c><c>-1400</c>
+<c>72</c>
+<c>-1598</c><c>-1794</c><c>-1990</c><c>-2186</c>
+<c>76</c>
+<c>-2378</c><c>-2570</c><c>-2760</c><c>-2948</c>
+<c>80</c>
+<c>-3136</c><c>-3320</c><c>-3502</c><c>-3684</c>
+<c>84</c>
+<c>-3862</c><c>-4038</c><c>-4212</c><c>-4382</c>
+<c>88</c>
+<c>-4552</c><c>-4718</c><c>-4880</c><c>-5040</c>
+<c>92</c>
+<c>-5198</c><c>-5352</c><c>-5502</c><c>-5648</c>
+<c>96</c>
+<c>-5792</c><c>-5934</c><c>-6070</c><c>-6204</c>
+<c>100</c>
+<c>-6332</c><c>-6458</c><c>-6580</c><c>-6698</c>
+<c>104</c>
+<c>-6812</c><c>-6922</c><c>-7026</c><c>-7128</c>
+<c>108</c>
+<c>-7226</c><c>-7318</c><c>-7406</c><c>-7490</c>
+<c>112</c>
+<c>-7568</c><c>-7644</c><c>-7714</c><c>-7778</c>
+<c>116</c>
+<c>-7840</c><c>-7896</c><c>-7946</c><c>-7994</c>
+<c>120</c>
+<c>-8034</c><c>-8072</c><c>-8104</c><c>-8130</c>
+<c>124</c>
+<c>-8152</c><c>-8170</c><c>-8182</c><c>-8190</c>
+<c>128</c>
+<c>-8192</c>        <c/>        <c/>        <c/>
+</texttable>
+
+<t>
+Given the list of cosine values, silk_NLSF2A_find_poly() (silk_NLSF2A.c)
+ computes the coefficients of P and Q, described here via a simple recurrence.
+Let p_Q16[k][j] and q_Q16[k][j] be the coefficients of the products of the
+ first (k+1) root pairs for P and Q, with j indexing the coefficient number.
+Only the first (k+2) coefficients are needed, as the products are symmetric.
+Let p_Q16[0][0]&nbsp;=&nbsp;q_Q16[0][0]&nbsp;=&nbsp;1&lt;&lt;16,
+ p_Q16[0][1]&nbsp;=&nbsp;-c_Q17[0], q_Q16[0][1]&nbsp;=&nbsp;-c_Q17[1], and
+ d2&nbsp;=&nbsp;d_LPC/2.
+As boundary conditions, assume
+ p_Q16[k][j]&nbsp;=&nbsp;q_Q16[k][j]&nbsp;=&nbsp;0 for all
+ j&nbsp;&lt;&nbsp;0.
+Also, assume p_Q16[k][k+2]&nbsp;=&nbsp;p_Q16[k][k] and
+ q_Q16[k][k+2]&nbsp;=&nbsp;q_Q16[k][k] (because of the symmetry).
+Then, for 0&nbsp;&lt;k&nbsp;&lt;&nbsp;d2 and 0&nbsp;&lt;=&nbsp;j&nbsp;&lt;=&nbsp;k+1,
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+p_Q16[k][j] = p_Q16[k-1][j] + p_Q16[k-1][j-2]
+              - ((c_Q17[2*k]*p_Q16[k-1][j-1] + 32768)>>16) ,
+
+q_Q16[k][j] = q_Q16[k-1][j] + q_Q16[k-1][j-2]
+              - ((c_Q17[2*k+1]*q_Q16[k-1][j-1] + 32768)>>16) .
+]]></artwork>
+</figure>
+The use of Q17 values for the cosine terms in an otherwise Q16 expression
+ implicitly scales them by a factor of 2.
+The multiplications in this recurrence may require up to 48 bits of precision
+ in the result to avoid overflow.
+In practice, each row of the recurrence only depends on the previous row, so an
+ implementation does not need to store all of them.
+</t>
+<t>
+silk_NLSF2A() uses the values from the last row of this recurrence to
+ reconstruct a 32-bit version of the LPC filter (without the leading 1.0
+ coefficient), a32_Q17[k], 0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d2:
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+a32_Q17[k]         = -(q_Q16[d2-1][k+1] - q_Q16[d2-1][k])
+                     - (p_Q16[d2-1][k+1] + p_Q16[d2-1][k])) ,
+
+a32_Q17[d_LPC-k-1] =  (q_Q16[d2-1][k+1] - q_Q16[d2-1][k])
+                     - (p_Q16[d2-1][k+1] + p_Q16[d2-1][k])) .
+]]></artwork>
+</figure>
+The sum and difference of two terms from each of the p_Q16 and q_Q16
+ coefficient lists reflect the (1&nbsp;+&nbsp;z**-1) and
+ (1&nbsp;-&nbsp;z**-1) factors of P and Q, respectively.
+The promotion of the expression from Q16 to Q17 implicitly scales the result
+ by 1/2.
+</t>
+</section>
+
+<section anchor="silk_lpc_range"
+ title="Limiting the Range of the LPC Coefficients">
+<t>
+The a32_Q17[] coefficients are too large to fit in a 16-bit value, which
+ significantly increases the cost of applying this filter in fixed-point
+ decoders.
+Reducing them to Q12 precision doesn't incur any significant quality loss,
+ but still does not guarantee they will fit.
+silk_NLSF2A() applies up to 10 rounds of bandwidth expansion to limit
+ the dynamic range of these coefficients.
+Even floating-point decoders SHOULD perform these steps, to avoid mismatch.
+</t>
+<t>
+For each round, the process first finds the index k such that abs(a32_Q17[k])
+ is the largest, breaking ties by using the lower value of k.
+Then, it computes the corresponding Q12 precision value, maxabs_Q12, subject to
+ an upper bound to avoid overflow in subsequent computations:
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+maxabs_Q12 = min((maxabs_Q17 + 16) >> 5, 163838) .
+]]></artwork>
+</figure>
+If this is larger than 32767, the procedure derives the chirp factor,
+ sc_Q16[0], to use in the bandwidth expansion as
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+                    (maxabs_Q12 - 32767) << 14
+sc_Q16[0] = 65470 - -------------------------- ,
+                    (maxabs_Q12 * (k+1)) >> 2
+]]></artwork>
+</figure>
+ where the division here is exact integer division.
+This is an approximation of the chirp factor needed to reduce the target
+ coefficient to 32767, though it is both less than 0.999 and, for
+ k&nbsp;&gt;&nbsp;0 when maxabs_Q12 is much greater than 32767, still slightly
+ too large.
+</t>
+<t>
+silk_bwexpander_32() (silk_bwexpander_32.c) peforms the bandwidth expansion
+ (again, only when maxabs_Q12 is greater than 32767) using the following
+ recurrence:
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+ a32_Q17[k] = (a32_Q17[k]*sc_Q16[k]) >> 16
+
+sc_Q16[k+1] = (sc_Q16[0]*sc_Q16[k] + 32768) >> 16
+]]></artwork>
+</figure>
+The first multiply may require up to 48 bits of precision in the result to
+ avoid overflow.
+The second multiply must be unsigned to avoid overflow with only 32 bits of
+ precision.
+The reference implementation uses a slightly more complex formulation that
+ avoids the 32-bit overflow using signed multiplication, but is otherwise
+ equivalent.
+</t>
+<t>
+After 10 rounds of bandwidth expansion are performed, they are simply saturated
+ to 16 bits:
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+a32_Q17[k] = clamp(-32768, (a32_Q17[k]+16) >> 5, 32767) << 5 .
+]]></artwork>
+</figure>
+Because this performs the actual saturation in the Q12 domain, but converts the
+ coefficients back to the Q17 domain for the purposes of prediction gain
+ limiting, this step must be performed after the 10th round of bandwidth
+ expansion, regardless of whether or not the Q12 version of any of the
+ coefficients still overflow a 16-bit integer.
+This saturation is not performed if maxabs_Q12 drops to 32767 or less prior to
+ the 10th round.
+</t>
+</section>
 
-<section anchor="range-decoder" title="Range Decoder">
+<section title="Limiting the Prediction Gain of the LPC Filter">
 <t>
-The range decoder extracts the symbols and integers encoded using the range encoder in
-<xref target="range-encoder"></xref>. The range decoder maintains an internal
-state vector composed of the two-tuple (dif,rng), representing the
-difference between the high end of the current range and the actual
-coded value, and the size of the current range, respectively. Both
-dif and rng are 32-bit unsigned integer values. rng is initialized to
-2^7. dif is initialized to rng minus the top 7 bits of the first
-input octet. Then the range is immediately normalized, using the
-procedure described in the following section.
+Even if the Q12 coefficients would fit, the resulting filter may still have a
+ significant gain (especially for voiced sounds), making the filter unstable.
+silk_NLSF2A() applies up to 18 additional rounds of bandwidth expansion to
+ limit the prediction gain.
+Instead of controlling the amount of bandwidth expansion using the prediction
+ gain itself (which may diverge to infinity for an unstable filter),
+ silk_NLSF2A() uses LPC_inverse_pred_gain_QA() (silk_LPC_inv_pred_gain.c)
+ to compute the reflection coefficients associated with the filter.
+The filter is stable if and only if the magnitude of these coefficients is
+ sufficiently less than one.
+The reflection coefficients, rc[k], can be computed using a simple Levinson
+ recurrence, initialized with the LPC coefficients
+ a[d_LPC-1][n]&nbsp;=&nbsp;a[n], and then updated via
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+    rc[k] = -a[k][k] ,
+
+            a[k][n] - a[k][k-n-1]*rc[k]
+a[k-1][n] = --------------------------- .
+                             2
+                    1 - rc[k]
+]]></artwork>
+</figure>
 </t>
-
-<section anchor="decoding-symbols" title="Decoding Symbols">
 <t>
-   Decoding symbols is a two-step process. The first step determines
-   a value fs that lies within the range of some symbol in the current
-   context. The second step updates the range decoder state with the
-   three-tuple (fl,fh,ft) corresponding to that symbol, as defined in
-   <xref target="encoding-symbols"></xref>.
+However, LPC_inverse_pred_gain_QA() approximates this using fixed-point
+ arithmetic to guarantee reproducible results across platforms and
+ implementations.
+It is important to run on the real Q12 coefficients that will be used during
+ reconstruction, because small changes in the coefficients can make a stable
+ filter unstable, but increasing the precision back to Q16 allows more accurate
+ computation of the reflection coefficients.
+Thus, let
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+a32_Q16[d_LPC-1][n] = ((a32_Q17[n] + 16) >> 5) << 4
+]]></artwork>
+</figure>
+ be the Q16 representation of the Q12 version of the LPC coefficients that will
+ eventually be used.
+Then for each k from d_LPC-1 down to 0, if
+ abs(a32_Q16[k][k])&nbsp;&gt;&nbsp;65520, the filter is unstable and the
+ recurrence stops.
+Otherwise, the row k-1 of a32_Q16 is computed from row k as
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+      rc_Q31[k] = -a32_Q16[k][k] << 15 ,
+
+     div_Q30[k] = (1<<30) - 1 - (rc_Q31[k]*rc_Q31[k] >> 32) ,
+
+          b1[k] = ilog(div_Q30[k]) - 16 ,
+
+                        (1<<29) - 1
+     inv_Qb1[k] = ----------------------- ,
+                  div_Q30[k] >> (b1[k]+1)
+
+     err_Q29[k] = (1<<29)
+                  - ((div_Q30[k]<<(15-b1[k]))*inv_Qb1[k] >> 16) ,
+
+     mul_Q16[k] = ((inv_Qb1[k] << 16)
+                   + (err_Q29[k]*inv_Qb1[k] >> 13)) >> b1[k] ,
+
+          b2[k] = ilog(mul_Q16[k]) - 15 ,
+
+  t_Q16[k-1][n] = a32_Q16[k][n]
+                  - ((a32_Q16[k][k-n-1]*rc_Q31[k] >> 32) << 1) ,
+
+a32_Q16[k-1][n] = ((t_Q16[k-1][n] *
+                    (mul_Q16[k] << (16-b2[k]))) >> 32) << b2[k] .
+]]></artwork>
+</figure>
+Here, rc_Q30[k] are the reflection coefficients.
+div_Q30[k] is the denominator for each iteration, and mul_Q16[k] is its
+ multiplicative inverse.
+inv_Qb1[k], which ranges from 16384 to 32767, is a low-precision version of
+ that inverse (with b1[k] fractional bits, where b1[k] ranges from 3 to 14).
+err_Q29[k] is the residual error, ranging from -32392 to 32763, which is used
+ to improve the accuracy.
+t_Q16[k-1][n], 0&nbsp;&lt;=&nbsp;n&nbsp;&lt;&nbsp;k, are the numerators for the
+ next row of coefficients in the recursion, and a32_Q16[k-1][n] is the final
+ version of that row.
+Every multiply in this procedure except the one used to compute mul_Q16[k]
+ requires more than 32 bits of precision, but otherwise all intermediate
+ results fit in 32 bits or less.
+In practice, because each row only depends on the next one, an implementation
+ does not need to store them all.
+If abs(a32_Q16[k][k])&nbsp;&lt;=&nbsp;65520 for
+ 0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d_LPC, then the filter is considerd stable.
 </t>
 <t>
-   The first step is implemented by ec_decode() 
-   (rangedec.c), 
-   and computes fs = ft-min((dif-1)/(rng/ft)+1,ft), where ft is
-   the sum of the frequency counts in the current context, as described
-   in <xref target="encoding-symbols"></xref>. The divisions here are exact integer division. 
+On round i, 1&nbsp;&lt;=&nbsp;i&nbsp;&lt;=&nbsp;18, if the filter passes this
+ stability check, then this procedure stops, and the final LPC coefficients to
+ use for reconstruction<!--TODO: In section...--> are
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+a_Q12[k] = (a32_Q17[k] + 16) >> 5 .
+]]></artwork>
+</figure>
+Otherwise, a round of bandwidth expansion is applied using the same procedure
+ as in <xref target="silk_lpc_range"/>, with
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+sc_Q16[0] = 65536 - i*(i+9) .
+]]></artwork>
+</figure>
+If, after the 18th round, the filter still fails the stability check, then
+ a_Q12[k] is set to 0 for all k.
 </t>
+</section>
+
+</section>
+
+<section title="Long-Term Prediction (LTP) Parameters">
 <t>
-   In the reference implementation, a special version of ec_decode()
-   called ec_decode_bin() (rangeenc.c) is defined using
-   the parameter ftb instead of ft. It is mathematically equivalent to
-   calling ec_decode() with ft = (1&lt;&lt;ftb), but avoids one of the
-   divisions.
+After the normalized LSF indices and, for 20&nbsp;ms frames, the LSF
+ interpolation index, voiced frames (see <xref target="silk_frame_type"/>)
+ include additional Long-Term Prediction (LTP) parameters.
+There is one primary lag index for each SILK frame, but this is refined to
+ produce a separate lag index per subframe using a vector quantizer.
+Each subframe also gets its own prediction gain coefficient.
 </t>
+
+<section title="Pitch Lags">
 <t>
-   The decoder then identifies the symbol in the current context
-   corresponding to fs; i.e., the one whose three-tuple (fl,fh,ft)
-   satisfies fl &lt;= fs &lt; fh. This tuple is used to update the decoder
-   state according to dif = dif - (rng/ft)*(ft-fh), and if fl is greater
-   than zero, rng = (rng/ft)*(fh-fl), or otherwise rng = rng - (rng/ft)*(ft-fh). After this update, the range is normalized.
+The primary lag index is coded either relative to the primary lag of the prior
+ frame or as an absolute index.
+Like the quantization gains, the first LBRR frame, an LBRR frame where the
+ previous LBRR frame was not coded, or the first regular SILK frame in an Opus
+ frame all code the pitch lag as an absolute index.
+When the prior frame was not voiced, this also forces absolute coding.
 </t>
 <t>
-   To normalize the range, the following process is repeated until
-   rng > 2^23. First, rng is set to (rng&lt;8)&amp;0xFFFFFFFF. Then the next
-   8 bits of input are read into sym, using the remaining bit from the
-   previous input octet as the high bit of sym, and the top 7 bits of the
-   next octet for the remaining bits of sym. If no more input octets
-   remain, zero bits are used instead. Then, dif is set to
-   (dif&lt;&lt;8)-sym&amp;0xFFFFFFFF (i.e., using wrap-around if the subtraction
-   overflows a 32-bit register). Finally, if dif is larger than 2^31,
-   dif is then set to dif - 2^31. This process is carried out by
-   ec_dec_normalize() (rangedec.c).
+With absolute coding, the primary pitch lag may range from 2&nbsp;ms
+ (inclusive) up to 18&nbsp;ms (exclusive), corresponding to pitches from
+ 500&nbsp;Hz down to 55.6&nbsp;Hz, respectively.
+It is comprised of a high part and a low part, where the decoder reads the high
+ part using the 32-entry codebook in <xref target="silk_abs_pitch_high_pdf"/>
+ and the low part using the codebook corresponding to the current audio
+ bandwidth from <xref target="silk_abs_pitch_low_pdf"/>.
+The final primary pitch lag is then
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+lag = lag_high*lag_scale + lag_low + lag_min
+]]></artwork>
+</figure>
+ where lag_high is the high part, lag_low is the low part, and lag_scale
+ and lag_min are the values from the "Scale" and "Minimum Lag" columns of
+ <xref target="silk_abs_pitch_low_pdf"/>, respectively.
 </t>
-</section>
 
-<section anchor="decoding-ints" title="Decoding Uniformly Distributed Integers">
+<texttable anchor="silk_abs_pitch_high_pdf"
+ title="PDF for High Part of Primary Pitch Lag">
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>{3,   3,   6,  11,  21,  30,  32,  19,
+   11,  10,  12,  13,  13,  12,  11,   9,
+    8,   7,   6,   4,   2,   2,   2,   1,
+    1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1}/256</c>
+</texttable>
+
+<texttable anchor="silk_abs_pitch_low_pdf"
+ title="PDF for Low Part of Primary Pitch Lag">
+<ttcol>Audio Bandwidth</ttcol>
+<ttcol>PDF</ttcol>
+<ttcol>Scale</ttcol>
+<ttcol>Minimum Lag</ttcol>
+<ttcol>Maximum Lag</ttcol>
+<c>NB</c> <c>{64, 64, 64, 64}/256</c>                 <c>4</c> <c>16</c> <c>144</c>
+<c>MB</c> <c>{43, 42, 43, 43, 42, 43}/256</c>         <c>6</c> <c>24</c> <c>216</c>
+<c>WB</c> <c>{32, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 32}/256</c> <c>8</c> <c>32</c> <c>288</c>
+</texttable>
+
 <t>
-   Functions ec_dec_uint() or ec_dec_bits() are based on ec_decode() and
-   decode one of N equiprobable symbols, each with a frequency of 1,
-   where N may be as large as 2^32-1. Because ec_decode() is limited to
-   a total frequency of 2^16-1, this is done by decoding a series of
-   symbols in smaller contexts.
-</t>
-<t>
-   ec_dec_bits() (entdec.c) is defined, like
-   ec_decode_bin(), to take a single parameter ftb, with ftb &lt; 32.
-   and ftb &lt; 32, and produces an ftb-bit decoded integer value, t,
-   initialized to zero. While ftb is greater than 8, it decodes the next
-   8 most significant bits of the integer, s = ec_decode_bin(8), updates
-   the decoder state with the 3-tuple (s,s+1,256), adds those bits to
-   the current value of t, t = t&lt;&lt;8 | s, and subtracts 8 from ftb. Then
-   it decodes the remaining bits of the integer, s = ec_decode_bin(ftb),
-   updates the decoder state with the 3 tuple (s,s+1,1&lt;&lt;ftb), and adds
-   those bits to the final values of t, t = t&lt;&lt;ftb | s.
-</t>
-<t>
-   ec_dec_uint() (entdec.c) takes a single parameter,
-   ft, which is not necessarily a power of two, and returns an integer,
-   t, with a value between 0 and ft-1, inclusive, which is initialized to zero. Let
-   ftb be the location of the highest 1 bit in the two's-complement
-   representation of (ft-1), or -1 if no bits are set. If ftb>8, then
-   the top 8 bits of t are decoded using t = ec_decode((ft-1>>ftb-8)+1),
-   the decoder state is updated with the three-tuple
-   (s,s+1,(ft-1>>ftb-8)+1), and the remaining bits are decoded with
-   t = t&lt;&lt;ftb-8|ec_dec_bits(ftb-8). If, at this point, t >= ft, then
-   the current frame is corrupt, and decoding should stop. If the
-   original value of ftb was not greater than 8, then t is decoded with
-   t = ec_decode(ft), and the decoder state is updated with the
-   three-tuple (t,t+1,ft).
+All frames that do not use absolute coding for the primary lag index use
+ relative coding instead.
+The decoder reads a single delta value using the 21-entry PDF in
+ <xref target="silk_rel_pitch_pdf"/>.
+If the resulting value is zero, it falls back to the absolute coding procedure
+ from the prior paragraph.
+Otherwise, the final primary pitch lag is then
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+lag = lag_prev + (delta_lag_index - 9)
+]]></artwork>
+</figure>
+ where lag_prev is the primary pitch lag from the previous frame and
+ delta_lag_index is the value just decoded.
+This allows a per-frame change in the pitch lag of -8 to +11 samples.
+The decoder does no clamping at this point, so this value can fall outside the
+ range of 2&nbsp;ms to 18&nbsp;ms, and the decoder must use this unclamped
+ value when using relative coding in the next SILK frame (if any).
+However, because an Opus frame can use relative coding for at most two
+ consecutive SILK frames, integer overflow should not be an issue.
 </t>
-</section>
 
-<section anchor="decoder-tell" title="Current Bit Usage">
+<texttable anchor="silk_rel_pitch_pdf"
+ title="PDF for Pitch Lag Change">
+<ttcol align="left">PDF</ttcol>
+<c>{46,  2,  2,  3,  4,  6, 10, 15,
+    26, 38, 30, 22, 15, 10,  7,  6,
+     4,  4,  2,  2,  2}/256</c>
+</texttable>
+
 <t>
-   The bit allocation routines in CELT need to be able to determine a
-   conservative upper bound on the number of bits that have been used
-   to decode from the current frame thus far. This drives allocation
-   decisions which must match those made in the encoder. This is
-   computed in the reference implementation to fractional bit precision
-   by the function ec_dec_tell() (rangedec.c). Like all
-   operations in the range decoder, it must be implemented in a
-   bit-exact manner, and must produce exactly the same value returned by
-   ec_enc_tell() after encoding the same symbols.
+After the primary pitch lag, a "pitch contour", stored as a single entry from
+ one of four small VQ codebooks, gives lag offsets for each subframe in the
+ current SILK frame.
+The codebook index is decoded using one of the PDFs in
+ <xref target="silk_pitch_contour_pdfs"/> depending on the current frame size
+ and audio bandwidth.
+<xref target="silk_pitch_contour_cb_nb10ms"/> through
+ <xref target="silk_pitch_contour_cb_mbwb20ms"/> give the corresponding offsets
+ to apply to the primary pitch lag for each subframe given the decoded codebook
+ index.
 </t>
-</section>
 
-</section>
+<texttable anchor="silk_pitch_contour_pdfs"
+ title="PDFs for Subframe Pitch Contour">
+<ttcol>Audio Bandwidth</ttcol>
+<ttcol>SILK Frame Size</ttcol>
+<ttcol>PDF</ttcol>
+<c>NB</c>       <c>10&nbsp;ms</c>
+<c>{143, 50, 63}/256</c>
+<c>NB</c>       <c>20&nbsp;ms</c>
+<c>{68, 12, 21, 17, 19, 22, 30, 24,
+    17, 16, 10}/256</c>
+<c>MB or WB</c> <c>10&nbsp;ms</c>
+<c>{91, 46, 39, 19, 14, 12,  8,  7,
+     6,  5,  5,  4}/256</c>
+<c>MB or WB</c> <c>20&nbsp;ms</c>
+<c>{33, 22, 18, 16, 15, 14, 14, 13,
+    13, 10,  9,  9,  8,  6,  6,  6,
+     5,  4,  4,  4,  3,  3,  3,  2,
+     2,  2,  2,  2,  2,  2,  1,  1,
+     1,  1}</c>
+</texttable>
 
-      <section anchor='outline_decoder' title='SILK Decoder'>
-        <t>
-          At the receiving end, the received packets are by the range decoder split into a number of frames contained in the packet. Each of which contains the necessary information to reconstruct a 20 ms frame of the output signal.
-        </t>
-        <section title="Decoder Modules">
-          <t>
-            An overview of the decoder is given in <xref target="decoder_figure" />.
-            <figure align="center" anchor="decoder_figure">
-              <artwork align="center">
-                <![CDATA[
-   
-   +---------+    +------------+    
--->| Range   |--->| Decode     |---------------------------+
- 1 | Decoder | 2  | Parameters |----------+       5        |
-   +---------+    +------------+     4    |                |
-                       3 |                |                |
-                        \/               \/               \/
-                  +------------+   +------------+   +------------+
-                  | Generate   |-->| LTP        |-->| LPC        |-->
-                  | Excitation |   | Synthesis  |   | Synthesis  | 6
-                  +------------+   +------------+   +------------+
+<texttable anchor="silk_pitch_contour_cb_nb10ms"
+ title="Codebook Vectors for Subframe Pitch Contour: NB, 10&nbsp;ms Frames">
+<ttcol>Index</ttcol>
+<ttcol align="right">Subframe Offsets</ttcol>
+<c>0</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+<c>1</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+<c>2</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+</texttable>
 
-1: Range encoded bitstream
-2: Coded parameters
-3: Pulses and gains
-4: Pitch lags and LTP coefficients
-5: LPC coefficients
-6: Decoded signal
-]]>
-              </artwork>
-              <postamble>Decoder block diagram.</postamble>
-            </figure>
-          </t>
+<texttable anchor="silk_pitch_contour_cb_nb20ms"
+ title="Codebook Vectors for Subframe Pitch Contour: NB, 20&nbsp;ms Frames">
+<ttcol>Index</ttcol>
+<ttcol align="right">Subframe Offsets</ttcol>
+ <c>0</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>1</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
+ <c>2</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
+ <c>3</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+ <c>4</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>5</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+ <c>6</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+ <c>7</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>8</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>9</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
+<c>10</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
+</texttable>
 
-          <section title='Range Decoder'>
-            <t>
-              The range decoder decodes the encoded parameters from the received bitstream. Output from this function includes the pulses and gains for the excitation signal generation, as well as LTP and LSF codebook indices, which are needed for decoding LTP and LPC coefficients needed for LTP and LPC synthesis filtering the excitation signal, respectively.
-            </t>
-          </section>
+<texttable anchor="silk_pitch_contour_cb_mbwb10ms"
+ title="Codebook Vectors for Subframe Pitch Contour: MB or WB, 10&nbsp;ms Frames">
+<ttcol>Index</ttcol>
+<ttcol align="right">Subframe Offsets</ttcol>
+ <c>0</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>1</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+ <c>2</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>3</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+ <c>4</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;-1</spanx></c>
+ <c>5</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
+ <c>6</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;-1</spanx></c>
+ <c>7</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
+ <c>8</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;-2</spanx></c>
+ <c>9</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;&nbsp;3</spanx></c>
+<c>10</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;3,&nbsp;-2</spanx></c>
+<c>11</c> <c><spanx style="vbare">-3,&nbsp;&nbsp;3</spanx></c>
+</texttable>
 
-          <section title='Decode Parameters'>
-            <t>
-              Pulses and gains are decoded from the parameters that was decoded by the range decoder.
-            </t>
+<texttable anchor="silk_pitch_contour_cb_mbwb20ms"
+ title="Codebook Vectors for Subframe Pitch Contour: MB or WB, 20&nbsp;ms Frames">
+<ttcol>Index</ttcol>
+<ttcol align="right">Subframe Offsets</ttcol>
+ <c>0</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>1</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+ <c>2</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>3</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>4</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+ <c>5</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
+ <c>6</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
+ <c>7</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
+ <c>8</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
+ <c>9</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
+<c>10</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
+<c>11</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
+<c>12</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
+<c>13</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;3</spanx></c>
+<c>14</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;-1,&nbsp;-2</spanx></c>
+<c>15</c> <c><spanx style="vbare">-3,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;3</spanx></c>
+<c>16</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-2</spanx></c>
+<c>17</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;3,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-2</spanx></c>
+<c>18</c> <c><spanx style="vbare">-3,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;4</spanx></c>
+<c>19</c> <c><spanx style="vbare">-4,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;4</spanx></c>
+<c>20</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;3,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;-1,&nbsp;-3</spanx></c>
+<c>21</c> <c><spanx style="vbare">-4,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;5</spanx></c>
+<c>22</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;4,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-1,&nbsp;-3</spanx></c>
+<c>23</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;4,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;-1,&nbsp;-4</spanx></c>
+<c>24</c> <c><spanx style="vbare">-5,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;6</spanx></c>
+<c>25</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;5,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-1,&nbsp;-4</spanx></c>
+<c>26</c> <c><spanx style="vbare">-6,&nbsp;-2,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;6</spanx></c>
+<c>27</c> <c><spanx style="vbare">-5,&nbsp;-2,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;5</spanx></c>
+<c>28</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;6,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-1,&nbsp;-5</spanx></c>
+<c>29</c> <c><spanx style="vbare">-7,&nbsp;-2,&nbsp;&nbsp;3,&nbsp;&nbsp;8</spanx></c>
+<c>30</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;6,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-2,&nbsp;-6</spanx></c>
+<c>31</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;5,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-2,&nbsp;-5</spanx></c>
+<c>32</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;8,&nbsp;&nbsp;3,&nbsp;-2,&nbsp;-7</spanx></c>
+<c>33</c> <c><spanx style="vbare">-9,&nbsp;-3,&nbsp;&nbsp;3,&nbsp;&nbsp;9</spanx></c>
+</texttable>
 
-            <t>
-              When a voiced frame is decoded and LTP codebook selection and indices are received, LTP coefficients are decoded using the selected codebook by choosing the vector that corresponds to the given codebook index in that codebook. This is done for each of the four subframes.
-              The LPC coefficients are decoded from the LSF codebook by first adding the chosen vectors, one vector from each stage of the codebook. The resulting LSF vector is stabilized using the same method that was used in the encoder, see
-              <xref target='lsf_stabilizer_overview_section' />. The LSF coefficients are then converted to LPC coefficients, and passed on to the LPC synthesis filter.
-            </t>
-          </section>
+<t>
+The final pitch lag for each subframe is assembled in silk_decode_pitch()
+ (silk_decode_pitch.c).
+Let lag be the primary pitch lag for the current SILK frame, contour_index be
+ index of the VQ codebook, and lag_cb[contour_index][k] be the corresponding
+ entry of the codebook from the appropriate table given above for the
+ <spanx style="emph">k</spanx>th subframe.
+Then the final pitch lag for that subframe is
+<figure align="center">
+<artwork align="center"><![CDATA[
+pitch_lags[k] = clamp(lag_min, lag + lag_cb[contour_index][k],
+                      lag_max)
+]]></artwork>
+</figure>
+ where lag_min and lag_max are the values from the "Minimum Lag" and
+ "Maximum Lag" columns of <xref target="silk_abs_pitch_low_pdf"/>,
+ respectively.
+</t>
 
-          <section title='Generate Excitation'>
-            <t>
-              The pulses signal is multiplied with the quantization gain to create the excitation signal.
-            </t>
-          </section>
+</section>
 
-          <section title='LTP Synthesis'>
-            <t>
-              For voiced speech, the excitation signal e(n) is input to an LTP synthesis filter that will recreate the long term correlation that was removed in the LTP analysis filter and generate an LPC excitation signal e_LPC(n), according to
-              <figure align="center">
-                <artwork align="center">
-                  <![CDATA[
-                   d
-                  __
-e_LPC(n) = e(n) + \  e(n - L - i) * b_i,
-                  /_
-                 i=-d
-]]>
-                </artwork>
-              </figure>
-              using the pitch lag L, and the decoded LTP coefficients b_i.
+</section>
 
-              For unvoiced speech, the output signal is simply a copy of the excitation signal, i.e., e_LPC(n) = e(n).
-            </t>
-          </section>
+</section>
 
-          <section title='LPC Synthesis'>
-            <t>
-              In a similar manner, the short-term correlation that was removed in the LPC analysis filter is recreated in the LPC synthesis filter. The LPC excitation signal e_LPC(n) is filtered using the LTP coefficients a_i, according to
-              <figure align="center">
-                <artwork align="center">
-                  <![CDATA[
-                 d_LPC
-                  __
-y(n) = e_LPC(n) + \  e_LPC(n - i) * a_i,
-                  /_
-                  i=1
-]]>
-                </artwork>
-              </figure>
-              where d_LPC is the LPC synthesis filter order, and y(n) is the decoded output signal.
-            </t>
-          </section>
-        </section>
-      </section>
+<section title="LBRR Frames">
+<t>
+LBRR frames, if present, immediately follow the header bits, prior to any
+ regular SILK frames.
+Each frame whose LBRR flag was set includes a separate set of data for each
+ channel.
+</t>
+</section>
+
+</section>
 
 
 <section title="CELT Decoder">
 
-<t>
+<!--TODO: t>
 Insert decoder figure.
 
-</t>
+</t-->
 
 <texttable anchor='table_example'>
 <ttcol align='center'>Symbol(s)</ttcol>
 <ttcol align='center'>PDF</ttcol>
 <ttcol align='center'>Condition</ttcol>
-<c>silence</c>      <c>logp=15</c> <c></c>
-<c>post-filter</c>  <c>logp=1</c> <c></c>
+<c>silence</c>      <c>{32767, 1}/32768</c> <c></c>
+<c>post-filter</c>  <c>{1, 1}/2</c> <c></c>
 <c>octave</c>       <c>uniform (6)</c><c>post-filter</c>
 <c>period</c>       <c>raw bits (4+octave)</c><c>post-filter</c>
 <c>gain</c>         <c>raw bits (3)</c><c>post-filter</c>
-<c>tapset</c>       <c>[2, 1, 1]/4</c><c>post-filter</c>
-<c>transient</c>    <c>logp=3</c><c></c>
+<c>tapset</c>       <c>{2, 1, 1}/4</c><c>post-filter</c>
+<c>transient</c>    <c>{7, 1}/8</c><c></c>
+<c>intra</c>        <c>{7, 1}/8</c><c></c>
 <c>coarse energy</c><c><xref target="energy-decoding"/></c><c></c>
-<c>tf_change</c>    <c>Section X</c><c></c>
-<c>tf_select</c>    <c>logp=1</c><c>Section X</c>
-<c>spread</c>       <c>[7, 2, 21, 2]/32</c><c></c>
-<c>dyn. alloc.</c>  <c>Section X</c><c></c>
-<c>alloc. trim</c>  <c>[2, 2, 5, 10, 22, 46, 22, 10, 5, 2, 2]/128</c><c></c>
-<c>skip (*)</c>     <c>Section X</c><c></c>
-<c>intensity (*)</c><c>Section X</c><c></c>
-<c>dual (*)</c>     <c>logp=1</c><c></c>
+<c>tf_change</c>    <c><xref target="transient-decoding"/></c><c></c>
+<c>tf_select</c>    <c>{1, 1}/2</c><c><xref target="transient-decoding"/></c>
+<c>spread</c>       <c>{7, 2, 21, 2}/32</c><c></c>
+<c>dyn. alloc.</c>  <c><xref target="allocation"/></c><c></c>
+<c>alloc. trim</c>  <c>{2, 2, 5, 10, 22, 46, 22, 10, 5, 2, 2}/128</c><c></c>
+<c>skip</c>         <c>{1, 1}/2</c><c><xref target="allocation"/></c>
+<c>intensity</c>    <c>uniform</c><c><xref target="allocation"/></c>
+<c>dual</c>         <c>{1, 1}/2</c><c></c>
 <c>fine energy</c>  <c><xref target="energy-decoding"/></c><c></c>
-<c>residual</c>     <c>Section X</c><c></c>
-<c>anti-collapse</c><c>logp=1</c><c>stereo && transient</c>
+<c>residual</c>     <c><xref target="PVQ-decoder"/></c><c></c>
+<c>anti-collapse</c><c>{1, 1}/2</c><c><xref target="anti-collapse"/></c>
 <c>finalize</c>     <c><xref target="energy-decoding"/></c><c></c>
-<postamble>Order of the symbols in the CELT section of the bit-stream</postamble>
+<postamble>Order of the symbols in the CELT section of the bit-stream.</postamble>
 </texttable>
 
 <t>
 The decoder extracts information from the range-coded bit-stream in the order
-described in the figure above. In some circumstances, it is 
+described in the figure above. In some circumstances, it is
 possible for a decoded value to be out of range due to a very small amount of redundancy
 in the encoding of large integers by the range coder.
-In that case, the decoder should assume there has been an error in the coding, 
+In that case, the decoder should assume there has been an error in the coding,
 decoding, or transmission and SHOULD take measures to conceal the error and/or report
 to the application that a problem has occurred.
 </t>
 
-<section anchor="energy-decoding" title="Energy Envelope Decoding">
-<t>
-The energy of each band is extracted from the bit-stream in two steps according
-to the same coarse-fine strategy used in the encoder. First, the coarse energy is
-decoded in unquant_coarse_energy() (quant_bands.c)
-based on the probability of the Laplace model used by the encoder.
-</t>
-
+<section anchor="transient-decoding" title="Transient Decoding">
 <t>
-After the coarse energy is decoded, the same allocation function as used in the
-encoder is called. This determines the number of
-bits to decode for the fine energy quantization. The decoding of the fine energy bits
-is performed by unquant_fine_energy() (quant_bands.c).
-Finally, like the encoder, the remaining bits in the stream (that would otherwise go unused)
-are decoded using unquant_energy_finalise() (quant_bands.c).
+The <spanx style="emph">transient</spanx> flag encoded in the bit-stream has a
+probability of 1/8. When it is set, then the MDCT coefficients represent multiple
+short MDCTs in the frame. When not set, the coefficients represent a single
+long MDCT for the frame. In addition to the global transient flag is a per-band
+binary flag to change the time-frequency (tf) resolution independently in each band. The
+change in tf resolution is defined in tf_select_table[][] in celt.c and depends
+on the frame size, whether the transient flag is set, and the value of tf_select.
+The tf_select flag uses a 1/2 probability, but is only decoded
+if it can have an impact on the result knowing the value of all per-band
+tf_change flags.
 </t>
 </section>
 
-<section anchor="allocation" title="Bit allocation">
-<t>Bit allocation is performed based only on information available to both
-the encoder and decoder. The same calculations are performed in a bit-exact
-manner in both the encoder and decoder to ensure that the result is always
-exactly the same. Any mismatch causes corruption of the decoded output.
-The allocation is computed by compute_allocation() (rate.c),
-which is used in both the encoder and the decoder.</t>
+<section anchor="energy-decoding" title="Energy Envelope Decoding">
+
+<t>
+It is important to quantize the energy with sufficient resolution because
+any energy quantization error cannot be compensated for at a later
+stage. Regardless of the resolution used for encoding the shape of a band,
+it is perceptually important to preserve the energy in each band. CELT uses a
+three-step coarse-fine-fine strategy for encoding the energy in the base-2 log
+domain, as implemented in quant_bands.c</t>
 
-<t>For a given band, the bit allocation is nearly constant across
-frames that use the same number of bits for Q1, yielding a 
-pre-defined signal-to-mask ratio (SMR) for each band. Because the
-bands each have a width of one Bark, this is equivalent to modeling the
-masking occurring within each critical band, while ignoring inter-band
-masking and tone-vs-noise characteristics. While this is not an
-optimal bit allocation, it provides good results without requiring the
-transmission of any allocation information. Additionally, the encoder
-is able to signal alterations to the implicit allocation via
-two means: There is an entropy coded tilt parameter can be used to tilt the
-allocation to favor low or high frequencies, and there is a boost parameter
-which can be used to shift large amounts of additional precision into
-individual bands.
+<section anchor="coarse-energy-decoding" title="Coarse energy decoding">
+<t>
+Coarse quantization of the energy uses a fixed resolution of 6 dB
+(integer part of base-2 log). To minimize the bitrate, prediction is applied
+both in time (using the previous frame) and in frequency (using the previous
+bands). The part of the prediction that is based on the
+previous frame can be disabled, creating an "intra" frame where the energy
+is coded without reference to prior frames. The decoder first reads the intra flag
+to determine what prediction is used.
+The 2-D z-transform of
+the prediction filter is: A(z_l, z_b)=(1-a*z_l^-1)*(1-z_b^-1)/(1-b*z_b^-1)
+where b is the band index and l is the frame index. The prediction coefficients
+applied depend on the frame size in use when not using intra energy and a=0 b=4915/32768
+when using intra energy.
+The time-domain prediction is based on the final fine quantization of the previous
+frame, while the frequency domain (within the current frame) prediction is based
+on coarse quantization only (because the fine quantization has not been computed
+yet). The prediction is clamped internally so that fixed point implementations with
+limited dynamic range to not suffer desynchronization.
+We approximate the ideal
+probability distribution of the prediction error using a Laplace distribution
+with seperate parameters for each frame size in intra and inter-frame modes. The
+coarse energy quantization is performed by unquant_coarse_energy() and
+unquant_coarse_energy_impl() (quant_bands.c). The encoding of the Laplace-distributed values is
+implemented in ec_laplace_decode() (laplace.c).
 </t>
 
+</section>
 
+<section anchor="fine-energy-decoding" title="Fine energy quantization">
 <t>
-For every encoded or decoded frame, a target allocation must be computed
-using the projected allocation. In the reference implementation this is
-performed by compute_allocation() (rate.c).
-The target computation begins by calculating the available space as the
-number of eighth-bits which can be fit in the frame after Q1 is stored according
-to the range coder (ec_tell_frac()) and reserving one eighth-bit.
-Then the two projected prototype allocations whose sums multiplied by 8 are nearest
-to that value are determined. These two projected prototype allocations are then interpolated
-by finding the highest integer interpolation coefficient in the range 0-63
-such that the sum of the higher prototype times the coefficient divided by
-64 plus the sum of the lower prototype multiplied is less than or equal to the
-available eighth-bits. During the interpolation a maximum allocation
-in each band is imposed along with a threshold hard minimum allocation for
-each band.
-Starting from the last coded band a binary decision is coded for each
-band over the minimum threshold to determine if that band should instead
-recieve only the minimum allocation. This process stops at the first
-non-minimum band, the first band to recieve an explicitly coded boost,
-or the first band in the frame, whichever comes first.
-The reference implementation performs this step in interp_bits2pulses()
-using a binary search for the interpolation. (rate.c).
+The number of bits assigned to fine energy quantization in each band is determined
+by the bit allocation computation described in <xref target="allocation"></xref>.
+Let B_i be the number of fine energy bits
+for band i; the refinement is an integer f in the range [0,2^B_i-1]. The mapping between f
+and the correction applied to the coarse energy is equal to (f+1/2)/2^B_i - 1/2. Fine
+energy quantization is implemented in quant_fine_energy() (quant_bands.c).
 </t>
-
 <t>
-Because the computed target will sometimes be somewhat smaller than the
-available space, the excess space is divided by the number of bands, and this amount
-is added equally to each band which was not forced to the minimum value.
+When some bits are left "unused" after all other flags have been decoded, these bits
+are assigned to a "final" step of fine allocation. In effect, these bits are used
+to add one extra fine energy bit per band per channel. The allocation process
+determines two <spanx style="emph">priorities</spanx> for the final fine bits.
+Any remaining bits are first assigned only to bands of priority 0, starting
+from band 0 and going up. If all bands of priority 0 have received one bit per
+channel, then bands of priority 1 are assigned an extra bit per channel,
+starting from band 0. If any bit is left after this, they are left unused.
+This is implemented in unquant_energy_finalise() (quant_bands.c).
 </t>
 
+</section> <!-- fine energy -->
+
+</section> <!-- Energy decode -->
+
+<section anchor="allocation" title="Bit allocation">
+<t>Many codecs transmit significant amounts of side information for
+the purpose of controlling bit allocation within a frame. Often this
+side information controls bit usage indirectly and must be carefully
+selected to achieve the desired rate constraints.</t>
+
+<t>The band-energy normalized structure of Opus MDCT mode ensures that a
+constant bit allocation for the shape content of a band will result in a
+roughly constant tone to noise ratio, which provides for fairly consistent
+perceptual performance. The effectiveness of this approach is the result of
+two factors: The band energy, which is understood to be perceptually
+important on its own, is always preserved regardless of the shape precision and because
+the constant tone-to-noise ratio implies a constant intra-band noise to masking ratio.
+Intra-band masking is the strongest of the perceptual masking effects. This structure
+means that the ideal allocation is more consistent from frame to frame than
+it is for other codecs without an equivalent structure.</t>
+
+<t>Because the bit allocation is used to drive the decoding of the range-coder
+stream it MUST be recovered exactly so that identical coding decisions are
+made in the encoder and decoder. Any deviation from the reference's resulting
+bit allocation will result in corrupted output, though implementers are
+free to implement the procedure in any way which produces identical results.</t>
+
+<t>Because all of the information required to decode a frame must be derived
+from that frame alone in order to retain robustness to packet loss the
+overhead of explicitly signaling the allocation would be considerable,
+especially for low-latency (small frame size) applications,
+even though the allocation is relatively static.</t>
+
+<t>For this reason, in the MDCT mode Opus uses a primarily implicit bit
+allocation. The available bit-stream capacity is known in advance to both
+the encoder and decoder without additional signaling, ultimately from the
+packet sizes expressed by a higher level protocol. Using this information
+the codec interpolates an allocation from a hard-coded table.</t>
+
+<t>While the band-energy structure effectively models intra-band masking,
+it ignores the weaker inter-band masking, band-temporal masking, and
+other less significant perceptual effects. While these effects can
+often be ignored they can become significant for particular samples. One
+mechanism available to encoders would be to simply increase the overall
+rate for these frames, but this is not possible in a constant rate mode
+and can be fairly inefficient. As a result three explicitly signaled
+mechanisms are provided to alter the implicit allocation:</t>
+
 <t>
-The allocation target is separated into a portion used for fine energy
-and a portion used for the Spherical Vector Quantizer (PVQ). The fine energy
-quantizer operates in whole-bit steps and is allocated based on an offset
-fraction of the total usable space. Excess bits above the maximums are
-left unallocated and placed into the rolling balance maintained during
-the quantization process.
+<list style="symbols">
+<t>Band boost</t>
+<t>Allocation trim</t>
+<t>band skipping</t>
+</list>
+</t>
+
+<t>The first of these mechanisms, band boost, allows an encoder to boost
+the allocation in specific bands. The second, allocation trim, works by
+biasing the overall allocation towards higher or lower frequency bands. The third, band
+skipping, selects which low-precision high frequency bands
+will be allocated no shape bits at all.</t>
+
+<t>In stereo mode there are also two additional parameters
+potentially coded as part of the allocation procedure: a parameter to allow the
+selective elimination of allocation for the 'side' in jointly coded bands,
+and a flag to deactivate joint coding. These values are not signaled if
+they would be meaningless in the overall context of the allocation.</t>
+
+<t>Because every signaled adjustment increases overhead and implementation
+complexity none were included speculatively: The reference encoder makes use
+of all of these mechanisms. While the decision logic in the reference was
+found to be effective enough to justify the overhead and complexity further
+analysis techniques may be discovered which increase the effectiveness of these
+parameters. As with other signaled parameters, encoder is free to choose the
+values in any manner but unless a technique is known to deliver superior
+perceptual results the methods used by the reference implementation should be
+used.</t>
+
+<t>The process of allocation consists of the following steps: determining the per-band
+maximum allocation vector, decoding the boosts, decoding the tilt, determining
+the remaining capacity the frame, searching the mode table for the
+entry nearest but not exceeding the available space (subject to the tilt, boosts, band
+maximums, and band minimums), linear interpolation, reallocation of
+unused bits with concurrent skip decoding, determination of the
+fine-energy vs shape split, and final reallocation. This process results
+in an shape allocation per-band (in 1/8th bit units), a per-band fine-energy
+allocation (in 1 bit per channel units), a set of band priorities for
+controlling the use of remaining bits at the end of the frame, and a
+remaining balance of unallocated space which is usually zero except
+at very high rates.</t>
+
+<t>The maximum allocation vector is an approximation of the maximum space
+which can be used by each band for a given mode. The value is
+approximate because the shape encoding is variable rate (due
+to entropy coding of splitting parameters). Setting the maximum too low reduces the
+maximum achievable quality in a band while setting it too high
+may result in waste: bit-stream capacity available at the end
+of the frame which can not be put to any use. The maximums
+specified by the codec reflect the average maximum. In the reference
+the maximums are provided partially computed form, in order to fit in less
+memory, as a static table (XXX cache.caps). Implementations are expected
+to simply use the same table data but the procedure for generating
+this table is included in rate.c as part of compute_pulse_cache().</t>
+
+<t>To convert the values in cache.caps into the actual maximums: First
+set nbBands to the maximum number of bands for this mode and stereo to
+zero if stereo is not in use and one otherwise. For each band assign N
+to the number of MDCT bins covered by the band (for one channel), set LM
+to the shift value for the frame size (e.g. 0 for 120, 1 for 240, 3 for 480)
+then set i to nbBands*(2*LM+stereo). Then set the maximum for the band to
+the i-th index of cache.caps + 64 and multiply by the number of channels
+in the current frame (one or two) and by N then divide the result by 4
+using truncating integer division. The resulting vector will be called
+cap[]. The elements fit in signed 16 bit integers but do not fit in 8 bits.
+This procedure is implemented in the reference in the function init_caps() in celt.c.
 </t>
 
+<t>The band boosts are represented by a series of binary symbols which
+are coded with very low probability. Each band can potentially be boosted
+multiple times, subject to the frame actually having enough room to obey
+the boost and having enough room to code the boost symbol. The default
+coding cost for a boost starts out at six bits, but subsequent boosts
+in a band cost only a single bit and every time a band is boosted the
+initial cost is reduced (down to a minimum of two). Since the initial
+cost of coding a boost is 6 bits the coding cost of the boost symbols when
+completely unused is 0.48 bits/frame for a 21 band mode (21*-log2(1-1/2^6)).</t>
+
+<t>To decode the band boosts: First set 'dynalloc_logp' to 6, the initial
+amount of storage required to signal a boost in bits, 'total_bits' to the
+size of the frame in 8th-bits, 'total_boost' to zero, and 'tell' to the total number
+of 8th bits decoded
+so far. For each band from the coding start (0 normally, but 17 in hybrid mode)
+to the coding end (which changes depending on the signaled bandwidth): Set 'width'
+to the number of MDCT bins in this band for all channels. Take the larger of width
+and 64, then the minimum of that value and the width times eight and set 'quanta'
+to the result. This represents a boost step size of six bits subject to limits
+of 1/bit/sample and 1/8th bit/sample. Set 'boost' to zero and 'dynalloc_loop_logp'
+to dynalloc_logp. While dynalloc_loop_log (the current worst case symbol cost) in
+8th bits plus tell is less than total_bits plus total_boost and boost is less than cap[] for this
+band: Decode a bit from the bitstream with a with dynalloc_loop_logp as the cost
+of a one, update tell to reflect the current used capacity, if the decoded value
+is zero break the  loop otherwise add quanta to boost and total_boost, subtract quanta from
+total_bits, and set dynalloc_loop_log to 1. When the while loop finishes
+boost contains the boost for this band. If boost is non-zero and dynalloc_logp
+is greater than 2 decrease dynalloc_logp.  Once this process has been
+execute on all bands the band boosts have been decoded. This procedure
+is implemented around line 2352 of celt.c.</t>
+
+<t>At very low rates it's possible that there won't be enough available
+space to execute the inner loop even once. In these cases band boost
+is not possible but its overhead is completely eliminated. Because of the
+high cost of band boost when activated a reasonable encoder should not be
+using it at very low rates. The reference implements its dynalloc decision
+logic at around 1269 of celt.c</t>
+
+<t>The allocation trim is a integer value from 0-10. The default value of
+5 indicates no trim. The trim parameter is entropy coded in order to
+lower the coding cost of less extreme adjustments. Values lower than
+5 bias the allocation towards lower frequencies and values above 5
+bias it towards higher frequencies. Like other signaled parameters, signaling
+of the trim is gated so that it is not included if there is insufficient space
+available in the bitstream. To decode the trim first set
+the trim value to 5 then iff the count of decoded 8th bits so far (ec_tell_frac)
+plus 48 (6 bits) is less than or equal to the total frame size in 8th
+bits minus total_boost (a product of the above band boost procedure) then
+decode the trim value using the inverse CDF {127, 126, 124, 119, 109, 87, 41, 19, 9, 4, 2, 0}.</t>
+
+<t>Stereo parameters</t>
+
+<t>Anti-collapse reservation</t>
+
+<t>The allocation computation first begins by setting up some initial conditions.
+'total' is set to the available remaining 8th bits, computed by taking the
+size of the coded frame times 8 and subtracting ec_tell_frac(). From this value one (8th bit)
+is subtracted to assure that the resulting allocation will be conservative. 'anti_collapse_rsv'
+is set to 8 (8th bits) iff the frame is a transient, LM is greater than 1, and total is
+greater than or equal to (LM+2) * 8. Total is then decremented by anti_collapse_rsv and clamped
+to be equal to or greater than zero. 'skip_rsv' is set to 8 (8th bits) if total is greater than
+8, otherwise it is zero. Total is then decremented by skip_rsv. This reserves space for the
+final skipping flag.</t>
+
+<t>If the current frame is stereo intensity_rsv is set to the conservative log2 in 8th bits
+of the number of coded bands for this frame (given by the table LOG2_FRAC_TABLE). If
+intensity_rsv is greater than total then intensity_rsv is set to zero otherwise total is
+decremented by intensity_rsv, and if total is still greater than 8 dual_stereo_rsv is
+set to 8 and total is decremented by dual_stereo_rsv.</t>
+
+<t>The allocation process then computes a vector representing the hard minimum amounts allocation
+any band will receive for shape. This minimum is higher than the technical limit of the PVQ
+process, but very low rate allocations produce excessively an sparse spectrum and these bands
+are better served by having no allocation at all. For each coded band set thresh[band] to
+twenty-four times the number of MDCT bins in the band and divide by 16. If 8 times the number
+of channels is greater, use that instead. This sets the minimum allocation to one bit per channel
+or 48 128th bits per MDCT bin, whichever is greater. The band size dependent part of this
+value is not scaled by the channel count because at the very low rates where this limit is
+applicable there will usually be no bits allocated to the side.</t>
+
+<t>The previously decoded allocation trim is used to derive a vector of per-band adjustments,
+'trim_offsets[]'. For each coded band take the alloc_trim and subtract 5 and LM then multiply
+the result by number of channels, the number MDCT bins in the shortest frame size for this mode,
+the number remaining bands, 2^LM, and 8. Then divide this value by 64. Finally, if the
+number of MDCT bins in the band per channel is only one 8 times the number of channels is subtracted
+in order to diminish the allocation by one bit because width 1 bands receive greater benefit
+from the coarse energy coding.</t>
+
+
 </section>
 
-<section anchor="PVQ-decoder" title="Spherical VQ Decoder">
+<section anchor="PVQ-decoder" title="Shape Decoder">
 <t>
-In order to correctly decode the PVQ codewords, the decoder must perform exactly the same
-bits to pulses conversion as the encoder.
+In each band, the normalized <spanx style="emph">shape</spanx> is encoded
+using a vector quantization scheme called a "Pyramid vector quantizer".
+</t>
+
+<t>In
+the simplest case, the number of bits allocated in
+<xref target="allocation"></xref> is converted to a number of pulses as described
+by <xref target="bits-pulses"></xref>. Knowing the number of pulses and the
+number of samples in the band, the decoder calculates the size of the codebook
+as detailed in <xref target="cwrs-decoder"></xref>. The size is used to decode
+an unsigned integer (uniform probability model), which is the codeword index.
+This index is converted into the corresponding vector as explained in
+<xref target="cwrs-decoder"></xref>. This vector is then scaled to unit norm.
 </t>
 
 <section anchor="bits-pulses" title="Bits to Pulses">
@@ -647,32 +3219,74 @@ and the whole balance are applied, respectively.
 </section>
 
 <section anchor="cwrs-decoder" title="Index Decoding">
+
+<t>
+The codeword is decoded as a uniformly-distributed integer value
+by decode_pulses() (cwrs.c).
+The codeword is converted from a unique index in the same way as specified in
+<xref target="PVQ"></xref>. The indexing is based on the calculation of V(N,K)
+(denoted N(L,K) in <xref target="PVQ"></xref>), which is the number of possible
+combinations of K pulses
+in N samples. The number of combinations can be computed recursively as
+V(N,K) = V(N-1,K) + V(N,K-1) + V(N-1,K-1), with V(N,0) = 1 and V(0,K) = 0, K != 0.
+There are many different ways to compute V(N,K), including pre-computed tables and direct
+use of the recursive formulation. The reference implementation applies the recursive
+formulation one line (or column) at a time to save on memory use,
+along with an alternate,
+univariate recurrence to initialise an arbitrary line, and direct
+polynomial solutions for small N. All of these methods are
+equivalent, and have different trade-offs in speed, memory usage, and
+code size. Implementations MAY use any methods they like, as long as
+they are equivalent to the mathematical definition.
+</t>
+
 <t>
-The decoding of the codeword from the index is performed as specified in 
+The decoding of the codeword from the index is performed as specified in
 <xref target="PVQ"></xref>, as implemented in function
 decode_pulses() (cwrs.c).
 </t>
 </section>
 
-<section anchor="normalised-decoding" title="Normalised Vector Decoding">
+<section anchor="spreading" title="Spreading">
+<t>
+</t>
+</section>
+
+<section anchor="split" title="Split decoding">
 <t>
-The spherical codebook is decoded by alg_unquant() (vq.c).
-The index of the PVQ entry is obtained from the range coder and converted to 
-a pulse vector by decode_pulses() (cwrs.c).
+To avoid the need for multi-precision calculations when decoding PVQ codevectors,
+the maximum size allowed for codebooks is 32 bits. When larger codebooks are
+needed, the vector is instead split in two sub-vectors of size N/2.
+A quantized gain parameter with precision
+derived from the current allocation is entropy coded to represent the relative
+gains of each side of the split and the entire decoding process is recursively
+applied. Multiple levels of splitting may be applied up to a frame size
+dependent limit. The same recursive mechanism is applied for the joint coding
+of stereo audio.
 </t>
 
-<t>The decoded normalized vector for each band is equal to</t>
-<t>X' = y/||y||,</t>
+</section>
 
+<section anchor="tf-change" title="Time-Frequency change">
 <t>
-This operation is implemented in mix_pitch_and_residual() (vq.c), 
-which is the same function as used in the encoder.
 </t>
 </section>
 
 
 </section>
 
+<section anchor="anti-collapse" title="Anti-collapse processing">
+<t>
+When the frame has the transient bit set, an anti-collapse bit is decoded.
+When anti-collapse is set, then the energy in each small MDCT is prevented
+from collapsing to zero. For each band of each MDCT where a collapse is
+detected, a pseudo-random signal is inserted with an energy corresponding
+to the min energy over the two previous frames. A renormalization step is
+then required to ensure that the anti-collapse step did not alter the
+energy preservation property.
+</t>
+</section>
+
 <section anchor="denormalization" title="Denormalization">
 <t>
 Just like each band was normalized in the encoder, the last step of the decoder before
@@ -684,12 +3298,12 @@ multiplied by the square root of the decoded energy. This is done by denormalise
 
 <section anchor="inverse-mdct" title="Inverse MDCT">
 <t>The inverse MDCT implementation has no special characteristics. The
-input is N frequency-domain samples and the output is 2*N time-domain 
-samples, while scaling by 1/2. The output is windowed using the same window 
+input is N frequency-domain samples and the output is 2*N time-domain
+samples, while scaling by 1/2. The output is windowed using the same window
 as the encoder. The IMDCT and windowing are performed by mdct_backward
-(mdct.c). If a time-domain pre-emphasis 
+(mdct.c). If a time-domain pre-emphasis
 window was applied in the encoder, the (inverse) time-domain de-emphasis window
-is applied on the IMDCT result. 
+is applied on the IMDCT result.
 </t>
 
 <section anchor="post-filter" title="Post-filter">
@@ -702,9 +3316,9 @@ If the post-filter is enabled, then the octave is decoded as an integer value
 between 0 and 6 of uniform probability. Once the octave is known, the fine pitch
 within the octave is decoded using 4+octave raw bits. The final pitch period
 is equal to (16&lt;&lt;octave)+fine_pitch-1 so it is bounded between 15 and 1022,
-inclusively. Next, the gain is decoded as three raw bits and is equal to 
-G=3*(int_gain+1)/32. The set of post-filter taps is decoded last using 
-a pdf equal to [2, 1, 1]/4. Tapset zero corresponds to the filter coefficients
+inclusively. Next, the gain is decoded as three raw bits and is equal to
+G=3*(int_gain+1)/32. The set of post-filter taps is decoded last using
+a pdf equal to {2, 1, 1}/4. Tapset zero corresponds to the filter coefficients
 g0 = 0.3066406250, g1 = 0.2170410156, g2 = 0.1296386719. Tapset one
 corresponds to the filter coefficients g0 = 0.4638671875, g1 = 0.2680664062,
 g2 = 0, and tapset two uses filter coefficients g0 = 0.7998046875,
@@ -716,22 +3330,22 @@ The post-filter response is thus computed as:
               <figure align="center">
                 <artwork align="center">
                   <![CDATA[
-   y(n) = x(n) + G*(g0*y(n-T) + g1*(y(n-T+1)+y(n-T+1)) 
+   y(n) = x(n) + G*(g0*y(n-T) + g1*(y(n-T+1)+y(n-T+1))
                               + g2*(y(n-T+2)+y(n-T+2)))
 ]]>
                 </artwork>
               </figure>
 
 During a transition between different gains, a smooth transition is calculated
-using the square of the MDCT window. It is important that values of y(n) be 
+using the square of the MDCT window. It is important that values of y(n) be
 interpolated one at a time such that the past value of y(n) used is interpolated.
 </t>
 </section>
 
 <section anchor="deemphasis" title="De-emphasis">
 <t>
-After the post-filter, 
-the signal is de-emphasized using the inverse of the pre-emphasis filter 
+After the post-filter,
+the signal is de-emphasized using the inverse of the pre-emphasis filter
 used in the encoder: 1/A(z)=1/(1-alpha_p*z^-1), where alpha_p=0.8500061035.
 </t>
 </section>
@@ -740,20 +3354,80 @@ used in the encoder: 1/A(z)=1/(1-alpha_p*z^-1), where alpha_p=0.8500061035.
 
 <section anchor="Packet Loss Concealment" title="Packet Loss Concealment (PLC)">
 <t>
-Packet loss concealment (PLC) is an optional decoder-side feature which 
-SHOULD be included when transmitting over an unreliable channel. Because 
-PLC is not part of the bit-stream, there are several possible ways to 
+Packet loss concealment (PLC) is an optional decoder-side feature which
+SHOULD be included when transmitting over an unreliable channel. Because
+PLC is not part of the bit-stream, there are several possible ways to
 implement PLC with different complexity/quality trade-offs. The PLC in
 the reference implementation finds a periodicity in the decoded
 signal and repeats the windowed waveform using the pitch offset. The windowed
 waveform is overlapped in such a way as to preserve the time-domain aliasing
-cancellation with the previous frame and the next frame. This is implemented 
+cancellation with the previous frame and the next frame. This is implemented
 in celt_decode_lost() (mdct.c).
 </t>
 </section>
 
 </section>
 
+<section anchor="switching" title="Mode Switching">
+<t>
+Switching between the Opus coding modes requires careful consideration. More
+specifically, the transitions that cannot be easily handled are the ones where
+the lower frequencies have to switch between the SILK LP-based model and the CELT
+transform model. If nothing is done, a glitch will occur for these transitions.
+On the other hand, switching between the SILK-only modes and the hybrid mode
+does not require any special treatment.
+</t>
+
+<t>
+There are two ways to avoid or reduce glitches during the problematic mode 
+transitions: with, or without side information. Only transitions with side
+information are normatively specified. For transitions with no side
+information, it is RECOMMENDED for the decoder to use a concealment technique
+(e.g. make use of the PLC algorithm) to "fill in"
+the gap or the discontinuity caused by the mode transition. Note that this
+concealment MUST NOT be applied when switching between the SILK mode and the
+hybrid mode or vice versa. Similarly, it MUST NOT be applied when merely
+changing the bandwidth within the same mode.
+</t>
+
+<section anchor="side-info" title="Switching Side Information">
+<t>
+Switching with side information involves transmitting in-band a 5-ms
+"redundant" CELT frame within the Opus frame.
+This frame is designed to fill-in the gap or discontinuity without requiring
+the decoder to conceal it. For transitons from a CELT-only frame to a 
+SILK-only or hybrid frame, the redundant frame is inserted in the frame
+following the transition (i.e. the SILK-only/hybrid frame). For transitions
+from a SILK-only/hybrid frame to a CELT-only frame, the redundant frame is
+inserted in the first frame. For all SILK-only and hybrid frames (not only
+those involved in a mode transition), a binary symbol of probability 2^-12
+needs to be decoded just after the SILK part of the bit-stream. When the
+symbol value is 1, then the frame includes an embedded redundant frame. The
+redundant frame always starts and ends on byte boundaries. For SILK-only
+frames, the number of bytes is simply the number of whole remaining bytes.
+For hybrid frames, the number of bytes is equal to 2, plus a decoded unsigned
+integer (ec_dec_uint()) between 0 and 255. For hybrid frames, the redundant
+frame is placed at the end of the frame, after the CELT layer of the
+hybrid frame. The redundant frame is decoded like any other CELT-only frame,
+with the exception that it does not contain a TOC byte. The bandwidth
+is instead set to the same bandwidth of the current frame (for mediumband 
+frames, the redundant frame is set to wideband).
+</t>
+
+<t>
+For CELT-only to SILK-only/hybrid transitions, the first
+2.5 ms of the redundant frame is used as-is for the reconstructed
+output. The remaining 2.5 ms is overlapped and added (cross-faded using
+the square of the MDCT power-complemantary window) to the decoded SILK/hybrid
+signal, ensuring a smooth transition. For SILK-only/hyrid to CELT-only
+transitions, only the second half of the 5-ms decoded redundant frame is used.
+In that case, only a 2.5-ms cross-fade is applied, still using the 
+power-complemantary window.
+</t>
+</section>
+
+</section>
+
 </section>
 
 
@@ -785,20 +3459,11 @@ audio |  +----------+    +-------+  |    +-------+
 
 <section anchor="range-encoder" title="Range Coder">
 <t>
-Opus uses an entropy coder based upon <xref target="range-coding"></xref>, 
-which is itself a rediscovery of the FIFO arithmetic code introduced by <xref target="coding-thesis"></xref>.
-It is very similar to arithmetic encoding, except that encoding is done with
-digits in any base instead of with bits, 
-so it is faster when using larger bases (i.e.: an octet). All of the
-calculations in the range coder must use bit-exact integer arithmetic.
-</t>
-
-<t>
 The range coder also acts as the bit-packer for Opus. It is
 used in three different ways, to encode:
 <list style="symbols">
-<t>entropy-coded symbols with a fixed probability model using ec_encode(), (rangeenc.c)</t>
-<t>integers from 0 to 2^M-1 using ec_enc_uint() or ec_enc_bits(), (entenc.c)</t>
+<t>entropy-coded symbols with a fixed probability model using ec_encode(), (entenc.c)</t>
+<t>integers from 0 to 2**M-1 using ec_enc_uint() or ec_enc_bits(), (entenc.c)</t>
 <t>integers from 0 to N-1 (where N is not a power of two) using ec_enc_uint(). (entenc.c)</t>
 </list>
 </t>
@@ -811,20 +3476,15 @@ and a count of additional carry-propagating output octets. Both rng
 and low are 32-bit unsigned integer values, rem is an octet value or
 the special value -1, and ext is an integer with at least 16 bits.
 This state vector is initialized at the start of each each frame to
-the value (0,2^31,-1,0).
-</t>
-
-<t>
-Each symbol is drawn from a finite alphabet and coded in a separate
-context which describes the size of the alphabet and the relative
-frequency of each symbol in that alphabet. Opus only uses static
-contexts; they are not adapted to the statistics of the data that is
-coded.
+the value (0,2**31,-1,0). The reference implementation re-uses the
+'val' field of the entropy coder structure to hold low, in order to
+allow the same structure to be used for encoding and decoding, but
+we maintain the distinction here for clarity.
 </t>
 
 <section anchor="encoding-symbols" title="Encoding Symbols">
 <t>
-   The main encoding function is ec_encode() (rangeenc.c),
+   The main encoding function is ec_encode() (entenc.c),
    which takes as an argument a three-tuple (fl,fh,ft)
    describing the range of the symbol to be encoded in the current
    context, with 0 &lt;= fl &lt; fh &lt;= ft &lt;= 65535. The values of this tuple
@@ -837,17 +3497,17 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
 </t>
 <t>
    ec_encode() updates the state of the encoder as follows. If fl is
-   greater than zero, then low = low + rng - (rng/ft)*(ft-fl) and 
+   greater than zero, then low = low + rng - (rng/ft)*(ft-fl) and
    rng = (rng/ft)*(fh-fl). Otherwise, low is unchanged and
    rng = rng - (rng/ft)*(fh-fl). The divisions here are exact integer
    division. After this update, the range is normalized.
 </t>
 <t>
    To normalize the range, the following process is repeated until
-   rng > 2^23. First, the top 9 bits of low, (low>>23), are placed into
+   rng &gt; 2**23. First, the top 9 bits of low, (low&gt;&gt;23), are placed into
    a carry buffer. Then, low is set to <![CDATA[(low << 8 & 0x7FFFFFFF) and rng
    is set to (rng<<8)]]>. This process is carried out by
-   ec_enc_normalize() (rangeenc.c).
+   ec_enc_normalize() (entenc.c).
 </t>
 <t>
    The 9 bits produced in each iteration of the normalization loop
@@ -859,9 +3519,9 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
    any mathematically equivalent scheme to perform carry propagation.
 </t>
 <t>
-   The function ec_enc_carry_out() (rangeenc.c) performs
-   this buffering. It takes a 9-bit input value, c, from the normalization
-   8-bit output and a carry bit. If c is 0xFF, then ext is incremented
+   The function ec_enc_carry_out() (entenc.c) performs
+   this buffering. It takes a 9-bit input value, c, from the normalization:
+   8 bits of output and a carry bit. If c is 0xFF, then ext is incremented
    and no octets are output. Otherwise, if rem is not the special value
    -1, then the octet (rem+(c>>8)) is output. Then ext octets are output
    with the value 0 if the carry bit is set, or 0xFF if it is not, and
@@ -869,29 +3529,36 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
 </t>
 <t>
    In the reference implementation, a special version of ec_encode()
-   called ec_encode_bin() (rangeenc.c) is defined to
-   take a two-tuple (fl,ftb), where <![CDATA[0 <= fl < 2^ftb and ftb < 16. It is
+   called ec_encode_bin() (entenc.c) is defined to
+   take a two-tuple (fl,ftb), where <![CDATA[0 <= fl < 2**ftb and ftb < 16. It is
    mathematically equivalent to calling ec_encode() with the three-tuple
    (fl,fl+1,1<<ftb)]]>, but avoids using division.
 
 </t>
 </section>
 
-<section anchor="encoding-ints" title="Encoding Uniformly Distributed Integers">
+<section anchor="encoding-bits" title="Encoding Raw Bits">
 <t>
-   Functions ec_enc_uint() or ec_enc_bits() are based on ec_encode() and 
-   encode one of N equiprobable symbols, each with a frequency of 1,
-   where N may be as large as 2^32-1. Because ec_encode() is limited to
-   a total frequency of 2^16-1, this is done by encoding a series of
-   symbols in smaller contexts.
+   The CELT layer also allows directly encoding a series of raw bits, outside
+   of the range coder, implemented in ec_enc_bits() (entenc.c).
+   The raw bits are packed at the end of the packet, starting by storing the
+   least significant bit of the value to be packed in the least significant bit
+   of the last byte, filling up to the most significant bit in
+   the last byte, and the continuing in the least significant bit of the
+   penultimate byte, and so on.
+   This packing may continue into the last byte output by the range coder,
+   though the format should render it impossible to overwrite any set bit
+   produced by the range coder when the procedure in
+   <xref target='encoder-finalizing'/> is followed to finalize the stream.
 </t>
+</section>
+
+<section anchor="encoding-ints" title="Encoding Uniformly Distributed Integers">
 <t>
-   ec_enc_bits() (entenc.c) is defined, like
-   ec_encode_bin(), to take a two-tuple (fl,ftb), with <![CDATA[0 <= fl < 2^ftb
-   and ftb < 32. While ftb is greater than 8, it encodes bits (ftb-8) to
-   (ftb-1) of fl, e.g., (fl>>ftb-8&0xFF) using ec_encode_bin() and
-   subtracts 8 from ftb. Then, it encodes the remaining bits of fl, e.g.,
-   (fl&(1<<ftb)-1)]]>, again using ec_encode_bin().
+   The function ec_enc_uint() is based on ec_encode() and encodes one of N
+   equiprobable symbols, each with a frequency of 1, where N may be as large as
+   2**32-1. Because ec_encode() is limited to a total frequency of 2**16-1, this
+   is done by encoding a series of symbols in smaller contexts.
 </t>
 <t>
    ec_enc_uint() (entenc.c) takes a two-tuple (fl,ft),
@@ -900,9 +3567,8 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
    (ft-1), or -1 if no bits are set. If ftb>8, then the top 8 bits of fl
    are encoded using ec_encode() with the three-tuple
    (fl>>ftb-8,(fl>>ftb-8)+1,(ft-1>>ftb-8)+1), and the remaining bits
-   are encoded with ec_enc_bits using the two-tuple
-   <![CDATA[(fl&(1<<ftb-8)-1,ftb-8). Otherwise, fl is encoded with ec_encode()
-   directly using the three-tuple (fl,fl+1,ft)]]>.
+   are encoded as raw bits. Otherwise, fl is encoded with ec_encode() directly
+   using the three-tuple (fl,fl+1,ft).
 </t>
 </section>
 
@@ -911,15 +3577,17 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
    After all symbols are encoded, the stream must be finalized by
    outputting a value inside the current range. Let end be the integer
    in the interval [low,low+rng) with the largest number of trailing
-   zero bits. Then while end is not zero, the top 9 bits of end, e.g.,
+   zero bits, b, such that end+(1&lt;&lt;b)-1 is also in the interval
+   [low,low+rng). Then while end is not zero, the top 9 bits of end, e.g.,
    <![CDATA[(end>>23), are sent to the carry buffer, and end is replaced by
    (end<<8&0x7FFFFFFF). Finally, if the value in carry buffer, rem, is]]>
    neither zero nor the special value -1, or the carry count, ext, is
    greater than zero, then 9 zero bits are sent to the carry buffer.
    After the carry buffer is finished outputting octets, the rest of the
-   output buffer is padded with zero octets. Finally, rem is set to the
+   output buffer (if any) is padded with zero bits, until it reaches the raw
+   bits. Finally, rem is set to the
    special value -1. This process is implemented by ec_enc_done()
-   (rangeenc.c).
+   (entenc.c).
 </t>
 </section>
 
@@ -928,12 +3596,14 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
    The bit allocation routines in Opus need to be able to determine a
    conservative upper bound on the number of bits that have been used
    to encode the current frame thus far. This drives allocation
-   decisions and ensures that the range code will not overflow the
-   output buffer. This is computed in the reference implementation to
-   fractional bit precision by the function ec_enc_tell() 
-   (rangeenc.c).
-   Like all operations in the range encoder, it must
-   be implemented in a bit-exact manner.
+   decisions and ensures that the range coder and raw bits will not
+   overflow the output buffer. This is computed in the
+   reference implementation to whole-bit precision by
+   the function ec_tell() (entcode.h) and to fractional 1/8th bit
+   precision by the function ec_tell_frac() (entcode.c).
+   Like all operations in the range coder, it must be implemented in a
+   bit-exact manner, and must produce exactly the same value returned by
+   the same functions in the decoder after decoding the same symbols.
 </t>
 </section>
 
@@ -985,9 +3655,9 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
 3:  Voice activity estimate
 4:  Pitch lags (per 5 ms) and voicing decision (per 20 ms)
 5:  Noise shaping quantization coefficients
-  - Short term synthesis and analysis 
+  - Short term synthesis and analysis
     noise shaping coefficients (per 5 ms)
-  - Long term synthesis and analysis noise 
+  - Long term synthesis and analysis noise
     shaping coefficients (per 5 ms and for voiced speech only)
   - Noise shaping tilt (per 5 ms)
   - Quantizer gain/step size (per 5 ms)
@@ -996,7 +3666,7 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
     LTP (per 5 ms) and LPC (per 20 ms)
 8:  LSF quantization indices
 9:  LSF coefficients
-10: Quantized LSF coefficients 
+10: Quantized LSF coefficients
 11: Processed gains, and synthesis noise shape coefficients
 12: LTP state scaling coefficient. Controlling error propagation
    / prediction gain trade-off
@@ -1010,7 +3680,7 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
 
           <section title='Voice Activity Detection'>
             <t>
-              The input signal is processed by a VAD (Voice Activity Detector) to produce a measure of voice activity, and also spectral tilt and signal-to-noise estimates, for each frame. The VAD uses a sequence of half-band filterbanks to split the signal in four subbands: 0 - Fs/16, Fs/16 - Fs/8, Fs/8 - Fs/4, and Fs/4 - Fs/2, where Fs is the sampling frequency, that is, 8, 12, 16 or 24 kHz. The lowest subband, from 0 - Fs/16 is high-pass filtered with a first-order MA (Moving Average) filter (with transfer function H(z) = 1-z^(-1)) to reduce the energy at the lowest frequencies. For each frame, the signal energy per subband is computed. In each subband, a noise level estimator tracks the background noise level and an SNR (Signal-to-Noise Ratio) value is computed as the logarithm of the ratio of energy to noise level. Using these intermediate variables, the following parameters are calculated for use in other SILK modules:
+              The input signal is processed by a VAD (Voice Activity Detector) to produce a measure of voice activity, and also spectral tilt and signal-to-noise estimates, for each frame. The VAD uses a sequence of half-band filterbanks to split the signal in four subbands: 0 - Fs/16, Fs/16 - Fs/8, Fs/8 - Fs/4, and Fs/4 - Fs/2, where Fs is the sampling frequency, that is, 8, 12, 16, or 24&nbsp;kHz. The lowest subband, from 0 - Fs/16 is high-pass filtered with a first-order MA (Moving Average) filter (with transfer function H(z) = 1-z^(-1)) to reduce the energy at the lowest frequencies. For each frame, the signal energy per subband is computed. In each subband, a noise level estimator tracks the background noise level and an SNR (Signal-to-Noise Ratio) value is computed as the logarithm of the ratio of energy to noise level. Using these intermediate variables, the following parameters are calculated for use in other SILK modules:
               <list style="symbols">
                 <t>
                   Average SNR. The average of the subband SNR values.
@@ -1033,7 +3703,7 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
 
           <section title='High-Pass Filter'>
             <t>
-              The input signal is filtered by a high-pass filter to remove the lowest part of the spectrum that contains little speech energy and may contain background noise. This is a second order ARMA (Auto Regressive Moving Average) filter with a cut-off frequency around 70 Hz.
+              The input signal is filtered by a high-pass filter to remove the lowest part of the spectrum that contains little speech energy and may contain background noise. This is a second order ARMA (Auto Regressive Moving Average) filter with a cut-off frequency around 70&nbsp;Hz.
             </t>
             <t>
               In the future, a music detector may also be used to lower the cut-off frequency when the input signal is detected to be music rather than speech.
@@ -1046,8 +3716,8 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
               <figure align="center" anchor="pitch_estimator_figure">
                 <artwork align="center">
                   <![CDATA[
-                                 +--------+  +----------+     
-                                 |2 x Down|  |Time-     |      
+                                 +--------+  +----------+
+                                 |2 x Down|  |Time-     |
                               +->|sampling|->|Correlator|     |
                               |  |        |  |          |     |4
                               |  +--------+  +----------+    \/
@@ -1059,30 +3729,30 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
  |  |         | |  |to 8 kHz|                |Correlator|----------->
  |  +---------+ |  +--------+                |__________|          6
  |       |      |                                  |3
- |      \/      |                                 \/ 
+ |      \/      |                                 \/
  |  +---------+ |                            +----------+
- |  |Whitening| |                            |Time-     |    
+ |  |Whitening| |                            |Time-     |
 -+->|Filter   |-+--------------------------->|Correlator|----------->
 1   |         |                              |          |          7
-    +---------+                              +----------+ 
-                                            
+    +---------+                              +----------+
+
 1: Input signal
 2: Lag candidates from stage 1
 3: Lag candidates from stage 2
 4: Correlation threshold
 5: Voiced/unvoiced flag
 6: Pitch correlation
-7: Pitch lags 
+7: Pitch lags
 ]]>
                 </artwork>
                 <postamble>Block diagram of the pitch estimator.</postamble>
               </figure>
-              The pitch analysis finds a binary voiced/unvoiced classification, and, for frames classified as voiced, four pitch lags per frame - one for each 5 ms subframe - and a pitch correlation indicating the periodicity of the signal. The input is first whitened using a Linear Prediction (LP) whitening filter, where the coefficients are computed through standard Linear Prediction Coding (LPC) analysis. The order of the whitening filter is 16 for best results, but is reduced to 12 for medium complexity and 8 for low complexity modes. The whitened signal is analyzed to find pitch lags for which the time correlation is high. The analysis consists of three stages for reducing the complexity:
+              The pitch analysis finds a binary voiced/unvoiced classification, and, for frames classified as voiced, four pitch lags per frame - one for each 5&nbsp;ms subframe - and a pitch correlation indicating the periodicity of the signal. The input is first whitened using a Linear Prediction (LP) whitening filter, where the coefficients are computed through standard Linear Prediction Coding (LPC) analysis. The order of the whitening filter is 16 for best results, but is reduced to 12 for medium complexity and 8 for low complexity modes. The whitened signal is analyzed to find pitch lags for which the time correlation is high. The analysis consists of three stages for reducing the complexity:
               <list style="symbols">
-                <t>In the first stage, the whitened signal is downsampled to 4 kHz (from 8 kHz) and the current frame is correlated to a signal delayed by a range of lags, starting from a shortest lag corresponding to 500 Hz, to a longest lag corresponding to 56 Hz.</t>
+                <t>In the first stage, the whitened signal is downsampled to 4&nbsp;kHz (from 8&nbsp;kHz) and the current frame is correlated to a signal delayed by a range of lags, starting from a shortest lag corresponding to 500&nbsp;Hz, to a longest lag corresponding to 56&nbsp;Hz.</t>
 
                 <t>
-                  The second stage operates on a 8 kHz signal ( downsampled from 12, 16 or 24 kHz ) and measures time correlations only near the lags corresponding to those that had sufficiently high correlations in the first stage. The resulting correlations are adjusted for a small bias towards short lags to avoid ending up with a multiple of the true pitch lag. The highest adjusted correlation is compared to a threshold depending on:
+                  The second stage operates on a 8&nbsp;kHz signal ( downsampled from 12, 16, or 24&nbsp;kHz ) and measures time correlations only near the lags corresponding to those that had sufficiently high correlations in the first stage. The resulting correlations are adjusted for a small bias towards short lags to avoid ending up with a multiple of the true pitch lag. The highest adjusted correlation is compared to a threshold depending on:
                   <list style="symbols">
                     <t>
                       Whether the previous frame was classified as voiced
@@ -1125,9 +3795,9 @@ fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
  P |/  /   \  \_/      \\_____//    \\
  o |  /     \     ____  \     /      \\
  w | /       \___/    \  \___/  ____  \\___ 1
- e |/                  \       /    \  \    
+ e |/                  \       /    \  \
  r |                    \_____/      \  \__ 2
-   |                                  \     
+   |                                  \
    |                                   \___ 3
    |
    +---------------------------------------->
@@ -1162,7 +3832,7 @@ H(z) = G * ( 1 - c_tilt * z^(-1) ) * -------
                16                                 d
                __                                __
 Wana(z) = (1 - \ (a_ana(k) * z^(-k))*(1 - z^(-L) \ b_ana(k)*z^(-k)),
-               /_                                /_  
+               /_                                /_
                k=1                               k=-d
             ]]>
                 </artwork>
@@ -1178,7 +3848,7 @@ Wana(z) = (1 - \ (a_ana(k) * z^(-k))*(1 - z^(-L) \ b_ana(k)*z^(-k)),
                16                                 d
                __                                __
 Wsyn(z) = (1 - \ (a_syn(k) * z^(-k))*(1 - z^(-L) \ b_syn(k)*z^(-k)).
-               /_                                /_  
+               /_                                /_
                k=1                               k=-d
             ]]>
                 </artwork>
@@ -1266,7 +3936,7 @@ c_tilt = 0.04 + 0.06 * C
 
             <section title='Voiced Speech' anchor='pred_ana_voiced_overview_section'>
               <t>
-                For a frame of voiced speech the pitch pulses will remain dominant in the pre-whitened input signal. Further whitening is desirable as it leads to higher quality at the same available bit-rate. To achieve this, a Long-Term Prediction (LTP) analysis is carried out to estimate the coefficients of a fifth order LTP filter for each of four sub-frames. The LTP coefficients are used to find an LTP residual signal with the simulated output signal as input to obtain better modelling of the output signal. This LTP residual signal is the input to an LPC analysis where the LPCs are estimated using Burgs method, such that the residual energy is minimized. The estimated LPCs are converted to a Line Spectral Frequency (LSF) vector, and quantized as described in <xref target='lsf_quantizer_overview_section' />. After quantization, the quantized LSF vector is converted to LPC coefficients and hence by using these quantized coefficients the encoder remains fully synchronized with the decoder. The LTP coefficients are quantized using a method described in <xref target='ltp_quantizer_overview_section' />. The quantized LPC and LTP coefficients are now used to filter the high-pass filtered input signal and measure a residual energy for each of the four subframes.
+                For a frame of voiced speech the pitch pulses will remain dominant in the pre-whitened input signal. Further whitening is desirable as it leads to higher quality at the same available bitrate. To achieve this, a Long-Term Prediction (LTP) analysis is carried out to estimate the coefficients of a fifth order LTP filter for each of four subframes. The LTP coefficients are used to find an LTP residual signal with the simulated output signal as input to obtain better modelling of the output signal. This LTP residual signal is the input to an LPC analysis where the LPCs are estimated using Burgs method, such that the residual energy is minimized. The estimated LPCs are converted to a Line Spectral Frequency (LSF) vector, and quantized as described in <xref target='lsf_quantizer_overview_section' />. After quantization, the quantized LSF vector is converted to LPC coefficients and hence by using these quantized coefficients the encoder remains fully synchronized with the decoder. The LTP coefficients are quantized using a method described in <xref target='ltp_quantizer_overview_section' />. The quantized LPC and LTP coefficients are now used to filter the high-pass filtered input signal and measure a residual energy for each of the four subframes.
               </t>
             </section>
             <section title='Unvoiced Speech' anchor='pred_ana_unvoiced_overview_section'>
@@ -1300,26 +3970,26 @@ LSF_q = argmin { (LSF - c)' * W * (LSF - c) + mu * rate },
             <section title='Multi-Stage Vector Codebook'>
               <t>
                 We arrange the codebook in a multiple stage structure to achieve a quantizer that is both memory efficient and highly scalable in terms of computational complexity, see e.g. <xref target="sinervo-norsig" />. In the first stage the input is the LSF vector to be quantized, and in any other stage s > 1, the input is the quantization error from the previous stage, see <xref target='lsf_quantizer_structure_overview_figure' />.
+              </t>
                 <figure align="center" anchor="lsf_quantizer_structure_overview_figure">
                   <artwork align="center">
                     <![CDATA[
       Stage 1:           Stage 2:                Stage S:
     +----------+       +----------+            +----------+
-    |  c_{1,1} |       |  c_{2,1} |            |  c_{S,1} | 
+    |  c_{1,1} |       |  c_{2,1} |            |  c_{S,1} |
 LSF +----------+ res_1 +----------+  res_{S-1} +----------+
 --->|  c_{1,2} |------>|  c_{2,2} |--> ... --->|  c_{S,2} |--->
     +----------+       +----------+            +----------+ res_S =
         ...                ...                     ...      LSF-LSF_q
-    +----------+       +----------+            +----------+ 
+    +----------+       +----------+            +----------+
     |c_{1,M1-1}|       |c_{2,M2-1}|            |c_{S,MS-1}|
-    +----------+       +----------+            +----------+     
+    +----------+       +----------+            +----------+
     | c_{1,M1} |       | c_{2,M2} |            | c_{S,MS} |
     +----------+       +----------+            +----------+
 ]]>
                   </artwork>
                   <postamble>Multi-Stage LSF Vector Codebook Structure.</postamble>
                 </figure>
-              </t>
 
               <t>
                 By storing total of M codebook vectors, i.e.,
@@ -1345,12 +4015,12 @@ T = | | Ms
 ]]>
                   </artwork>
                 </figure>
-                possible combinations for generating the quantized vector. It is for example possible to represent 2^36 uniquely combined vectors using only 216 vectors in memory, as done in SILK for voiced speech at all sample frequencies above 8 kHz.
+                possible combinations for generating the quantized vector. It is for example possible to represent 2**36 uniquely combined vectors using only 216 vectors in memory, as done in SILK for voiced speech at all sample frequencies above 8&nbsp;kHz.
               </t>
             </section>
             <section title='Survivor Based Codebook Search'>
               <t>
-                This number of possible combinations is far too high for a full search to be carried out for each frame so for all stages but the last, i.e., s smaller than S, only the best min( L, Ms ) centroids are carried over to stage s+1. In each stage the objective function, i.e., the weighted sum of accumulated bit-rate and distortion, is evaluated for each codebook vector entry and the results are sorted. Only the best paths and the corresponding quantization errors are considered in the next stage. In the last stage S the single best path through the multistage codebook is determined. By varying the maximum number of survivors from each stage to the next L, the complexity can be adjusted in real-time at the cost of a potential increase when evaluating the objective function for the resulting quantized vector. This approach scales all the way between the two extremes, L=1 being a greedy search, and the desirable but infeasible full search, L=T/MS. In fact, a performance almost as good as what can be achieved with the infeasible full search can be obtained at a substantially lower complexity by using this approach, see e.g. <xref target='leblanc-tsap' />.
+                This number of possible combinations is far too high for a full search to be carried out for each frame so for all stages but the last, i.e., s smaller than S, only the best min( L, Ms ) centroids are carried over to stage s+1. In each stage the objective function, i.e., the weighted sum of accumulated bitrate and distortion, is evaluated for each codebook vector entry and the results are sorted. Only the best paths and the corresponding quantization errors are considered in the next stage. In the last stage S the single best path through the multistage codebook is determined. By varying the maximum number of survivors from each stage to the next L, the complexity can be adjusted in real-time at the cost of a potential increase when evaluating the objective function for the resulting quantized vector. This approach scales all the way between the two extremes, L=1 being a greedy search, and the desirable but infeasible full search, L=T/MS. In fact, a performance almost as good as what can be achieved with the infeasible full search can be obtained at a substantially lower complexity by using this approach, see e.g. <xref target='leblanc-tsap' />.
               </t>
             </section>
             <section title='LSF Stabilization' anchor='lsf_stabilizer_overview_section'>
@@ -1423,17 +4093,17 @@ Inverse of the post-filter
 
 <t>The MDCT implementation has no special characteristics. The
 input is a windowed signal (after pre-emphasis) of 2*N samples and the output is N
-frequency-domain samples. A <spanx style="emph">low-overlap</spanx> window is used to reduce the algorithmic delay. 
+frequency-domain samples. A <spanx style="emph">low-overlap</spanx> window is used to reduce the algorithmic delay.
 It is derived from a basic (full overlap) window that is the same as the one used in the Vorbis codec: W(n)=[sin(pi/2*sin(pi/2*(n+.5)/L))]^2. The low-overlap window is created by zero-padding the basic window and inserting ones in the middle, such that the resulting window still satisfies power complementarity. The MDCT is computed in mdct_forward() (mdct.c), which includes the windowing operation and a scaling of 2/N.
 </t>
 </section>
 
 <section anchor="normalization" title="Bands and Normalization">
 <t>
-The MDCT output is divided into bands that are designed to match the ear's critical 
+The MDCT output is divided into bands that are designed to match the ear's critical
 bands for the smallest (2.5ms) frame size. The larger frame sizes use integer
 multiplies of the 2.5ms layout. For each band, the encoder
-computes the energy that will later be encoded. Each band is then normalized by the 
+computes the energy that will later be encoded. Each band is then normalized by the
 square root of the <spanx style="strong">non-quantized</spanx> energy, such that each band now forms a unit vector X.
 The energy and the normalization are computed by compute_band_energies()
 and normalise_bands() (bands.c), respectively.
@@ -1447,7 +4117,7 @@ It is important to quantize the energy with sufficient resolution because
 any energy quantization error cannot be compensated for at a later
 stage. Regardless of the resolution used for encoding the shape of a band,
 it is perceptually important to preserve the energy in each band. CELT uses a
-coarse-fine strategy for encoding the energy in the base-2 log domain, 
+coarse-fine strategy for encoding the energy in the base-2 log domain,
 as implemented in quant_bands.c</t>
 
 <section anchor="coarse-energy" title="Coarse energy quantization">
@@ -1473,7 +4143,7 @@ clamping must be implemented in all encoders and decoders.
 We approximate the ideal
 probability distribution of the prediction error using a Laplace distribution
 with seperate parameters for each frame size in intra and inter-frame modes. The
-coarse energy quantization is performed by quant_coarse_energy() and 
+coarse energy quantization is performed by quant_coarse_energy() and
 quant_coarse_energy() (quant_bands.c). The encoding of the Laplace-distributed values is
 implemented in ec_laplace_encode() (laplace.c).
 </t>
@@ -1483,12 +4153,12 @@ implemented in ec_laplace_encode() (laplace.c).
 
 <section anchor="fine-energy" title="Fine energy quantization">
 <t>
-After the coarse energy quantization and encoding, the bit allocation is computed 
+After the coarse energy quantization and encoding, the bit allocation is computed
 (<xref target="allocation"></xref>) and the number of bits to use for refining the
-energy quantization is determined for each band. Let B_i be the number of fine energy bits 
+energy quantization is determined for each band. Let B_i be the number of fine energy bits
 for band i; the refinement is an integer f in the range [0,2^B_i-1]. The mapping between f
 and the correction applied to the coarse energy is equal to (f+1/2)/2^B_i - 1/2. Fine
-energy quantization is implemented in quant_fine_energy() 
+energy quantization is implemented in quant_fine_energy()
 (quant_bands.c).
 </t>
 
@@ -1514,15 +4184,15 @@ energy precision. This is implemented in quant_energy_finalise()
 codebook for quantizing the details of the spectrum in each band that have not
 been predicted by the pitch predictor. The PVQ codebook consists of all sums
 of K signed pulses in a vector of N samples, where two pulses at the same position
-are required to have the same sign. Thus the codebook includes 
+are required to have the same sign. Thus the codebook includes
 all integer codevectors y of N dimensions that satisfy sum(abs(y(j))) = K.
 </t>
 
 <t>
 In bands where there are sufficient bits allocated the PVQ is used to encode
-the unit vector that results from the normalization in 
-<xref target="normalization"></xref> directly. Given a PVQ codevector y, 
-the unit vector X is obtained as X = y/||y||, where ||.|| denotes the 
+the unit vector that results from the normalization in
+<xref target="normalization"></xref> directly. Given a PVQ codevector y,
+the unit vector X is obtained as X = y/||y||, where ||.|| denotes the
 L2 norm.
 </t>
 
@@ -1531,9 +4201,9 @@ L2 norm.
 
 <t>
 The search for the best codevector y is performed by alg_quant()
-(vq.c). There are several possible approaches to the 
+(vq.c). There are several possible approaches to the
 search with a tradeoff between quality and complexity. The method used in the reference
-implementation computes an initial codeword y1 by projecting the residual signal 
+implementation computes an initial codeword y1 by projecting the residual signal
 R = X - p' onto the codebook pyramid of K-1 pulses:
 </t>
 <t>
@@ -1541,8 +4211,8 @@ y0 = round_towards_zero( (K-1) * R / sum(abs(R)))
 </t>
 
 <t>
-Depending on N, K and the input data, the initial codeword y0 may contain from 
-0 to K-1 non-zero values. All the remaining pulses, with the exception of the last one, 
+Depending on N, K and the input data, the initial codeword y0 may contain from
+0 to K-1 non-zero values. All the remaining pulses, with the exception of the last one,
 are found iteratively with a greedy search that minimizes the normalized correlation
 between y and R:
 </t>
@@ -1563,32 +4233,12 @@ codebook and the implementors MAY use any other search methods.
 <t>
 The best PVQ codeword is encoded as a uniformly-distributed integer value
 by encode_pulses() (cwrs.c).
-The codeword is converted to a unique index in the same way as specified in 
-<xref target="PVQ"></xref>. The indexing is based on the calculation of V(N,K) (denoted N(L,K) in <xref target="PVQ"></xref>), which is the number of possible combinations of K pulses 
-in N samples. The number of combinations can be computed recursively as 
-V(N,K) = V(N+1,K) + V(N,K+1) + V(N+1,K+1), with V(N,0) = 1 and V(0,K) = 0, K != 0. 
-There are many different ways to compute V(N,K), including pre-computed tables and direct
-use of the recursive formulation. The reference implementation applies the recursive
-formulation one line (or column) at a time to save on memory use,
-along with an alternate,
-univariate recurrence to initialise an arbitrary line, and direct
-polynomial solutions for small N. All of these methods are
-equivalent, and have different trade-offs in speed, memory usage, and
-code size. Implementations MAY use any methods they like, as long as
-they are equivalent to the mathematical definition.
+The codeword is converted from a unique index in the same way as specified in
+<xref target="PVQ"></xref>. The indexing is based on the calculation of V(N,K)
+(denoted N(L,K) in <xref target="PVQ"></xref>), which is the number of possible
+combinations of K pulses in N samples.
 </t>
 
-<t>
-The indexing computations are performed using 32-bit unsigned integers. For large codebooks,
-32-bit integers are not sufficient. Instead of using 64-bit integers (or more), the encoding
-is for these cases is handled by splitting each band into two equal vectors of
-size N/2 prior to quantization. A quantized gain parameter with precision
-derived from the current allocation is entropy coded to represent the relative gains of each side of
-the split and the entire quantization process is recursively applied.
-Multiple levels of splitting may be applied upto a frame size dependent limit.
-The same recursive mechanism is applied for the joint coding of stereo
-audio.
-</t>
 </section>
 
 </section>
@@ -1617,7 +4267,7 @@ Let m=M/||M|| and s=S/||S||; m and s are separately encoded with the PVQ encoder
 
 <section anchor="synthesis" title="Synthesis">
 <t>
-After all the quantization is completed, the quantized energy is used along with the 
+After all the quantization is completed, the quantized energy is used along with the
 quantized normalized band data to resynthesize the MDCT spectrum. The inverse MDCT (<xref target="inverse-mdct"></xref>) and the weighted overlap-add are applied and the signal is stored in the <spanx style="emph">synthesis
 buffer</spanx>.
 The encoder MAY omit this step of the processing if it does not need the decoded output.
@@ -1626,7 +4276,7 @@ The encoder MAY omit this step of the processing if it does not need the decoded
 
 <section anchor="vbr" title="Variable Bitrate (VBR)">
 <t>
-Each CELT frame can be encoded in a different number of octets, making it possible to vary the bitrate at will. This property can be used to implement source-controlled variable bitrate (VBR). Support for VBR is OPTIONAL for the encoder, but a decoder MUST be prepared to decode a stream that changes its bit-rate dynamically. The method used to vary the bit-rate in VBR mode is left to the implementor, as long as each frame can be decoded by the reference decoder.
+Each CELT frame can be encoded in a different number of octets, making it possible to vary the bitrate at will. This property can be used to implement source-controlled variable bitrate (VBR). Support for VBR is OPTIONAL for the encoder, but a decoder MUST be prepared to decode a stream that changes its bitrate dynamically. The method used to vary the bitrate in VBR mode is left to the implementor, as long as each frame can be decoded by the reference decoder.
 </t>
 </section>
 
@@ -1638,47 +4288,66 @@ Each CELT frame can be encoded in a different number of octets, making it possib
 <section title="Conformance">
 
 <t>
-It is the intention to allow the greatest possible choice of freedom in 
+It is the intention to allow the greatest possible choice of freedom in
 implementing the specification. For this reason, outside of a few exceptions
 noted in this section, conformance is defined through the reference
-implementation of the decoder provided in Appendix <xref target="ref-implementation"></xref>.
-Although this document includes an English description of the codec, should 
-the description contradict the source code of the reference implementation, 
+implementation of the decoder provided in <xref target="ref-implementation"/>.
+Although this document includes an English description of the codec, should
+the description contradict the source code of the reference implementation,
 the latter shall take precedence.
 </t>
 
 <t>
 Compliance with this specification means that a decoder's output MUST be
-within the thresholds specified compared to the reference implementation
-using the opus_compare.m tool in Appendix <xref
-target="opus-compare"></xref>.
+ within the thresholds specified by the opus_compare.c tool in
+ <xref target="opus-compare"/> compared to the reference implementation.
 </t>
+
+<t>
+To complement the Opus specification, the "Opus Custom" codec is defined to
+handle special sampling rates and frame rates that are not supported by the
+main Opus specification. Use of Opus Custom is discouraged for all but very
+special applications for which a frame size different from 2.5, 5, 10, 20 ms is
+needed (for either complexity or latency reasons). Such applications will not
+be compatible with the "main" Opus codec. In Opus Custom operation,
+only the CELT later is available, which is available using the celt_* function
+calls in celt.h.
+</t>
+
 </section>
 
 <section anchor="security" title="Security Considerations">
 
 <t>
-The codec needs to take appropriate security considerations 
+The codec needs to take appropriate security considerations
 into account, as outlined in <xref target="DOS"/> and <xref target="SECGUIDE"/>.
 It is extremely important for the decoder to be robust against malicious
-payloads. Malicious payloads must not cause the decoder to overrun its
-allocated memory or to take much more resources to decode. Although problems
+payloads.
+Malicious payloads must not cause the decoder to overrun its allocated memory
+ or to take an excessive amount of resources to decode.
+Although problems
 in encoders are typically rarer, the same applies to the encoder. Malicious
 audio stream must not cause the encoder to misbehave because this would
 allow an attacker to attack transcoding gateways.
 </t>
 <t>
 The reference implementation contains no known buffer overflow or cases where
-a specially crafter packet or audio segment could cause a significant increase
-in CPU load. However, on certain CPU architectures where denormalized 
-floating-point operations are much slower it is possible for some audio content
-(e.g. silence or near-silence) to cause such an increase
-in CPU load. For such architectures, it is RECOMMENDED to add very small
-floating-point offsets to prevent significant numbers of denormalized
-operations or to configure the hardware to zeroize denormal numbers.
+ a specially crafted packet or audio segment could cause a significant increase
+ in CPU load.
+However, on certain CPU architectures where denormalized floating-point
+ operations are much slower than normal floating-point operations it is
+ possible for some audio content (e.g., silence or near-silence) to cause such
+ an increase in CPU load.
+Denormals can be introduced by reordering operations in the compiler and depend
+ on the target architecture, so it is difficult to guarantee an implementation
+ avoids them.
+For such architectures, it is RECOMMENDED that one add very small
+ floating-point offsets to prevent significant numbers of denormalized
+ operations or to configure the hardware to treat denormals as zero (DAZ).
+<!--TODO: Add small offsets to what? We should be explicit-->
 No such issue exists for the fixed-point reference implementation.
 </t>
-</section> 
+</section>
 
 
 <section title="IANA Considerations ">
@@ -1689,10 +4358,13 @@ This document has no actions for IANA.
 
 <section anchor="Acknowledgments" title="Acknowledgments">
 <t>
-Thanks to all other developers, including Raymond Chen, Soeren Skak Jensen, Gregory Maxwell, 
-Christopher Montgomery, Karsten Vandborg Soerensen, and Timothy Terriberry.
+Thanks to all other developers, including Raymond Chen, Soeren Skak Jensen, Gregory Maxwell,
+Christopher Montgomery, Karsten Vandborg Soerensen, and Timothy Terriberry. We would also
+like to thank Igor Dyakonov, Jan Skoglund for their help with subjective testing of the
+Opus codec. Thanks to John Ridges, Keith Yan and many others on the Opus and CELT mailing lists
+for their bug reports and feeback.
 </t>
-</section> 
+</section>
 
 </middle>
 
@@ -1756,7 +4428,7 @@ Christopher Montgomery, Karsten Vandborg Soerensen, and Timothy Terriberry.
 
       <reference anchor="leblanc-tsap">
         <front>
-          <title>Efficient Search and Design Procedures for Robust Multi-Stage VQ of LPC Parameters for 4 kb/s Speech Coding</title>
+          <title>Efficient Search and Design Procedures for Robust Multi-Stage VQ of LPC Parameters for 4&nbsp;kb/s Speech Coding</title>
           <author initials="W.P." surname="LeBlanc" fullname="">
             <organization/>
           </author>
@@ -1832,7 +4504,7 @@ Christopher Montgomery, Karsten Vandborg Soerensen, and Timothy Terriberry.
 <date year="1979" />
 </front>
 <seriesInfo name="Proc. Institution of Electronic and Radio Engineers International Conference on Video and Data Recording" value="" />
-</reference> 
+</reference>
 
 <reference anchor="coding-thesis">
 <front>
@@ -1850,15 +4522,15 @@ Christopher Montgomery, Karsten Vandborg Soerensen, and Timothy Terriberry.
 <date month="July" year="1986" />
 </front>
 <seriesInfo name="IEEE Trans. on Information Theory, Vol. 32" value="pp. 568-583" />
-</reference> 
+</reference>
 
-</references> 
+</references>
 
 <section anchor="ref-implementation" title="Reference Implementation">
 
 <t>This appendix contains the complete source code for the
 reference implementation of the Opus codec written in C. This
-implementation can be compiled for 
+implementation can be compiled for
 either floating-point or fixed-point architectures.
 </t>
 
@@ -1888,6 +4560,15 @@ tar xzvf opus_source.tar.gz
 </t>
 </section>
 
+<section title="Development Versions">
+<t>
+The current development version of the source code is available in a
+ <eref target='git://git.opus-codec.org/opus.git'>Git repository</eref>.
+Development snapshots are provided at
+ <eref target='http://opus-codec.org/'/>.
+</t>
+</section>
+
 <section title="Base64-encoded source code">
 <t>
 <?rfc include="opus_source.base64"?>
@@ -1896,9 +4577,9 @@ tar xzvf opus_source.tar.gz
 
 </section>
 
-<section anchor="opus-compare" title="opus_compare.m">
+<section anchor="opus-compare" title="opus_compare.c">
 <t>
-<?rfc include="opus_compare_escaped.m"?>
+<?rfc include="opus_compare_escaped.c"?>
 </t>
 </section>