Addressing editorial comments by Christian Hoene
[opus.git] / doc / draft-ietf-codec-opus.xml
1 <?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
2 <!DOCTYPE rfc SYSTEM 'rfc2629.dtd'>
3 <?rfc toc="yes" symrefs="yes" ?>
4
5 <rfc ipr="trust200902" category="std" docName="draft-ietf-codec-opus-07">
6
7 <front>
8 <title abbrev="Interactive Audio Codec">Definition of the Opus Audio Codec</title>
9
10
11 <author initials="JM" surname="Valin" fullname="Jean-Marc Valin">
12 <organization>Octasic Inc.</organization>
13 <address>
14 <postal>
15 <street>4101, Molson Street</street>
16 <city>Montreal</city>
17 <region>Quebec</region>
18 <code></code>
19 <country>Canada</country>
20 </postal>
21 <phone>+1 514 282-8858</phone>
22 <email>jmvalin@jmvalin.ca</email>
23 </address>
24 </author>
25
26 <author initials="K." surname="Vos" fullname="Koen Vos">
27 <organization>Skype Technologies S.A.</organization>
28 <address>
29 <postal>
30 <street>Stadsgarden 6</street>
31 <city>Stockholm</city>
32 <region></region>
33 <code>11645</code>
34 <country>SE</country>
35 </postal>
36 <phone>+46 855 921 989</phone>
37 <email>koen.vos@skype.net</email>
38 </address>
39 </author>
40
41 <author initials="T." surname="Terriberry" fullname="Timothy Terriberry">
42 <organization>Mozilla Corporation</organization>
43 <address>
44 <postal>
45 <street>650 Castro Street</street>
46 <city>Mountain View</city>
47 <region>CA</region>
48 <code>94041</code>
49 <country>USA</country>
50 </postal>
51 <phone>+1 650 903-0800</phone>
52 <email>tterriberry@mozilla.com</email>
53 </address>
54 </author>
55
56 <date day="7" month="July" year="2011" />
57
58 <area>General</area>
59
60 <workgroup></workgroup>
61
62 <abstract>
63 <t>
64 This document defines the Opus codec, designed for interactive speech and audio
65  transmission over the Internet.
66 </t>
67 </abstract>
68 </front>
69
70 <middle>
71
72 <section anchor="introduction" title="Introduction">
73 <t>
74 The Opus codec is a real-time interactive audio codec composed of a linear
75  prediction (LP)-based layer and a Modified Discrete Cosine Transform
76  (MDCT)-based layer.
77 The main idea behind using two layers is that in speech, linear prediction
78  techniques (such as CELP) code low frequencies more efficiently than transform
79  (e.g., MDCT) domain techniques, while the situation is reversed for music and
80  higher speech frequencies.
81 Thus a codec with both layers available can operate over a wider range than
82  either one alone and, by combining them, achieve better quality than either
83  one individually.
84 </t>
85
86 <t>
87 The primary normative part of this specification is provided by the source code
88  in <xref target="ref-implementation"></xref>.
89 In general, only the decoder portion of this software is normative, though a
90  significant amount of code is shared by both the encoder and decoder.
91 <!--TODO: Forward reference conformance test-->
92 The decoder contains significant amounts of integer and fixed-point arithmetic
93  which must be performed exactly, including all rounding considerations, so any
94  useful specification must make extensive use of domain-specific symbolic
95  language to adequately define these operations.
96 Additionally, any
97 conflict between the symbolic representation and the included reference
98 implementation must be resolved. For the practical reasons of compatibility and
99 testability it would be advantageous to give the reference implementation
100 priority in any disagreement. The C language is also one of the most
101 widely understood human-readable symbolic representations for machine
102 behavior.
103 For these reasons this RFC uses the reference implementation as the sole
104  symbolic representation of the codec.
105 </t>
106
107 <!--TODO: C is not unambiguous; many parts are implementation-defined-->
108 <t>While the symbolic representation is unambiguous and complete it is not
109 always the easiest way to understand the codec's operation. For this reason
110 this document also describes significant parts of the codec in English and
111 takes the opportunity to explain the rationale behind many of the more
112 surprising elements of the design. These descriptions are intended to be
113 accurate and informative, but the limitations of common English sometimes
114 result in ambiguity, so it is expected that the reader will always read
115 them alongside the symbolic representation. Numerous references to the
116 implementation are provided for this purpose. The descriptions sometimes
117 differ from the reference in ordering or through mathematical simplification
118 wherever such deviation makes an explanation easier to understand.
119 For example, the right shift and left shift operations in the reference
120 implementation are often described using division and multiplication in the text.
121 In general, the text is focused on the "what" and "why" while the symbolic
122 representation most clearly provides the "how".
123 </t>
124
125 <section anchor="notation" title="Notation and Conventions">
126 <t>
127 The key words "MUST", "MUST NOT", "REQUIRED", "SHALL", "SHALL NOT", "SHOULD",
128  "SHOULD NOT", "RECOMMENDED", "MAY", and "OPTIONAL" in this document are to be
129  interpreted as described in RFC 2119.
130 </t>
131 <t>
132 Even when using floating-point, various operations in the codec require
133  bit-exact fixed-point behavior.
134 The notation "Q<spanx style="emph">n</spanx>", where
135  <spanx style="emph">n</spanx> is an integer, denotes the number of binary
136  digits to the right of the decimal point in a fixed-point number.
137 For example, a signed Q14 value in a 16-bit word can represent values from
138  -2.0 to 1.99993896484375, inclusive.
139 This notation is for informational purposes only.
140 Arithmetic, when described, always operates on the underlying integer.
141 E.g., the text will explicitly indicate any shifts required after a
142  multiplication.
143 </t>
144 <t>
145 Expressions, where included in the text, follow C operator rules and
146  precedence, with the exception that syntax like "2**n" is used to indicate 2
147  raised to the power n.
148 The text also makes use of the following functions:
149 </t>
150
151 <section anchor="min" title="min(x,y)">
152 <t>
153 The smallest of two values x and y.
154 </t>
155 </section>
156
157 <section anchor="max" title="max(x,y)">
158 <t>
159 The largest of two values x and y.
160 </t>
161 </section>
162
163 <section anchor="clamp" title="clamp(lo,x,hi)">
164 <figure align="center">
165 <artwork align="center"><![CDATA[
166 clamp(lo,x,hi) = max(lo,min(x,hi))
167 ]]></artwork>
168 </figure>
169 <t>
170 With this definition, if lo&gt;hi, the lower bound is the one that is enforced.
171 </t>
172 </section>
173
174 <section anchor="sign" title="sign(x)">
175 <t>
176 The sign of x, i.e.,
177 <figure align="center">
178 <artwork align="center"><![CDATA[
179           ( -1,  x < 0 ,
180 sign(x) = <  0,  x == 0 ,
181           (  1,  x > 0 .
182 ]]></artwork>
183 </figure>
184 </t>
185 </section>
186
187 <section anchor="log2" title="log2(f)">
188 <t>
189 The base-two logarithm of f.
190 </t>
191 </section>
192
193 <section anchor="ilog" title="ilog(n)">
194 <t>
195 The minimum number of bits required to store a positive integer n in two's
196  complement notation, or 0 for a non-positive integer n.
197 <figure align="center">
198 <artwork align="center"><![CDATA[
199           ( 0,                 n <= 0,
200 ilog(n) = <
201           ( floor(log2(n))+1,  n > 0
202 ]]></artwork>
203 </figure>
204 Examples:
205 <list style="symbols">
206 <t>ilog(-1) = 0</t>
207 <t>ilog(0) = 0</t>
208 <t>ilog(1) = 1</t>
209 <t>ilog(2) = 2</t>
210 <t>ilog(3) = 2</t>
211 <t>ilog(4) = 3</t>
212 <t>ilog(7) = 3</t>
213 </list>
214 </t>
215 </section>
216
217 </section>
218
219 </section>
220
221 <section anchor="overview" title="Opus Codec Overview">
222
223 <t>
224 The Opus codec scales from 6&nbsp;kb/s narrowband mono speech to 510&nbsp;kb/s
225  fullband stereo music, with algorithmic delays ranging from 5&nbsp;ms to
226  65.2&nbsp;ms.
227 At any given time, either the LP layer, the MDCT layer, or both, may be active.
228 It can seamlessly switch between all of its various operating modes, giving it
229  a great deal of flexibility to adapt to varying content and network
230  conditions without renegotiating the current session.
231 Internally, the codec always operates at a 48&nbsp;kHz sampling rate, though it
232  allows input and output of various bandwidths, defined as follows:
233 </t>
234 <texttable>
235 <ttcol>Abbreviation</ttcol>
236 <ttcol align="right">Audio Bandwidth</ttcol>
237 <ttcol align="right">Sampling Rate (Effective)</ttcol>
238 <c>NB (narrowband)</c>       <c>4&nbsp;kHz</c>  <c>8&nbsp;kHz</c>
239 <c>MB (medium-band)</c>      <c>6&nbsp;kHz</c> <c>12&nbsp;kHz</c>
240 <c>WB (wideband)</c>         <c>8&nbsp;kHz</c> <c>16&nbsp;kHz</c>
241 <c>SWB (super-wideband)</c> <c>12&nbsp;kHz</c> <c>24&nbsp;kHz</c>
242 <c>FB (fullband)</c>        <c>20&nbsp;kHz</c> <c>48&nbsp;kHz</c>
243 </texttable>
244 <t>
245 These can be chosen independently on the encoder and decoder side, e.g., a
246  fullband signal can be decoded as wideband, or vice versa.
247 This approach ensures a sender and receiver can always interoperate, regardless
248  of the capabilities of their actual audio hardware.
249 </t>
250
251 <t>
252 The LP layer is based on the
253  <eref target='http://developer.skype.com/silk'>SILK</eref> codec
254  <xref target="SILK"></xref>.
255 It supports NB, MB, or WB audio and frame sizes from 10&nbsp;ms to 60&nbsp;ms,
256  and requires an additional 5.2&nbsp;ms look-ahead for noise shaping estimation
257  (5&nbsp;ms) and internal resampling (0.2&nbsp;ms).
258 Like Vorbis and many other modern codecs, SILK is inherently designed for
259  variable-bitrate (VBR) coding, though an encoder can with sufficient effort
260  produce constant-bitrate (CBR) or near-CBR streams.
261 </t>
262
263 <t>
264 The MDCT layer is based on the
265  <eref target='http://www.celt-codec.org/'>CELT</eref>  codec
266  <xref target="CELT"></xref>.
267 It supports sampling NB, WB, SWB, or FB audio and frame sizes from 2.5&nbsp;ms
268  to 20&nbsp;ms, and requires an additional 2.5&nbsp;ms look-ahead due to the
269  overlapping MDCT windows.
270 The CELT codec is inherently designed for CBR coding, but unlike many CBR
271  codecs it is not limited to a set of predetermined rates.
272 It internally allocates bits to exactly fill any given target budget, and an
273  encoder can produce a VBR stream by varying the target on a per-frame basis.
274 The MDCT layer is not used for speech when the audio bandwidth is WB or less,
275  as it is not useful there.
276 On the other hand, non-speech signals are not always adequately coded using
277  linear prediction, so for music only the MDCT layer should be used.
278 </t>
279
280 <t>
281 A hybrid mode allows the use of both layers simultaneously with a frame size of
282  10 or 20&nbsp;ms and a SWB or FB audio bandwidth.
283 Each frame is split into a low frequency signal and a high frequency signal,
284  with a cutoff of 8&nbsp;kHz.
285 The LP layer then codes the low frequency signal, followed by the MDCT layer
286  coding the high frequency signal.
287 In the MDCT layer, all bands below 8&nbsp;kHz are discarded, so there is no
288  coding redundancy between the two layers.
289 </t>
290
291 <t>
292 At the decoder, the two decoder outputs are simply added together.
293 To compensate for the different look-aheads required by each layer, the CELT
294  encoder input is delayed by an additional 2.7&nbsp;ms.
295 This ensures that low frequencies and high frequencies arrive at the same time.
296 This extra delay MAY be reduced by an encoder by using less lookahead for noise
297  shaping or using a simpler resampler in the LP layer, but this will reduce
298  quality.
299 However, the base 2.5&nbsp;ms look-ahead in the CELT layer cannot be reduced in
300  the encoder because it is needed for the MDCT overlap, whose size is fixed by
301  the decoder.
302 </t>
303
304 <t>
305 Both layers use the same entropy coder, avoiding any waste from "padding bits"
306  between them.
307 The hybrid approach makes it easy to support both CBR and VBR coding.
308 Although the LP layer is VBR, the bit allocation of the MDCT layer can produce
309  a final stream that is CBR by using all the bits left unused by the LP layer.
310 </t>
311
312 </section>
313
314 <section anchor="modes" title="Codec Modes">
315 <t>
316 As described, the two layers can be combined in three possible operating modes:
317 <list style="numbers">
318 <t>A LP-only mode for use in low bitrate connections with an audio bandwidth of
319  WB or less,</t>
320 <t>A hybrid (LP+MDCT) mode for SWB or FB speech at medium bitrates, and</t>
321 <t>An MDCT-only mode for very low delay speech transmission as well as music
322  transmission.</t>
323 </list>
324 A single packet may contain multiple audio frames, however they must share a
325  common set of parameters, including the operating mode, audio bandwidth, frame
326  size, and channel count.
327 A single-byte table-of-contents (TOC) header signals which of the various modes
328  and configurations a given packet uses.
329 It is composed of a frame count code, "c", a stereo flag, "s", and a
330  configuration number, "config", arranged as illustrated in
331  <xref target="toc_byte"/>.
332 A description of each of these fields follows.
333 </t>
334
335 <figure anchor="toc_byte" title="The TOC byte">
336 <artwork align="center"><![CDATA[
337  0
338  0 1 2 3 4 5 6 7
339 +-+-+-+-+-+-+-+-+
340 | c |s| config  |
341 +-+-+-+-+-+-+-+-+
342 ]]></artwork>
343 </figure>
344
345 <t>
346 The top five bits of the TOC byte, labeled "config", encode one of 32 possible
347  configurations of operating mode, audio bandwidth, and frame size.
348 <xref target="config_bits"/> lists the parameters for each configuration.
349 </t>
350 <texttable anchor="config_bits" title="TOC Byte Configuration Parameters">
351 <ttcol>Configuration Number(s)</ttcol>
352 <ttcol>Mode</ttcol>
353 <ttcol>Bandwidth</ttcol>
354 <ttcol>Frame Size(s)</ttcol>
355 <c>0...3</c>   <c>LP-only</c>   <c>NB</c>  <c>10, 20, 40, 60&nbsp;ms</c>
356 <c>4...7</c>   <c>LP-only</c>   <c>MB</c>  <c>10, 20, 40, 60&nbsp;ms</c>
357 <c>8...11</c>  <c>LP-only</c>   <c>WB</c>  <c>10, 20, 40, 60&nbsp;ms</c>
358 <c>12...13</c> <c>Hybrid</c>    <c>SWB</c> <c>10, 20&nbsp;ms</c>
359 <c>14...15</c> <c>Hybrid</c>    <c>FB</c>  <c>10, 20&nbsp;ms</c>
360 <c>16...19</c> <c>MDCT-only</c> <c>NB</c>  <c>2.5, 5, 10, 20&nbsp;ms</c>
361 <c>20...23</c> <c>MDCT-only</c> <c>WB</c>  <c>2.5, 5, 10, 20&nbsp;ms</c>
362 <c>24...27</c> <c>MDCT-only</c> <c>SWB</c> <c>2.5, 5, 10, 20&nbsp;ms</c>
363 <c>28...31</c> <c>MDCT-only</c> <c>FB</c>  <c>2.5, 5, 10, 20&nbsp;ms</c>
364 </texttable>
365
366 <t>
367 One additional bit, labeled "s", is used to signal mono vs. stereo, with 0
368  indicating mono and 1 indicating stereo.
369 </t>
370
371 <section title="Frame packing">
372 <t>
373 The remaining two bits of the TOC byte, labeled "c", code the number of frames per packet
374  (codes 0 to 3) as follows:
375 <list style="symbols">
376 <t>0:    1 frame in the packet</t>
377 <t>1:    2 frames in the packet, each with equal compressed size</t>
378 <t>2:    2 frames in the packet, with different compressed sizes</t>
379 <t>3:    an arbitrary number of frames in the packet</t>
380 </list>
381 </t>
382
383 <t>
384 A well-formed Opus packet MUST contain at least one byte with the TOC
385  information, though the frame(s) within a packet MAY be zero bytes long.
386 </t>
387
388 <t>
389 When a packet contains multiple VBR frames, the compressed length of one or
390  more of these frames is indicated with a one or two byte sequence, with the
391  meaning of the first byte as follows:
392 <list style="symbols">
393 <t>0:          No frame (DTX or lost packet)</t>
394 <!--TODO: Would be nice to be clearer about the distinction between "frame
395  size" (in samples or ms) and "the compressed size of the frame" (in bytes).
396 "the compressed length of the frame" is maybe a little better, but not when we
397  jump back and forth to talking about sizes.-->
398 <t>1...251:    Size of the frame in bytes</t>
399 <t>252...255:  A second byte is needed. The total size is (size[1]*4)+size[0]</t>
400 </list>
401 </t>
402
403 <t>
404 The maximum representable size is 255*4+255=1275&nbsp;bytes. This limit MUST NOT
405 be exceeded, even when no length field is used.
406 For 20&nbsp;ms frames, this represents a bitrate of 510&nbsp;kb/s, which is
407  approximately the highest useful rate for lossily compressed fullband stereo
408  music.
409 Beyond this point, lossless codecs are more appropriate.
410 It is also roughly the maximum useful rate of the MDCT layer, as shortly
411  thereafter quality no longer improves with additional bits due to limitations
412  on the codebook sizes.
413 </t>
414
415 <section title="One frame in the packet (code 0)">
416 <t>
417 For code 0 packets, the TOC byte is immediately followed by N-1&nbsp;bytes of
418  compressed data for a single frame (where N is the size of the packet),
419  as illustrated in <xref target="code0_packet"/>.
420 </t>
421 <figure anchor="code0_packet" title="A Code 0 Packet" align="center">
422 <artwork align="center"><![CDATA[
423  0                   1                   2                   3
424  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
425 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
426 |0|0|s| config  |                                               |
427 +-+-+-+-+-+-+-+-+                                               |
428 |                    Compressed frame 1 (N-1 bytes)...          :
429 :                                                               |
430 |                                                               |
431 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
432 ]]></artwork>
433 </figure>
434 </section>
435
436 <section title="Two frames in the packet, each with equal compressed size (code 1)">
437 <t>
438 For code 1 packets, the TOC byte is immediately followed by the
439  (N-1)/2&nbsp;bytes of compressed data for the first frame, followed by
440  (N-1)/2&nbsp;bytes of compressed data for the second frame, as illustrated in
441  <xref target="code1_packet"/>.
442 The number of payload bytes available for compressed data, N-1, MUST be even
443  for all code 1 packets.
444 </t>
445 <figure anchor="code1_packet" title="A Code 1 Packet" align="center">
446 <artwork align="center"><![CDATA[
447  0                   1                   2                   3
448  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
449 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
450 |1|0|s| config  |                                               |
451 +-+-+-+-+-+-+-+-+                                               :
452 |             Compressed frame 1 ((N-1)/2 bytes)...             |
453 :                               +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
454 |                               |                               |
455 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+                               :
456 |             Compressed frame 2 ((N-1)/2 bytes)...             |
457 :                                               +-+-+-+-+-+-+-+-+
458 |                                               |
459 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
460 ]]></artwork>
461 </figure>
462 </section>
463
464 <section title="Two frames in the packet, with different compressed sizes (code 2)">
465 <t>
466 For code 2 packets, the TOC byte is followed by a one or two byte sequence
467  indicating the the length of the first frame (marked N1 in the figure below),
468  followed by N1 bytes of compressed data for the first frame.
469 The remaining N-N1-2 or N-N1-3&nbsp;bytes are the compressed data for the
470  second frame.
471 This is illustrated in <xref target="code2_packet"/>.
472 The length of the first frame, N1, MUST be no larger than the size of the
473  payload remaining after decoding that length for all code 2 packets.
474 </t>
475 <figure anchor="code2_packet" title="A Code 2 Packet" align="center">
476 <artwork align="center"><![CDATA[
477  0                   1                   2                   3
478  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
479 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
480 |0|1|s| config  | N1 (1-2 bytes):                               |
481 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+                               :
482 |               Compressed frame 1 (N1 bytes)...                |
483 :                               +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
484 |                               |                               |
485 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+                               |
486 |                     Compressed frame 2...                     :
487 :                                                               |
488 |                                                               |
489 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
490 ]]></artwork>
491 </figure>
492 </section>
493
494 <section title="Arbitrary number of frames in the packet (code 3)">
495 <t>
496 For code 3 packets, the TOC byte is followed by a byte encoding the number of
497  frames in the packet in bits 0 to 5 (marked "M" in the figure below), with bit
498  6 indicating whether or not padding is inserted (marked "p" in the figure
499  below), and bit 7 indicating VBR (marked "v" in the figure below).
500 M MUST NOT be zero, and the audio duration contained within a packet MUST NOT
501  exceed 120&nbsp;ms.
502 This limits the maximum frame count for any frame size to 48 (for 2.5&nbsp;ms
503  frames), with lower limits for longer frame sizes.
504 <xref target="frame_count_byte"/> illustrates the layout of the frame count
505  byte.
506 </t>
507 <figure anchor="frame_count_byte" title="The frame count byte">
508 <artwork align="center"><![CDATA[
509  0
510  0 1 2 3 4 5 6 7
511 +-+-+-+-+-+-+-+-+
512 |     M     |p|v|
513 +-+-+-+-+-+-+-+-+
514 ]]></artwork>
515 </figure>
516 <t>
517 When padding is used, the number of bytes of padding is encoded in the
518  bytes following the frame count byte.
519 Values from 0...254 indicate that 0...254&nbsp;bytes of padding are included,
520  in addition to the byte(s) used to indicate the size of the padding.
521 If the value is 255, then the size of the additional padding is 254&nbsp;bytes,
522  plus the padding value encoded in the next byte.
523 The additional padding bytes appear at the end of the packet, and SHOULD be set
524  to zero by the encoder, however the decoder MUST accept any value for the
525  padding bytes.
526 By using code 255 multiple times, it is possible to create a packet of any
527  specific, desired size.
528 Let P be the total amount of padding, including both the trailing padding bytes
529  themselves and the header bytes used to indicate how many there are.
530 Then P MUST be no more than N-2 for CBR packets, or N-M-1 for VBR packets.
531 </t>
532 <t>
533 In the CBR case, the compressed length of each frame in bytes is equal to the
534  number of remaining bytes in the packet after subtracting the (optional)
535  padding, (N-2-P), divided by M.
536 This number MUST be an integer multiple of M.
537 The compressed data for all M frames then follows, each of size
538  (N-2-P)/M&nbsp;bytes, as illustrated in <xref target="code3cbr_packet"/>.
539 </t>
540
541 <figure anchor="code3cbr_packet" title="A CBR Code 3 Packet" align="center">
542 <artwork align="center"><![CDATA[
543  0                   1                   2                   3
544  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
545 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
546 |1|1|s| config  |     M     |p|0|  Padding length (Optional)    :
547 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
548 |                                                               |
549 :            Compressed frame 1 ((N-2-P)/M bytes)...            :
550 |                                                               |
551 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
552 |                                                               |
553 :            Compressed frame 2 ((N-2-P)/M bytes)...            :
554 |                                                               |
555 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
556 |                                                               |
557 :                              ...                              :
558 |                                                               |
559 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
560 |                                                               |
561 :            Compressed frame M ((N-2-P)/M bytes)...            :
562 |                                                               |
563 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
564 :                     Padding (Optional)...                     |
565 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
566 ]]></artwork>
567 </figure>
568
569 <t>
570 In the VBR case, the (optional) padding length is followed by M-1 frame
571  lengths (indicated by "N1" to "N[M-1]" in the figure below), each encoded in a
572  one or two byte sequence as described above.
573 The packet MUST contain enough data for the M-1 lengths after the (optional)
574  padding, and the sum of these lengths MUST be no larger than the number of
575  bytes remaining in the packet after decoding them.
576 The compressed data for all M frames follows, each frame consisting of the
577  indicated number of bytes, with the final frame consuming any remaining bytes
578  before the final padding, as illustrated in <xref target="code3cbr_packet"/>.
579 The number of header bytes (TOC byte, frame count byte, padding length bytes,
580  and frame length bytes), plus the length of the first M-1 frames themselves,
581  plus the length of the padding MUST be no larger than N, the total size of the
582  packet.
583 </t>
584
585 <figure anchor="code3vbr_packet" title="A VBR Code 3 Packet" align="center">
586 <artwork align="center"><![CDATA[
587  0                   1                   2                   3
588  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
589 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
590 |1|1|s| config  |     M     |p|1| Padding length (Optional)     :
591 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
592 : N1 (1-2 bytes): N2 (1-2 bytes):     ...       :     N[M-1]    |
593 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
594 |                                                               |
595 :               Compressed frame 1 (N1 bytes)...                :
596 |                                                               |
597 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
598 |                                                               |
599 :               Compressed frame 2 (N2 bytes)...                :
600 |                                                               |
601 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
602 |                                                               |
603 :                              ...                              :
604 |                                                               |
605 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
606 |                                                               |
607 :                     Compressed frame M...                     :
608 |                                                               |
609 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
610 :                     Padding (Optional)...                     |
611 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
612 ]]></artwork>
613 </figure>
614 </section>
615 </section>
616
617 <section anchor="examples" title="Examples">
618 <t>
619 Simplest case, one NB mono 20&nbsp;ms SILK frame:
620 </t>
621
622 <figure>
623 <artwork><![CDATA[
624  0                   1                   2                   3
625  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
626 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
627 |0|0|0|    1    |               compressed data...              :
628 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
629 ]]></artwork>
630 </figure>
631
632 <t>
633 Two FB mono 5&nbsp;ms CELT frames of the same compressed size:
634 </t>
635
636 <figure>
637 <artwork><![CDATA[
638  0                   1                   2                   3
639  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
640 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
641 |1|0|0|   29    |               compressed data...              :
642 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
643 ]]></artwork>
644 </figure>
645
646 <t>
647 Two FB mono 20&nbsp;ms hybrid frames of different compressed size:
648 </t>
649
650 <figure>
651 <artwork><![CDATA[
652  0                   1                   2                   3
653  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
654 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
655 |1|1|0|   15    |     2     |0|1|      N1       |               |
656 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+               |
657 |                       compressed data...                      :
658 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
659 ]]></artwork>
660 </figure>
661
662 <t>
663 Four FB stereo 20&nbsp;ms CELT frames of the same compressed size:
664 </t>
665
666 <figure>
667 <artwork><![CDATA[
668  0                   1                   2                   3
669  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
670 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
671 |1|1|1|   31    |     4     |0|0|      compressed data...       :
672 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
673 ]]></artwork>
674 </figure>
675 </section>
676
677 <section title="Extending Opus">
678 <t>
679 A receiver MUST NOT process packets which violate the rules above as normal Opus
680  packets. They are reserved for future applications, such as in-band headers (containing
681  metadata, etc.) or multichannel support.
682 </t>
683 </section>
684
685 </section>
686
687 <section title="Opus Decoder">
688 <t>
689 The Opus decoder consists of two main blocks: the SILK decoder and the CELT decoder.
690 The output of the Opus decode is the sum of the outputs from the SILK and CELT decoders
691 with proper sample rate conversion and delay compensation as illustrated in the
692 block diagram below. At any given time, one or both of the SILK and CELT decoders
693 may be active.
694 </t>
695 <figure>
696 <artwork>
697 <![CDATA[
698                        +-------+    +----------+
699                        | SILK  |    |  sample  |
700                     +->|encoder|--->|   rate   |----+
701 bit-    +-------+   |  |       |    |conversion|    v
702 stream  | Range |---+  +-------+    +----------+  /---\  audio
703 ------->|decoder|                                 | + |------>
704         |       |---+  +-------+    +----------+  \---/
705         +-------+   |  | CELT  |    | Delay    |    ^
706                     +->|decoder|----| compens- |----+
707                        |       |    | ation    |
708                        +-------+    +----------+
709 ]]>
710 </artwork>
711 </figure>
712
713 <section anchor="range-decoder" title="Range Decoder">
714 <t>
715 Opus uses an entropy coder based on <xref target="range-coding"></xref>,
716 which is itself a rediscovery of the FIFO arithmetic code introduced by <xref target="coding-thesis"></xref>.
717 It is very similar to arithmetic encoding, except that encoding is done with
718 digits in any base instead of with bits,
719 so it is faster when using larger bases (i.e., an octet). All of the
720 calculations in the range coder must use bit-exact integer arithmetic.
721 </t>
722 <t>
723 Symbols may also be coded as <spanx style="emph">raw bits</spanx> packed
724  directly into the bitstream, bypassing the range coder.
725 These are packed backwards starting at the end of the frame.
726 This reduces complexity and makes the stream more resilient to bit errors, as
727  corruption in the raw bits will not desynchronize the decoding process, unlike
728  corruption in the input to the range decoder.
729 Raw bits are only used in the CELT layer.
730 </t>
731 <t>
732 Each symbol coded by the range coder is drawn from a finite alphabet and coded
733  in a separate <spanx style="emph">context</spanx>, which describes the size of
734  the alphabet and the relative frequency of each symbol in that alphabet.
735 Opus only uses static contexts.
736 They are not adapted to the statistics of the data as it is coded.
737 </t>
738 <t>
739 The parameters needed to encode or decode a symbol in a given context are
740  represented by a three-tuple (fl,fh,ft), with
741  0 &lt;= fl &lt; fh &lt;= ft &lt;= 65535.
742 The values of this tuple are derived from the probability model for the
743  symbol, represented by traditional <spanx style="emph">frequency counts</spanx>
744  (although, since Opus uses static contexts, these are not updated as symbols
745  are decoded).
746 Let f[i] be the frequency of the <spanx style="emph">i</spanx>th symbol in a
747  context with <spanx style="emph">n</spanx> symbols total.
748 Then the three-tuple corresponding to the <spanx style="emph">k</spanx>th
749  symbol is given by
750 </t>
751 <figure align="center">
752 <artwork align="center"><![CDATA[
753      k-1                             n-1
754      __                              __
755 fl = \  f[i],  fh = fl + f[k],  ft = \  f[i]
756      /_                              /_
757      i=0                             i=0
758 ]]></artwork>
759 </figure>
760 <t>
761 The range decoder extracts the symbols and integers encoded using the range
762  encoder in <xref target="range-encoder"/>.
763 The range decoder maintains an internal state vector composed of the two-tuple
764  (val,rng), representing the difference between the high end of the current
765  range and the actual coded value, minus one, and the size of the current
766  range, respectively.
767 Both val and rng are 32-bit unsigned integer values.
768 The decoder initializes rng to 128 and initializes val to 127 minus the top 7
769  bits of the first input octet.
770 It then immediately normalizes the range using the procedure described in
771  <xref target="range-decoder-renorm"/>.
772 </t>
773
774 <section anchor="decoding-symbols" title="Decoding Symbols">
775 <t>
776 Decoding a symbol is a two-step process.
777 The first step determines a 16-bit unsigned value fs, which lies within the
778  range of some symbol in the current context.
779 The second step updates the range decoder state with the three-tuple (fl,fh,ft)
780  corresponding to that symbol.
781 </t>
782 <t>
783 The first step is implemented by ec_decode() (entdec.c), which computes
784  fs = ft - min(val/(rng/ft)+1, ft).
785 The divisions here are exact integer division.
786 </t>
787 <t>
788 The decoder then identifies the symbol in the current context corresponding to
789  fs; i.e., the one whose three-tuple (fl,fh,ft) satisfies fl &lt;= fs &lt; fh.
790 It uses this tuple to update val according to
791  val = val - (rng/ft)*(ft-fh).
792 If fl is greater than zero, then the decoder updates rng using
793  rng = (rng/ft)*(fh-fl).
794 Otherwise, it updates rng using rng = rng - (rng/ft)*(ft-fh).
795 After these updates, implemented by ec_dec_update() (entdec.c), it normalizes
796  the range using the procedure in the next section, and returns the index of
797  the identified symbol.
798 </t>
799 <t>
800 With this formulation, all the truncation error from using finite precision
801  arithmetic accumulates in symbol 0.
802 This makes the cost of coding a 0 slightly smaller, on average, than the
803  negative log of its estimated probability and makes the cost of coding any
804  other symbol slightly larger.
805 When contexts are designed so that 0 is the most probable symbol, which is
806  often the case, this strategy minimizes the inefficiency introduced by the
807  finite precision.
808 </t>
809
810 <section anchor="range-decoder-renorm" title="Renormalization">
811 <t>
812 To normalize the range, the decoder repeats the following process, implemented
813  by ec_dec_normalize() (entdec.c), until rng > 2**23.
814 If rng is already greater than 2**23, the entire process is skipped.
815 First, it sets rng to (rng&lt;&lt;8).
816 Then it reads the next 8 bits of input into sym, using the remaining bit from
817  the previous input octet as the high bit of sym, and the top 7 bits of the
818  next octet as the remaining bits of sym.
819 If no more input octets remain, it uses zero bits instead.
820 Then, it sets val to (val&lt;&lt;8)+(255-sym)&amp;0x7FFFFFFF.
821 </t>
822 <t>
823 It is normal and expected that the range decoder will read several bytes
824  into the raw bits data (if any) at the end of the packet by the time the frame
825  is completely decoded, as illustrated in <xref target="finalize-example"/>.
826 This same data MUST also be returned as raw bits when requested.
827 The encoder is expected to terminate the stream in such a way that the decoder
828  will decode the intended values regardless of the data contained in the raw
829  bits.
830 <xref target="encoder-finalizing"/> describes a procedure for doing this.
831 If the range decoder consumes all of the bytes belonging to the current frame,
832  it MUST continue to use zero when any further input bytes are required, even
833  if there is additional data in the current packet, from padding or other
834  frames.
835 </t>
836
837 <figure anchor="finalize-example" title="Illustrative example of raw bits
838  overlapping range coder data">
839 <artwork align="center"><![CDATA[
840  n               n+1             n+2             n+3
841  7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0
842 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
843 :     | <----------- Overlap region ------------> |             :
844 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
845       ^                                           ^
846       |   End of data buffered by the range coder |
847 ...-----------------------------------------------+
848       |
849       | End of data consumed by raw bits
850       +-------------------------------------------------------...
851 ]]></artwork>
852 </figure>
853 </section>
854 </section>
855
856 <section anchor="decoding-alternate" title="Alternate Decoding Methods">
857 <t>
858 The reference implementation uses three additional decoding methods that are
859  exactly equivalent to the above, but make assumptions and simplifications that
860  allow for a more efficient implementation.
861 </t>
862 <section title="ec_decode_bin()">
863 <t>
864 The first is ec_decode_bin() (entdec.c), defined using the parameter ftb
865  instead of ft.
866 It is mathematically equivalent to calling ec_decode() with
867  ft = (1&lt;&lt;ftb), but avoids one of the divisions.
868 </t>
869 </section>
870 <section title="ec_dec_bit_logp()">
871 <t>
872 The next is ec_dec_bit_logp() (entdec.c), which decodes a single binary symbol,
873  replacing both the ec_decode() and ec_dec_update() steps.
874 The context is described by a single parameter, logp, which is the absolute
875  value of the base-2 logarithm of the probability of a "1".
876 It is mathematically equivalent to calling ec_decode() with
877  ft = (1&lt;&lt;logp), followed by ec_dec_update() with
878  fl = 0, fh = (1&lt;&lt;logp)-1, ft = (1&lt;&lt;logp) if the returned value
879  of fs is less than (1&lt;&lt;logp)-1 (a "0" was decoded), and with
880  fl = (1&lt;&lt;logp)-1, fh = ft = (1&lt;&lt;logp) otherwise (a "1" was
881  decoded).
882 The implementation requires no multiplications or divisions.
883 </t>
884 </section>
885 <section title="ec_dec_icdf()">
886 <t>
887 The last is ec_dec_icdf() (entdec.c), which decodes a single symbol with a
888  table-based context of up to 8 bits, also replacing both the ec_decode() and
889  ec_dec_update() steps, as well as the search for the decoded symbol in between.
890 The context is described by two parameters, an icdf
891  (<spanx style="emph">inverse</spanx> cumulative distribution function)
892  table and ftb.
893 As with ec_decode_bin(), (1&lt;&lt;ftb) is equivalent to ft.
894 idcf[k], on the other hand, stores (1&lt;&lt;ftb)-fh for the kth symbol in
895  the context, which is equal to (1&lt;&lt;ftb)-fl for the (k+1)st symbol.
896 fl for the 0th symbol is assumed to be 0, and the table is terminated by a
897  value of 0 (where fh&nbsp;==&nbsp;ft).
898 </t>
899 <t>
900 The function is mathematically equivalent to calling ec_decode() with
901  ft = (1&lt;&lt;ftb), using the returned value fs to search the table for the
902  first entry where fs &lt; (1&lt;&lt;ftb)-icdf[k], and calling
903  ec_dec_update() with fl = (1&lt;&lt;ftb)-icdf[k-1] (or 0 if k&nbsp;==&nbsp;0),
904  fh = (1&lt;&lt;ftb)-idcf[k], and ft = (1&lt;&lt;ftb).
905 Combining the search with the update allows the division to be replaced by a
906  series of multiplications (which are usually much cheaper), and using an
907  inverse CDF allows the use of an ftb as large as 8 in an 8-bit table without
908  any special cases.
909 This is the primary interface with the range decoder in the SILK layer, though
910  it is used in a few places in the CELT layer as well.
911 </t>
912 <t>
913 Although icdf[k] is more convenient for the code, the frequency counts, f[k],
914  are a more natural representation of the probability distribution function
915  (PDF) for a given symbol.
916 Therefore this draft lists the latter, not the former, when describing the
917  context in which a symbol is coded as a list, e.g., {4, 4, 4, 4}/16 for a
918  uniform context with four possible values and ft=16.
919 The value of ft after the slash is always the sum of the entries in the PDF,
920  but is included for convenience.
921 Contexts with identical probabilities, f[k]/ft, but different values of ft
922  (or equivalently, ftb) are not the same, and cannot, in general, be used in
923  place of one another.
924 An icdf table is also not capable of representing a PDF where the first symbol
925  has 0 probability.
926 In such contexts, ec_dec_icdf() can decode the symbol by using a table that
927  drops the entries for any initial zero-probability values and adding the
928  constant offset of the first value with a non-zero probability to its return
929  value.
930 </t>
931 </section>
932 </section>
933
934 <section anchor="decoding-bits" title="Decoding Raw Bits">
935 <t>
936 The raw bits used by the CELT layer are packed at the end of the packet, with
937  the least significant bit of the first value to be packed in the least
938  significant bit of the last byte, filling up to the most significant bit in
939  the last byte, and continuing on to the least significant bit of the
940  penultimate byte, and so on.
941 The reference implementation reads them using ec_dec_bits() (entdec.c).
942 Because the range decoder must read several bytes ahead in the stream, as
943  described in <xref target="range-decoder-renorm"/>, the input consumed by the
944  raw bits MAY overlap with the input consumed by the range coder, and a decoder
945  MUST allow this.
946 The format should render it impossible to attempt to read more raw bits than
947  there are actual bits in the frame, though a decoder MAY wish to check for
948  this and report an error.
949 </t>
950 </section>
951
952 <section anchor="decoding-ints" title="Decoding Uniformly Distributed Integers">
953 <t>
954 The ec_dec_uint() (entdec.c) function decodes one of ft equiprobable values in
955  the range 0 to ft-1, inclusive, each with a frequency of 1, where ft may be as
956  large as 2**32-1.
957 Because ec_decode() is limited to a total frequency of 2**16-1, this is split
958  up into a range coded symbol representing up to 8 of the high bits of the
959  value, and, if necessary, raw bits representing the remaining bits.
960 The limit of 8 bits in the range coded symbol is a trade-off between
961  implementation complexity, modeling error (since the symbols no longer truly
962  have equal coding cost) and rounding error introduced by the range coder
963  itself (which gets larger as more bits are included).
964 Using raw bits reduces the maximum number of divisions required in the worst
965  case, but means that it may be possible to decode a value outside the range
966  0 to ft-1, inclusive.
967 </t>
968
969 <t>
970 ec_dec_uint() takes a single, positive parameter, ft, which is not necessarily
971  a power of two, and returns an integer, t, whose value lies between 0 and
972  ft-1, inclusive.
973 Let ftb = ilog(ft-1), i.e., the number of bits required to store ft-1 in two's
974  complement notation.
975 If ftb is 8 or less, then t is decoded with t = ec_decode(ft), and the range
976  coder state is updated using the three-tuple (t,t+1,ft).
977 </t>
978 <t>
979 If ftb is greater than 8, then the top 8 bits of t are decoded using
980  t = ec_decode((ft-1&gt;&gt;ftb-8)+1),
981  the decoder state is updated using the three-tuple
982  (t,t+1,(ft-1&gt;&gt;ftb-8)+1), and the remaining bits are decoded as raw bits,
983  setting t = t&lt;&lt;ftb-8|ec_dec_bits(ftb-8).
984 If, at this point, t >= ft, then the current frame is corrupt.
985 In that case, the decoder should assume there has been an error in the coding,
986  decoding, or transmission and SHOULD take measures to conceal the
987  error and/or report to the application that a problem has occurred.
988 </t>
989
990 </section>
991
992 <section anchor="decoder-tell" title="Current Bit Usage">
993 <t>
994 The bit allocation routines in the CELT decoder need a conservative upper bound
995  on the number of bits that have been used from the current frame thus far,
996  including both range coder bits and raw bits.
997 This drives allocation decisions that must match those made in the encoder.
998 The upper bound is computed in the reference implementation to whole-bit
999  precision by the function ec_tell() (entcode.h) and to fractional 1/8th bit
1000  precision by the function ec_tell_frac() (entcode.c).
1001 Like all operations in the range coder, it must be implemented in a bit-exact
1002  manner, and must produce exactly the same value returned by the same functions
1003  in the encoder after encoding the same symbols.
1004 </t>
1005 <t>
1006 ec_tell() is guaranteed to return ceil(ec_tell_frac()/8.0).
1007 In various places the codec will check to ensure there is enough room to
1008  contain a symbol before attempting to decode it.
1009 In practice, although the number of bits used so far is an upper bound,
1010  decoding a symbol whose probability model suggests it has a worst-case cost of
1011  p 1/8th bits may actually advance the return value of ec_tell_frac() by
1012  p-1, p, or p+1 1/8th bits, due to approximation error in that upper bound,
1013  truncation error in the range coder, and for large values of ft, modeling
1014  error in ec_dec_uint().
1015 </t>
1016 <t>
1017 However, this error is bounded, and periodic calls to ec_tell() or
1018  ec_tell_frac() at precisely defined points in the decoding process prevent it
1019  from accumulating.
1020 For a symbol that requires a whole number of bits (i.e., ft/(fh-fl) is a power
1021  of two, including values of ft larger than 2**8 with ec_dec_uint()), and there
1022  are at least p 1/8th bits available, decoding the symbol will never advance
1023  the decoder past the end of the frame, i.e., will never
1024  <spanx style="emph">bust</spanx> the budget.
1025 Frames contain a whole number of bits, and the return value of ec_tell_frac()
1026  will only advance by more than p 1/8th bits in this case if there was a
1027  fractional number of bits remaining, and by no more than the fractional part.
1028 However, when p is not a whole number of bits, an extra 1/8th bit is required
1029  to ensure decoding the symbol will not bust.
1030 </t>
1031 <t>
1032 The reference implementation keeps track of the total number of whole bits that
1033  have been processed by the decoder so far in a variable nbits_total, including
1034  the (possibly fractional number of bits) that are currently buffered (but not
1035  consumed) inside the range coder.
1036 nbits_total is initialized to 33 just after the initial range renormalization
1037  process completes (or equivalently, it can be initialized to 9 before the
1038  first renormalization).
1039 The extra two bits over the actual amount buffered by the range coder
1040  guarantees that it is an upper bound and that there is enough room for the
1041  encoder to terminate the stream.
1042 Each iteration through the range coder's renormalization loop increases
1043  nbits_total by 8.
1044 Reading raw bits increases nbits_total by the number of raw bits read.
1045 </t>
1046
1047 <section anchor="ec_tell" title="ec_tell()">
1048 <t>
1049 The whole number of bits buffered in rng may be estimated via l = ilog(rng).
1050 ec_tell() then becomes a simple matter of removing these bits from the total.
1051 It returns (nbits_total - l).
1052 </t>
1053 <t>
1054 In a newly initialized decoder, before any symbols have been read, this reports
1055  that 1 bit has been used.
1056 This is the bit reserved for termination of the encoder.
1057 </t>
1058 </section>
1059
1060 <section anchor="ec_tell_frac" title="ec_tell_frac()">
1061 <t>
1062 ec_tell_frac() estimates the number of bits buffered in rng to fractional
1063  precision.
1064 Since rng must be greater than 2**23 after renormalization, l must be at least
1065  24.
1066 Let r = rng&gt;&gt;(l-16), so that 32768 &lt;= r &lt; 65536, an unsigned Q15
1067  value representing the fractional part of rng.
1068 Then the following procedure can be used to add one bit of precision to l.
1069 First, update r = r*r&gt;&gt;15.
1070 Then add the 16th bit of r to l via l = 2*l + (r&gt;&gt;16).
1071 Finally, if this bit was a 1, reduce r by a factor of two via r = r&gt;&gt;1,
1072  so that it once again lies in the range 32768 &lt;= r &lt; 65536.
1073 </t>
1074 <t>
1075 This procedure is repeated three times to extend l to 1/8th bit precision.
1076 ec_tell_frac() then returns (nbits_total*8 - l).
1077 </t>
1078 </section>
1079
1080 </section>
1081
1082 </section>
1083
1084 <section anchor='outline_decoder' title='SILK Decoder'>
1085 <t>
1086 The decoder's LP layer uses a modified version of the SILK codec (herein simply
1087  called "SILK"), which runs a decoded excitation signal through adaptive
1088  long-term and short-term prediction synthesis filters.
1089 It runs in NB, MB, and WB modes internally.
1090 When used in a hybrid frame in SWB or FB mode, the LP layer itself still only
1091  runs in WB mode.
1092 </t>
1093 <t>
1094 Internally, the LP layer of a single Opus frame is composed of either a single
1095  10&nbsp;ms SILK frame or between one and three 20&nbsp;ms SILK frames.
1096 Each SILK frame is in turn composed of either two or four 5&nbsp;ms subframes.
1097 Optional Low Bit-Rate Redundancy (LBRR) frames, which are reduced-bitrate
1098  encodings of previous SILK frames, may appear to aid in recovery from packet
1099  loss.
1100 If present, these appear before the regular SILK frames.
1101 They are in most respects identical to regular active SILK frames, except that
1102  they are usually encoded with a lower bitrate, and from here on this draft
1103  will use "SILK frame" to refer to either one and "regular SILK frame" if it
1104  needs to draw a distinction between the two.
1105 </t>
1106 <t>
1107 All of these frames and subframes are decoded from the same range coder, with
1108  no padding between them.
1109 Thus packing multiple SILK frames in a single Opus frame saves, on average,
1110  half a byte per SILK frame.
1111 It also allows some parameters to be predicted from prior SILK frames in the
1112  same Opus frame, since this does not degrade packet loss robustness (beyond
1113  any penalty for merely using fewer, larger packets to store multiple frames).
1114 </t>
1115
1116 <t>
1117 Stereo support in SILK uses a variant of mid-side coding, allowing a mono
1118  decoder to simply decode the mid channel.
1119 However, the data for the two channels is interleaved, so a mono decoder must
1120  still unpack the data for the side channel.
1121 It would be required to do so anyway for hybrid Opus frames, or to support
1122  decoding individual 20&nbsp;ms frames.
1123 </t>
1124
1125 <texttable anchor="silk_symbols">
1126 <ttcol align="center">Symbol(s)</ttcol>
1127 <ttcol align="center">PDF</ttcol>
1128 <ttcol align="center">Condition</ttcol>
1129 <c>VAD flags</c>     <c>{1, 1}/2</c>                    <c></c>
1130 <c>LBRR flag</c>     <c>{1, 1}/2</c>                    <c></c>
1131 <c>Per-frame LBRR flags</c> <c><xref target="silk_lbrr_flags"/></c> <c><xref target="silk_lbrr_flags"/></c>
1132 <c>Frame Type</c>    <c><xref target="silk_frame_type"/></c>    <c></c>
1133 <c>Gain index</c>    <c><xref target="silk_gains"/></c> <c></c>
1134 <postamble>
1135 Order of the symbols in the SILK section of the bit-stream.
1136 </postamble>
1137 </texttable>
1138
1139 <section title="Decoder Modules">
1140 <t>
1141 An overview of the decoder is given in <xref target="decoder_figure"/>.
1142 </t>
1143 <figure align="center" anchor="decoder_figure">
1144 <artwork align="center">
1145 <![CDATA[
1146
1147    +---------+    +------------+
1148 -->| Range   |--->| Decode     |---------------------------+
1149  1 | Decoder | 2  | Parameters |----------+       5        |
1150    +---------+    +------------+     4    |                |
1151                        3 |                |                |
1152                         \/               \/               \/
1153                   +------------+   +------------+   +------------+
1154                   | Generate   |-->| LTP        |-->| LPC        |-->
1155                   | Excitation |   | Synthesis  |   | Synthesis  | 6
1156                   +------------+   +------------+   +------------+
1157
1158 1: Range encoded bitstream
1159 2: Coded parameters
1160 3: Pulses and gains
1161 4: Pitch lags and LTP coefficients
1162 5: LPC coefficients
1163 6: Decoded signal
1164 ]]>
1165 </artwork>
1166 <postamble>Decoder block diagram.</postamble>
1167 </figure>
1168
1169           <section title='Range Decoder'>
1170             <t>
1171               The range decoder decodes the encoded parameters from the received bitstream. Output from this function includes the pulses and gains for the excitation signal generation, as well as LTP and LSF codebook indices, which are needed for decoding LTP and LPC coefficients needed for LTP and LPC synthesis filtering the excitation signal, respectively.
1172             </t>
1173           </section>
1174
1175           <section title='Decode Parameters'>
1176             <t>
1177               Pulses and gains are decoded from the parameters that were decoded by the range decoder.
1178             </t>
1179
1180             <t>
1181               When a voiced frame is decoded and LTP codebook selection and indices are received, LTP coefficients are decoded using the selected codebook by choosing the vector that corresponds to the given codebook index in that codebook. This is done for each of the four subframes.
1182               The LPC coefficients are decoded from the LSF codebook by first adding the chosen LSF vector and the decoded LSF residual signal. The resulting LSF vector is stabilized using the same method that was used in the encoder, see
1183               <xref target='lsf_stabilizer_overview_section' />. The LSF coefficients are then converted to LPC coefficients, and passed on to the LPC synthesis filter.
1184             </t>
1185           </section>
1186
1187           <section title='Generate Excitation'>
1188             <t>
1189               The pulses signal is multiplied with the quantization gain to create the excitation signal.
1190             </t>
1191           </section>
1192
1193           <section title='LTP Synthesis'>
1194             <t>
1195               For voiced speech, the excitation signal e(n) is input to an LTP synthesis filter that will recreate the long term correlation that was removed in the LTP analysis filter and generate an LPC excitation signal e_LPC(n), according to
1196               <figure align="center">
1197                 <artwork align="center">
1198                   <![CDATA[
1199                    d
1200                   __
1201 e_LPC(n) = e(n) + \  e_LPC(n - L - i) * b_i,
1202                   /_
1203                  i=-d
1204 ]]>
1205                 </artwork>
1206               </figure>
1207               using the pitch lag L, and the decoded LTP coefficients b_i.
1208               The number of LTP coefficients is 5, and thus d&nbsp;=&nbsp;2.
1209
1210               For unvoiced speech, the output signal is simply a copy of the excitation signal, i.e., e_LPC(n) = e(n).
1211             </t>
1212           </section>
1213
1214           <section title='LPC Synthesis'>
1215             <t>
1216               In a similar manner, the short-term correlation that was removed in the LPC analysis filter is recreated in the LPC synthesis filter. The LPC excitation signal e_LPC(n) is filtered using the LTP coefficients a_i, according to
1217               <figure align="center">
1218                 <artwork align="center">
1219                   <![CDATA[
1220                  d_LPC
1221                   __
1222 y(n) = e_LPC(n) + \  y(n - i) * a_i,
1223                   /_
1224                   i=1
1225 ]]>
1226                 </artwork>
1227               </figure>
1228               where d_LPC is the LPC synthesis filter order, and y(n) is the decoded output signal.
1229             </t>
1230           </section>
1231         </section>
1232
1233 <!--TODO: Document mandated decoder resets-->
1234
1235 <section title="Header Bits">
1236 <t>
1237 The LP layer begins with two to eight header bits, decoded in silk_Decode()
1238  (silk_dec_API.c).
1239 These consist of one Voice Activity Detection (VAD) bit per frame (up to 3),
1240  followed by a single flag indicating the presence of LBRR frames.
1241 For a stereo packet, these flags correspond to the mid channel, and a second
1242  set of flags is included for the side channel.
1243 </t>
1244 <t>
1245 Because these are the first symbols decoded by the range coder, they can be
1246  extracted directly from the upper bits of the first byte of compressed data.
1247 Thus, a receiver can determine if an Opus frame contains any active SILK frames
1248  without the overhead of using the range decoder.
1249 </t>
1250 </section>
1251
1252 <section anchor="silk_lbrr_flags" title="LBRR Flags">
1253 <t>
1254 For Opus frames longer than 20&nbsp;ms, a set of per-frame LBRR flags is
1255  decoded for each channel that has its LBRR flag set.
1256 For 40&nbsp;ms Opus frames the 2-frame LBRR flag PDF from
1257  <xref target="silk_lbrr_flag_pdfs"/> is used, and for 60&nbsp;ms Opus frames
1258  the 3-frame LBRR flag PDF is used.
1259 For each channel, the resulting 2- or 3-bit integer contains the corresponding
1260  LBRR flag for each frame, packed in order from the LSb to the MSb.
1261 </t>
1262
1263 <texttable anchor="silk_lbrr_flag_pdfs" title="LBRR Flag PDFs">
1264 <ttcol>Frame Size</ttcol>
1265 <ttcol>PDF</ttcol>
1266 <c>40&nbsp;ms</c> <c>{0, 53, 53, 150}/256</c>
1267 <c>60&nbsp;ms</c> <c>{0, 41, 20, 29, 41, 15, 28, 82}/256</c>
1268 </texttable>
1269
1270 <t>
1271 LBRR frames do not include their own separate VAD flags.
1272 An LBRR frame is only meant to be transmitted for active speech, thus all LBRR
1273  frames are treated as active.
1274 </t>
1275 </section>
1276
1277 <section title="SILK Frame Contents">
1278 <t>
1279 Each SILK frame includes a set of side information that encodes the frame type,
1280  quantization type and gains, short-term prediction filter coefficients, LSF
1281  interpolation weight, long-term prediction filter lags and gains, and a
1282  pseudorandom number generator (PRNG) seed.
1283 This is followed by the quantized excitation signal.
1284 </t>
1285 <section anchor="silk_frame_type" title="Frame Type">
1286 <t>
1287 Each SILK frame begins with a single <spanx style="emph">frame type</spanx>
1288  symbol that jointly codes the signal type and quantization offset type of the
1289  corresponding frame.
1290 If the current frame is a regular SILK frame whose VAD bit was not set (an
1291  <spanx style="emph">inactive</spanx> frame), then the frame type symbol takes
1292  on the value either 0 or 1 and is decoded using the first PDF in
1293  <xref target="silk_frame_type_pdfs"/>.
1294 If the frame is an LBRR frame or a regular SILK frame whose VAD flag was set
1295  (an <spanx style="emph">active</spanx> frame), then the symbol ranges from 2
1296  to 5, inclusive, and is decoded using the second PDF in
1297  <xref target="silk_frame_type_pdfs"/>.
1298 <xref target="silk_frame_type_table"/> translates between the value of the
1299  frame type symbol and the corresponding signal type and quantization offset
1300  type.
1301 </t>
1302
1303 <texttable anchor="silk_frame_type_pdfs" title="Frame Type PDFs">
1304 <ttcol>VAD Flag</ttcol>
1305 <ttcol>PDF</ttcol>
1306 <c>Inactive</c> <c>{26, 230, 0, 0, 0, 0}/256</c>
1307 <c>Active</c>   <c>{0, 0, 24, 74, 148, 10}/256</c>
1308 </texttable>
1309
1310 <texttable anchor="silk_frame_type_table"
1311  title="Signal Type and Quantization Offset Type from Frame Type">
1312 <ttcol>Frame Type</ttcol>
1313 <ttcol>Signal Type</ttcol>
1314 <ttcol align="right">Quantization Offset Type</ttcol>
1315 <c>0</c> <c>Inactive</c> <c>0</c>
1316 <c>1</c> <c>Inactive</c> <c>1</c>
1317 <c>2</c> <c>Unvoiced</c> <c>0</c>
1318 <c>3</c> <c>Unvoiced</c> <c>1</c>
1319 <c>4</c> <c>Voiced</c>   <c>0</c>
1320 <c>5</c> <c>Voiced</c>   <c>1</c>
1321 </texttable>
1322
1323 </section>
1324
1325 <section anchor="silk_gains" title="Sub-Frame Gains">
1326 <t>
1327 A separate quantization gain is coded for each 5&nbsp;ms subframe.
1328 These gains control the step size between quantization levels of the excitation
1329  signal and, therefore, the quality of the reconstruction.
1330 They are independent of the pitch gains coded for voiced frames.
1331 The quantization gains are themselves uniformly quantized to 6&nbsp;bits on a
1332  log scale, giving them a resolution of approximately 1.369&nbsp;dB and a range
1333  of approximately 1.94&nbsp;dB to 88.21&nbsp;dB.
1334 </t>
1335 <t>
1336 For the first LBRR frame, an LBRR frame where the previous LBRR frame was not
1337  coded, or the first regular SILK frame in an Opus frame, the first subframe
1338  uses an independent coding method.
1339 The 3 most significant bits of the quantization gain are decoded using a PDF
1340  selected from <xref target="silk_independent_gain_msb_pdfs"/> based on the
1341  decoded signal type.
1342 </t>
1343
1344 <texttable anchor="silk_independent_gain_msb_pdfs"
1345  title="PDFs for Independent Quantization Gain MSb Coding">
1346 <ttcol align="left">Signal Type</ttcol>
1347 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
1348 <c>Inactive</c> <c>{32, 112, 68, 29, 12,  1,  1, 1}/256</c>
1349 <c>Unvoiced</c> <c>{2,   17, 45, 60, 62, 47, 19, 4}/256</c>
1350 <c>Voiced</c>   <c>{1,    3, 26, 71, 94, 50,  9, 2}/256</c>
1351 </texttable>
1352
1353 <t>
1354 The 3 least significant bits are decoded using a uniform PDF:
1355 </t>
1356 <texttable anchor="silk_independent_gain_lsb_pdf"
1357  title="PDF for Independent Quantization Gain LSb Coding">
1358 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
1359 <c>{32, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 32}/256</c>
1360 </texttable>
1361
1362 <t>
1363 For all other subframes (including the first subframe of frames not listed as
1364  using independent coding above), the quantization gain is coded relative to
1365  the gain from the previous subframe.
1366 The PDF in <xref target="silk_delta_gain_pdf"/> yields a delta gain index
1367  between 0 and 40, inclusive.
1368 </t>
1369 <texttable anchor="silk_delta_gain_pdf"
1370  title="PDF for Delta Quantization Gain Coding">
1371 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
1372 <c>{6,   5,  11,  31, 132,  21,   8,   4,
1373     3,   2,   2,   2,   1,   1,   1,   1,
1374     1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,
1375     1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,
1376     1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1}/256</c>
1377 </texttable>
1378 <t>
1379 The following formula translates this index into a quantization gain for the
1380  current subframe using the gain from the previous subframe:
1381 </t>
1382 <figure align="center">
1383 <artwork align="center"><![CDATA[
1384 log_gain = min(max(2*gain_index - 16,
1385                    previous_log_gain + gain_index - 4), 63)
1386 ]]></artwork>
1387 </figure>
1388 <t>
1389 silk_gains_dequant() (silk_gain_quant.c) dequantizes the gain for the
1390  <spanx style="emph">k</spanx>th subframe and converts it into a linear Q16
1391  scale factor via
1392 </t>
1393 <figure align="center">
1394 <artwork align="center"><![CDATA[
1395 gain_Q16[k] = silk_log2lin((0x1D1C71*log_gain>>16) + 2090)
1396 ]]></artwork>
1397 </figure>
1398 <t>
1399 The function silk_log2lin() (silk_log2lin.c) computes an approximation of
1400  of 2**(inLog_Q7/128.0), where inLog_Q7 is its Q7 input.
1401 Let i = inLog_Q7&gt;&gt;7 be the integer part of inLogQ7 and
1402  f = inLog_Q7&amp;127 be the fractional part.
1403 Then, if i &lt; 16, then
1404 <figure align="center">
1405 <artwork align="center"><![CDATA[
1406 (1<<i) + (((-174*f*(128-f)>>16)+f)>>7)*(1<<i)
1407 ]]></artwork>
1408 </figure>
1409  yields the approximate exponential.
1410 Otherwise, silk_log2lin uses
1411 <figure align="center">
1412 <artwork align="center"><![CDATA[
1413 (1<<i) + ((-174*f*(128-f)>>16)+f)*((1<<i)>>7) .
1414 ]]></artwork>
1415 </figure>
1416 </t>
1417 </section>
1418
1419 <section anchor="silk_nlsfs" title="Normalized Line Spectral Frequencies">
1420
1421 <t>
1422 Normalized Line Spectral Frequencies (LSFs) follow the quantization gains in
1423  the bitstream, and represent the Linear Prediction Coefficients (LPCs) for the
1424  current SILK frame.
1425 Once decoded, they form an increasing list of Q15 values between 0 and 1.
1426 These represent the interleaved zeros on the unit circle between 0 and pi
1427  (hence "normalized") in the standard decomposition of the LPC filter into a
1428  symmetric part and an anti-symmetric part (P and Q in
1429  <xref target="silk_nlsf2lpc"/>).
1430 Because of non-linear effects in the decoding process, an implementation SHOULD
1431  match the fixed-point arithmetic described in this section exactly.
1432 An encoder SHOULD also use the same process.
1433 </t>
1434 <t>
1435 The normalized LSFs are coded using a two-stage vector quantizer (VQ).
1436 NB and MB frames use an order-10 predictor, while WB frames use an order-16
1437  predictor, and thus have different sets of tables.
1438 The first VQ stage uses a 32-element codebook, coded with one of the PDFs in
1439  <xref target="silk_nlsf_stage1_pdfs"/>, depending on the audio bandwidth and
1440  the signal type of the current SILK frame.
1441 This yields a single index, <spanx style="emph">I1</spanx>, for the entire
1442  frame.
1443 This indexes an element in a coarse codebook, selects the PDFs for the
1444  second stage of the VQ, and selects the prediction weights used to remove
1445  intra-frame redundancy from the second stage.
1446 The actual codebook elements are listed in
1447  <xref target="silk_nlsf_nbmb_codebook"/> and
1448  <xref target="silk_nlsf_wb_codebook"/>, but they are not needed until the last
1449  stages of reconstructing the LSF coefficients.
1450 </t>
1451
1452 <texttable anchor="silk_nlsf_stage1_pdfs"
1453  title="PDFs for Normalized LSF Index Stage-1 Decoding">
1454 <ttcol align="left">Audio Bandwidth</ttcol>
1455 <ttcol align="left">Signal Type</ttcol>
1456 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
1457 <c>NB or MB</c> <c>Inactive or unvoiced</c>
1458 <c>
1459 {44, 34, 30, 19, 21, 12, 11,  3,
1460   3,  2, 16,  2,  2,  1,  5,  2,
1461   1,  3,  3,  1,  1,  2,  2,  2,
1462   3,  1,  9,  9,  2,  7,  2,  1}/256
1463 </c>
1464 <c>NB or MB</c> <c>Voiced</c>
1465 <c>
1466 {1, 10,  1,  8,  3,  8,  8, 14,
1467 13, 14,  1, 14, 12, 13, 11, 11,
1468 12, 11, 10, 10, 11,  8,  9,  8,
1469  7,  8,  1,  1,  6,  1,  6,  5}/256
1470 </c>
1471 <c>WB</c> <c>Inactive or unvoiced</c>
1472 <c>
1473 {31, 21,  3, 17,  1,  8, 17,  4,
1474   1, 18, 16,  4,  2,  3,  1, 10,
1475   1,  3, 16, 11, 16,  2,  2,  3,
1476   2, 11,  1,  4,  9,  8,  7,  3}/256
1477 </c>
1478 <c>WB</c> <c>Voiced</c>
1479 <c>
1480 {1,  4, 16,  5, 18, 11,  5, 14,
1481 15,  1,  3, 12, 13, 14, 14,  6,
1482 14, 12,  2,  6,  1, 12, 12, 11,
1483 10,  3, 10,  5,  1,  1,  1,  3}/256
1484 </c>
1485 </texttable>
1486
1487 <t>
1488 A total of 16 PDFs are available for the LSF residual in the second stage: the
1489  8 (a...h) for NB and MB frames given in
1490  <xref target="silk_nlsf_stage2_nbmb_pdfs"/>, and the 8 (i...p) for WB frames
1491  given in <xref target="silk_nlsf_stage2_wb_pdfs"/>.
1492 Which PDF is used for which coefficient is driven by the index, I1,
1493  decoded in the first stage.
1494 <xref target="silk_nlsf_nbmb_stage2_cb_sel"/> lists the letter of the
1495  corresponding PDF for each normalized LSF coefficient for NB and MB, and
1496  <xref target="silk_nlsf_wb_stage2_cb_sel"/> lists the same information for WB.
1497 </t>
1498
1499 <texttable anchor="silk_nlsf_stage2_nbmb_pdfs"
1500  title="PDFs for NB/MB Normalized LSF Index Stage-2 Decoding">
1501 <ttcol align="left">Codebook</ttcol>
1502 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
1503 <c>a</c> <c>{1,   1,   1,  15, 224,  11,   1,   1,   1}/256</c>
1504 <c>b</c> <c>{1,   1,   2,  34, 183,  32,   1,   1,   1}/256</c>
1505 <c>c</c> <c>{1,   1,   4,  42, 149,  55,   2,   1,   1}/256</c>
1506 <c>d</c> <c>{1,   1,   8,  52, 123,  61,   8,   1,   1}/256</c>
1507 <c>e</c> <c>{1,   3,  16,  53, 101,  74,   6,   1,   1}/256</c>
1508 <c>f</c> <c>{1,   3,  17,  55,  90,  73,  15,   1,   1}/256</c>
1509 <c>g</c> <c>{1,   7,  24,  53,  74,  67,  26,   3,   1}/256</c>
1510 <c>h</c> <c>{1,   1,  18,  63,  78,  58,  30,   6,   1}/256</c>
1511 </texttable>
1512
1513 <texttable anchor="silk_nlsf_stage2_wb_pdfs"
1514  title="PDFs for WB Normalized LSF Index Stage-2 Decoding">
1515 <ttcol align="left">Codebook</ttcol>
1516 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
1517 <c>i</c> <c>{1,   1,   1,   9, 232,   9,   1,   1,   1}/256</c>
1518 <c>j</c> <c>{1,   1,   2,  28, 186,  35,   1,   1,   1}/256</c>
1519 <c>k</c> <c>{1,   1,   3,  42, 152,  53,   2,   1,   1}/256</c>
1520 <c>l</c> <c>{1,   1,  10,  49, 126,  65,   2,   1,   1}/256</c>
1521 <c>m</c> <c>{1,   4,  19,  48, 100,  77,   5,   1,   1}/256</c>
1522 <c>n</c> <c>{1,   1,  14,  54, 100,  72,  12,   1,   1}/256</c>
1523 <c>o</c> <c>{1,   1,  15,  61,  87,  61,  25,   4,   1}/256</c>
1524 <c>p</c> <c>{1,   7,  21,  50,  77,  81,  17,   1,   1}/256</c>
1525 </texttable>
1526
1527 <texttable anchor="silk_nlsf_nbmb_stage2_cb_sel"
1528  title="Codebook Selection for NB/MB Normalized LSF Index Stage 2 Decoding">
1529 <ttcol>I1</ttcol>
1530 <ttcol>Coefficient</ttcol>
1531 <c/>
1532 <c><spanx style="vbare">0&nbsp;1&nbsp;2&nbsp;3&nbsp;4&nbsp;5&nbsp;6&nbsp;7&nbsp;8&nbsp;9</spanx></c>
1533 <c> 0</c>
1534 <c><spanx style="vbare">a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a&nbsp;a</spanx></c>
1535 <c> 1</c>
1536 <c><spanx style="vbare">b&nbsp;d&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b</spanx></c>
1537 <c> 2</c>
1538 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b</spanx></c>
1539 <c> 3</c>
1540 <c><spanx style="vbare">b&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;b&nbsp;b</spanx></c>
1541 <c> 4</c>
1542 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c</spanx></c>
1543 <c> 5</c>
1544 <c><spanx style="vbare">a&nbsp;f&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;b&nbsp;b</spanx></c>
1545 <c> g</c>
1546 <c><spanx style="vbare">a&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;b</spanx></c>
1547 <c> 7</c>
1548 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
1549 <c> 8</c>
1550 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;e</spanx></c>
1551 <c> 9</c>
1552 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1553 <c>10</c>
1554 <c><spanx style="vbare">e&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c</spanx></c>
1555 <c>11</c>
1556 <c><spanx style="vbare">b&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
1557 <c>12</c>
1558 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
1559 <c>13</c>
1560 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;h&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1561 <c>14</c>
1562 <c><spanx style="vbare">d&nbsp;d&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e</spanx></c>
1563 <c>15</c>
1564 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e</spanx></c>
1565 <c>16</c>
1566 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
1567 <c>17</c>
1568 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1569 <c>18</c>
1570 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
1571 <c>19</c>
1572 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;h&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1573 <c>20</c>
1574 <c><spanx style="vbare">d&nbsp;g&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f</spanx></c>
1575 <c>21</c>
1576 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;h&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f</spanx></c>
1577 <c>22</c>
1578 <c><spanx style="vbare">e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1579 <c>23</c>
1580 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;e</spanx></c>
1581 <c>24</c>
1582 <c><spanx style="vbare">e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;d&nbsp;h&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1583 <c>25</c>
1584 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1585 <c>26</c>
1586 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;e&nbsp;c&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;d</spanx></c>
1587 <c>27</c>
1588 <c><spanx style="vbare">b&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;c&nbsp;d&nbsp;c&nbsp;c</spanx></c>
1589 <c>28</c>
1590 <c><spanx style="vbare">e&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;g&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;e&nbsp;f</spanx></c>
1591 <c>29</c>
1592 <c><spanx style="vbare">d&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;d&nbsp;d&nbsp;c</spanx></c>
1593 <c>30</c>
1594 <c><spanx style="vbare">c&nbsp;f&nbsp;d&nbsp;h&nbsp;f&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1595 <c>31</c>
1596 <c><spanx style="vbare">e&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;e&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;g&nbsp;f&nbsp;e</spanx></c>
1597 </texttable>
1598
1599 <texttable anchor="silk_nlsf_wb_stage2_cb_sel"
1600  title="Codebook Selection for WB Normalized LSF Index Stage 2 Decoding">
1601 <ttcol>I1</ttcol>
1602 <ttcol>Coefficient</ttcol>
1603 <c/>
1604 <c><spanx style="vbare">0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;9&nbsp;10&nbsp;11&nbsp;12&nbsp;13&nbsp;14&nbsp;15</spanx></c>
1605 <c> 0</c>
1606 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
1607 <c> 1</c>
1608 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1609 <c> 2</c>
1610 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1611 <c> 3</c>
1612 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
1613 <c> 4</c>
1614 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1615 <c> 5</c>
1616 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
1617 <c> 6</c>
1618 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
1619 <c> 7</c>
1620 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1621 <c> 8</c>
1622 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1623 <c> 9</c>
1624 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
1625 <c>j0</c>
1626 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
1627 <c>11</c>
1628 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1629 <c>12</c>
1630 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1631 <c>13</c>
1632 <c><spanx style="vbare">l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
1633 <c>14</c>
1634 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1635 <c>15</c>
1636 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
1637 <c>16</c>
1638 <c><spanx style="vbare">j&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
1639 <c>17</c>
1640 <c><spanx style="vbare">j&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
1641 <c>18</c>
1642 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
1643 <c>19</c>
1644 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
1645 <c>20</c>
1646 <c><spanx style="vbare">l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
1647 <c>21</c>
1648 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1649 <c>22</c>
1650 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
1651 <c>23</c>
1652 <c><spanx style="vbare">j&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
1653 <c>24</c>
1654 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1655 <c>25</c>
1656 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
1657 <c>26</c>
1658 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;m</spanx></c>
1659 <c>27</c>
1660 <c><spanx style="vbare">l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l</spanx></c>
1661 <c>28</c>
1662 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
1663 <c>29</c>
1664 <c><spanx style="vbare">i&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j</spanx></c>
1665 <c>30</c>
1666 <c><spanx style="vbare">l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;p&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
1667 <c>31</c>
1668 <c><spanx style="vbare">k&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;l&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;j&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;o&nbsp;&nbsp;m&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;i</spanx></c>
1669 </texttable>
1670
1671 <t>
1672 Decoding the second stage residual proceeds as follows.
1673 For each coefficient, the decoder reads a symbol using the PDF corresponding to
1674  I1 from either <xref target="silk_nlsf_nbmb_stage2_cb_sel"/> or
1675  <xref target="silk_nlsf_wb_stage2_cb_sel"/>, and subtracts 4 from the result
1676  to given an index in the range -4 to 4, inclusive.
1677 If the index is either -4 or 4, it reads a second symbol using the PDF in
1678  <xref target="silk_nlsf_ext_pdf"/>, and adds the value of this second symbol
1679  to the index, using the same sign.
1680 This gives the index, I2[k], a total range of -10 to 10, inclusive.
1681 </t>
1682
1683 <texttable anchor="silk_nlsf_ext_pdf"
1684  title="PDF for Normalized LSF Index Extension Decoding">
1685 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
1686 <c>{156, 60, 24,  9,  4,  2,  1}/256</c>
1687 </texttable>
1688
1689 <t>
1690 The decoded indices from both stages are translated back into normalized LSF
1691  coefficients in silk_NLSF_decode() (silk_NLSF_decode.c).
1692 The stage-2 indices represent residuals after both the first stage of the VQ
1693  and a separate backwards-prediction step.
1694 The backwards prediction process in the encoder subtracts a prediction from
1695  each residual formed by a multiple of the coefficient that follows it.
1696 The decoder must undo this process.
1697 <xref target="silk_nlsf_pred_weights"/> contains lists of prediction weights
1698  for each coefficient.
1699 There are two lists for NB and MB, and another two lists for WB, giving two
1700  possible prediction weights for each coefficient.
1701 </t>
1702
1703 <texttable anchor="silk_nlsf_pred_weights"
1704  title="Prediction Weights for Normalized LSF Decoding">
1705 <ttcol align="left">Coefficient</ttcol>
1706 <ttcol align="right">A</ttcol>
1707 <ttcol align="right">B</ttcol>
1708 <ttcol align="right">C</ttcol>
1709 <ttcol align="right">D</ttcol>
1710  <c>0</c> <c>179</c> <c>116</c> <c>175</c>  <c>68</c>
1711  <c>1</c> <c>138</c>  <c>67</c> <c>148</c>  <c>62</c>
1712  <c>2</c> <c>140</c>  <c>82</c> <c>160</c>  <c>66</c>
1713  <c>3</c> <c>148</c>  <c>59</c> <c>176</c>  <c>60</c>
1714  <c>4</c> <c>151</c>  <c>92</c> <c>178</c>  <c>72</c>
1715  <c>5</c> <c>149</c>  <c>72</c> <c>173</c> <c>117</c>
1716  <c>6</c> <c>153</c> <c>100</c> <c>174</c>  <c>85</c>
1717  <c>7</c> <c>151</c>  <c>89</c> <c>164</c>  <c>90</c>
1718  <c>8</c> <c>163</c>  <c>92</c> <c>177</c> <c>118</c>
1719  <c>9</c> <c/>        <c/>      <c>174</c> <c>136</c>
1720 <c>10</c> <c/>        <c/>      <c>196</c> <c>151</c>
1721 <c>11</c> <c/>        <c/>      <c>182</c> <c>142</c>
1722 <c>12</c> <c/>        <c/>      <c>198</c> <c>160</c>
1723 <c>13</c> <c/>        <c/>      <c>192</c> <c>142</c>
1724 <c>14</c> <c/>        <c/>      <c>182</c> <c>155</c>
1725 </texttable>
1726
1727 <t>
1728 The prediction is undone using the procedure implemented in
1729  silk_NLSF_residual_dequant() (silk_NLSF_decode.c), which is as follows.
1730 Each coefficient selects its prediction weight from one of the two lists based
1731  on the stage-1 index, I1.
1732 <xref target="silk_nlsf_nbmb_weight_sel"/> gives the selections for each
1733  coefficient for NB and MB, and <xref target="silk_nlsf_wb_weight_sel"/> gives
1734  the selections for WB.
1735 Let d_LPC be the order of the codebook, i.e., 10 for NB and MB, and 16 for WB,
1736  and let pred_Q8[k] be the weight for the <spanx style="emph">k</spanx>th
1737  coefficient selected by this process for
1738  0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d_LPC-1.
1739 Then, the stage-2 residual for each coefficient is computed via
1740 <figure align="center">
1741 <artwork align="center"><![CDATA[
1742   res_Q10[k] = (k+1 < d_LPC ? (res_Q10[k+1]*pred_Q8[k])>>8 : 0)
1743                + ((((I2[k]<<10) + sign(I2[k])*102)*qstep)>>16) ,
1744 ]]></artwork>
1745 </figure>
1746  where qstep is the Q16 quantization step size, which is 11796 for NB and MB
1747  and 9830 for WB (representing step sizes of approximately 0.18 and 0.15,
1748  respectively).
1749 </t>
1750
1751 <texttable anchor="silk_nlsf_nbmb_weight_sel"
1752  title="Prediction Weight Selection for NB/MB Normalized LSF Decoding">
1753 <ttcol>I1</ttcol>
1754 <ttcol>Coefficient</ttcol>
1755 <c/>
1756 <c><spanx style="vbare">0&nbsp;1&nbsp;2&nbsp;3&nbsp;4&nbsp;5&nbsp;6&nbsp;7&nbsp;8</spanx></c>
1757 <c> 0</c>
1758 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1759 <c> 1</c>
1760 <c><spanx style="vbare">B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1761 <c> 2</c>
1762 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1763 <c> 3</c>
1764 <c><spanx style="vbare">B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1765 <c> 4</c>
1766 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1767 <c> 5</c>
1768 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1769 <c> 6</c>
1770 <c><spanx style="vbare">B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1771 <c> 7</c>
1772 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1773 <c> 8</c>
1774 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
1775 <c> 9</c>
1776 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
1777 <c>10</c>
1778 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1779 <c>11</c>
1780 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1781 <c>12</c>
1782 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1783 <c>13</c>
1784 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1785 <c>14</c>
1786 <c><spanx style="vbare">B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
1787 <c>15</c>
1788 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1789 <c>16</c>
1790 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1791 <c>17</c>
1792 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
1793 <c>18</c>
1794 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1795 <c>19</c>
1796 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1797 <c>20</c>
1798 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1799 <c>21</c>
1800 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1801 <c>22</c>
1802 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
1803 <c>23</c>
1804 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
1805 <c>24</c>
1806 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
1807 <c>25</c>
1808 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1809 <c>26</c>
1810 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1811 <c>27</c>
1812 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1813 <c>28</c>
1814 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A</spanx></c>
1815 <c>29</c>
1816 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;A</spanx></c>
1817 <c>30</c>
1818 <c><spanx style="vbare">A&nbsp;A&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B</spanx></c>
1819 <c>31</c>
1820 <c><spanx style="vbare">B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;A&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B&nbsp;B</spanx></c>
1821 </texttable>
1822
1823 <texttable anchor="silk_nlsf_wb_weight_sel"
1824  title="Prediction Weight Selection for WB Normalized LSF Decoding">
1825 <ttcol>I1</ttcol>
1826 <ttcol>Coefficient</ttcol>
1827 <c/>
1828 <c><spanx style="vbare">0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;9&nbsp;10&nbsp;11&nbsp;12&nbsp;13&nbsp;14</spanx></c>
1829 <c> 0</c>
1830 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1831 <c> 1</c>
1832 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1833 <c> 2</c>
1834 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1835 <c> 3</c>
1836 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1837 <c> 4</c>
1838 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1839 <c> 5</c>
1840 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1841 <c> 6</c>
1842 <c><spanx style="vbare">D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1843 <c> 7</c>
1844 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1845 <c> 8</c>
1846 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1847 <c> 9</c>
1848 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1849 <c>10</c>
1850 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1851 <c>11</c>
1852 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1853 <c>12</c>
1854 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1855 <c>13</c>
1856 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1857 <c>14</c>
1858 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1859 <c>15</c>
1860 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1861 <c>16</c>
1862 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1863 <c>17</c>
1864 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1865 <c>18</c>
1866 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1867 <c>19</c>
1868 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1869 <c>20</c>
1870 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1871 <c>21</c>
1872 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1873 <c>22</c>
1874 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1875 <c>23</c>
1876 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1877 <c>24</c>
1878 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1879 <c>25</c>
1880 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1881 <c>26</c>
1882 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1883 <c>27</c>
1884 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1885 <c>28</c>
1886 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1887 <c>29</c>
1888 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D</spanx></c>
1889 <c>30</c>
1890 <c><spanx style="vbare">D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1891 <c>31</c>
1892 <c><spanx style="vbare">C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;C&nbsp;&nbsp;D&nbsp;&nbsp;C</spanx></c>
1893 </texttable>
1894
1895 <t>
1896 The spectral distortion introduced by the quantization of each LSF coefficient
1897  varies, so the stage-2 residual is weighted accordingly, using the
1898  low-complexity weighting function proposed in <xref target="laroia-icassp"/>.
1899 The weights are derived directly from the stage-1 codebook vector.
1900 Let cb1_Q8[k] be the <spanx style="emph">k</spanx>th entry of the stage-1
1901  codebook vector from <xref target="silk_nlsf_nbmb_codebook"/> or
1902  <xref target="silk_nlsf_wb_codebook"/>.
1903 Then for 0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d_LPC the following expression
1904  computes the square of the weight as a Q18 value:
1905 <figure align="center">
1906 <artwork align="center">
1907 <![CDATA[
1908 w2_Q18[k] = (1024/(cb1_Q8[k] - cb1_Q8[k-1])
1909              + 1024/(cb1_Q8[k+1] - cb1_Q8[k])) << 16 ,
1910 ]]>
1911 </artwork>
1912 </figure>
1913  where cb1_Q8[-1]&nbsp;=&nbsp;0 and cb1_Q8[d_LPC]&nbsp;=&nbsp;256, and the
1914  division is exact integer division.
1915 This is reduced to an unsquared, Q9 value using the following square-root
1916  approximation:
1917 <figure align="center">
1918 <artwork align="center"><![CDATA[
1919 i = ilog(w2_Q18[k])
1920 f = (w2_Q18[k]>>(i-8)) & 127
1921 y = ((i&1) ? 32768 : 46214) >> ((32-i)>>1)
1922 w_Q9[k] = y + ((213*f*y)>>16)
1923 ]]></artwork>
1924 </figure>
1925 The cb1_Q8[] vector completely determines these weights, and they may be
1926  tabulated and stored as 13-bit unsigned values (with a range of 1819 to 5227)
1927  to avoid computing them when decoding.
1928 The reference implementation computes them on the fly in
1929  silk_NLSF_VQ_weights_laroia() (silk_NLSF_VQ_weights_laroia.c) and its
1930  caller, to reduce the amount of ROM required.
1931 </t>
1932
1933 <texttable anchor="silk_nlsf_nbmb_codebook"
1934            title="Codebook Vectors for NB/MB Normalized LSF Stage 1 Decoding">
1935 <ttcol>I1</ttcol>
1936 <ttcol>Codebook</ttcol>
1937 <c/>
1938 <c><spanx style="vbare">&nbsp;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;&nbsp;9</spanx></c>
1939 <c>0</c>
1940 <c><spanx style="vbare">12&nbsp;&nbsp;35&nbsp;&nbsp;60&nbsp;&nbsp;83&nbsp;108&nbsp;132&nbsp;157&nbsp;180&nbsp;206&nbsp;228</spanx></c>
1941 <c>1</c>
1942 <c><spanx style="vbare">15&nbsp;&nbsp;32&nbsp;&nbsp;55&nbsp;&nbsp;77&nbsp;101&nbsp;125&nbsp;151&nbsp;175&nbsp;201&nbsp;225</spanx></c>
1943 <c>2</c>
1944 <c><spanx style="vbare">19&nbsp;&nbsp;42&nbsp;&nbsp;66&nbsp;&nbsp;89&nbsp;114&nbsp;137&nbsp;162&nbsp;184&nbsp;209&nbsp;230</spanx></c>
1945 <c>3</c>
1946 <c><spanx style="vbare">12&nbsp;&nbsp;25&nbsp;&nbsp;50&nbsp;&nbsp;72&nbsp;&nbsp;97&nbsp;120&nbsp;147&nbsp;172&nbsp;200&nbsp;223</spanx></c>
1947 <c>4</c>
1948 <c><spanx style="vbare">26&nbsp;&nbsp;44&nbsp;&nbsp;69&nbsp;&nbsp;90&nbsp;114&nbsp;135&nbsp;159&nbsp;180&nbsp;205&nbsp;225</spanx></c>
1949 <c>5</c>
1950 <c><spanx style="vbare">13&nbsp;&nbsp;22&nbsp;&nbsp;53&nbsp;&nbsp;80&nbsp;106&nbsp;130&nbsp;156&nbsp;180&nbsp;205&nbsp;228</spanx></c>
1951 <c>6</c>
1952 <c><spanx style="vbare">15&nbsp;&nbsp;25&nbsp;&nbsp;44&nbsp;&nbsp;64&nbsp;&nbsp;90&nbsp;115&nbsp;142&nbsp;168&nbsp;196&nbsp;222</spanx></c>
1953 <c>7</c>
1954 <c><spanx style="vbare">19&nbsp;&nbsp;24&nbsp;&nbsp;62&nbsp;&nbsp;82&nbsp;100&nbsp;120&nbsp;145&nbsp;168&nbsp;190&nbsp;214</spanx></c>
1955 <c>8</c>
1956 <c><spanx style="vbare">22&nbsp;&nbsp;31&nbsp;&nbsp;50&nbsp;&nbsp;79&nbsp;103&nbsp;120&nbsp;151&nbsp;170&nbsp;203&nbsp;227</spanx></c>
1957 <c>9</c>
1958 <c><spanx style="vbare">21&nbsp;&nbsp;29&nbsp;&nbsp;45&nbsp;&nbsp;65&nbsp;106&nbsp;124&nbsp;150&nbsp;171&nbsp;196&nbsp;224</spanx></c>
1959 <c>10</c>
1960 <c><spanx style="vbare">30&nbsp;&nbsp;49&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;97&nbsp;121&nbsp;142&nbsp;165&nbsp;186&nbsp;209&nbsp;229</spanx></c>
1961 <c>11</c>
1962 <c><spanx style="vbare">19&nbsp;&nbsp;25&nbsp;&nbsp;52&nbsp;&nbsp;70&nbsp;&nbsp;93&nbsp;116&nbsp;143&nbsp;166&nbsp;192&nbsp;219</spanx></c>
1963 <c>12</c>
1964 <c><spanx style="vbare">26&nbsp;&nbsp;34&nbsp;&nbsp;62&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;97&nbsp;118&nbsp;145&nbsp;167&nbsp;194&nbsp;217</spanx></c>
1965 <c>13</c>
1966 <c><spanx style="vbare">25&nbsp;&nbsp;33&nbsp;&nbsp;56&nbsp;&nbsp;70&nbsp;&nbsp;91&nbsp;113&nbsp;143&nbsp;165&nbsp;196&nbsp;223</spanx></c>
1967 <c>14</c>
1968 <c><spanx style="vbare">21&nbsp;&nbsp;34&nbsp;&nbsp;51&nbsp;&nbsp;72&nbsp;&nbsp;97&nbsp;117&nbsp;145&nbsp;171&nbsp;196&nbsp;222</spanx></c>
1969 <c>15</c>
1970 <c><spanx style="vbare">20&nbsp;&nbsp;29&nbsp;&nbsp;50&nbsp;&nbsp;67&nbsp;&nbsp;90&nbsp;117&nbsp;144&nbsp;168&nbsp;197&nbsp;221</spanx></c>
1971 <c>16</c>
1972 <c><spanx style="vbare">22&nbsp;&nbsp;31&nbsp;&nbsp;48&nbsp;&nbsp;66&nbsp;&nbsp;95&nbsp;117&nbsp;146&nbsp;168&nbsp;196&nbsp;222</spanx></c>
1973 <c>17</c>
1974 <c><spanx style="vbare">24&nbsp;&nbsp;33&nbsp;&nbsp;51&nbsp;&nbsp;77&nbsp;116&nbsp;134&nbsp;158&nbsp;180&nbsp;200&nbsp;224</spanx></c>
1975 <c>18</c>
1976 <c><spanx style="vbare">21&nbsp;&nbsp;28&nbsp;&nbsp;70&nbsp;&nbsp;87&nbsp;106&nbsp;124&nbsp;149&nbsp;170&nbsp;194&nbsp;217</spanx></c>
1977 <c>19</c>
1978 <c><spanx style="vbare">26&nbsp;&nbsp;33&nbsp;&nbsp;53&nbsp;&nbsp;64&nbsp;&nbsp;83&nbsp;117&nbsp;152&nbsp;173&nbsp;204&nbsp;225</spanx></c>
1979 <c>20</c>
1980 <c><spanx style="vbare">27&nbsp;&nbsp;34&nbsp;&nbsp;65&nbsp;&nbsp;95&nbsp;108&nbsp;129&nbsp;155&nbsp;174&nbsp;210&nbsp;225</spanx></c>
1981 <c>21</c>
1982 <c><spanx style="vbare">20&nbsp;&nbsp;26&nbsp;&nbsp;72&nbsp;&nbsp;99&nbsp;113&nbsp;131&nbsp;154&nbsp;176&nbsp;200&nbsp;219</spanx></c>
1983 <c>22</c>
1984 <c><spanx style="vbare">34&nbsp;&nbsp;43&nbsp;&nbsp;61&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;93&nbsp;114&nbsp;155&nbsp;177&nbsp;205&nbsp;229</spanx></c>
1985 <c>23</c>
1986 <c><spanx style="vbare">23&nbsp;&nbsp;29&nbsp;&nbsp;54&nbsp;&nbsp;97&nbsp;124&nbsp;138&nbsp;163&nbsp;179&nbsp;209&nbsp;229</spanx></c>
1987 <c>24</c>
1988 <c><spanx style="vbare">30&nbsp;&nbsp;38&nbsp;&nbsp;56&nbsp;&nbsp;89&nbsp;118&nbsp;129&nbsp;158&nbsp;178&nbsp;200&nbsp;231</spanx></c>
1989 <c>25</c>
1990 <c><spanx style="vbare">21&nbsp;&nbsp;29&nbsp;&nbsp;49&nbsp;&nbsp;63&nbsp;&nbsp;85&nbsp;111&nbsp;142&nbsp;163&nbsp;193&nbsp;222</spanx></c>
1991 <c>26</c>
1992 <c><spanx style="vbare">27&nbsp;&nbsp;48&nbsp;&nbsp;77&nbsp;103&nbsp;133&nbsp;158&nbsp;179&nbsp;196&nbsp;215&nbsp;232</spanx></c>
1993 <c>27</c>
1994 <c><spanx style="vbare">29&nbsp;&nbsp;47&nbsp;&nbsp;74&nbsp;&nbsp;99&nbsp;124&nbsp;151&nbsp;176&nbsp;198&nbsp;220&nbsp;237</spanx></c>
1995 <c>28</c>
1996 <c><spanx style="vbare">33&nbsp;&nbsp;42&nbsp;&nbsp;61&nbsp;&nbsp;76&nbsp;&nbsp;93&nbsp;121&nbsp;155&nbsp;174&nbsp;207&nbsp;225</spanx></c>
1997 <c>29</c>
1998 <c><spanx style="vbare">29&nbsp;&nbsp;53&nbsp;&nbsp;87&nbsp;112&nbsp;136&nbsp;154&nbsp;170&nbsp;188&nbsp;208&nbsp;227</spanx></c>
1999 <c>30</c>
2000 <c><spanx style="vbare">24&nbsp;&nbsp;30&nbsp;&nbsp;52&nbsp;&nbsp;84&nbsp;131&nbsp;150&nbsp;166&nbsp;186&nbsp;203&nbsp;229</spanx></c>
2001 <c>31</c>
2002 <c><spanx style="vbare">37&nbsp;&nbsp;48&nbsp;&nbsp;64&nbsp;&nbsp;84&nbsp;104&nbsp;118&nbsp;156&nbsp;177&nbsp;201&nbsp;230</spanx></c>
2003 </texttable>
2004
2005 <texttable anchor="silk_nlsf_wb_codebook"
2006            title="Codebook Vectors for WB Normalized LSF Stage 1 Decoding">
2007 <ttcol>I1</ttcol>
2008 <ttcol>Codebook</ttcol>
2009 <c/>
2010 <c><spanx style="vbare">&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;&nbsp;9&nbsp;&nbsp;10&nbsp;&nbsp;11&nbsp;&nbsp;12&nbsp;&nbsp;13&nbsp;&nbsp;14&nbsp;&nbsp;15</spanx></c>
2011 <c>0</c>
2012 <c><spanx style="vbare">&nbsp;7&nbsp;23&nbsp;38&nbsp;54&nbsp;69&nbsp;&nbsp;85&nbsp;100&nbsp;116&nbsp;131&nbsp;147&nbsp;162&nbsp;178&nbsp;193&nbsp;208&nbsp;223&nbsp;239</spanx></c>
2013 <c>1</c>
2014 <c><spanx style="vbare">13&nbsp;25&nbsp;41&nbsp;55&nbsp;69&nbsp;&nbsp;83&nbsp;&nbsp;98&nbsp;112&nbsp;127&nbsp;142&nbsp;157&nbsp;171&nbsp;187&nbsp;203&nbsp;220&nbsp;236</spanx></c>
2015 <c>2</c>
2016 <c><spanx style="vbare">15&nbsp;21&nbsp;34&nbsp;51&nbsp;61&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;92&nbsp;106&nbsp;126&nbsp;136&nbsp;152&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;205&nbsp;225&nbsp;240</spanx></c>
2017 <c>3</c>
2018 <c><spanx style="vbare">10&nbsp;21&nbsp;36&nbsp;50&nbsp;63&nbsp;&nbsp;79&nbsp;&nbsp;95&nbsp;110&nbsp;126&nbsp;141&nbsp;157&nbsp;173&nbsp;189&nbsp;205&nbsp;221&nbsp;237</spanx></c>
2019 <c>4</c>
2020 <c><spanx style="vbare">17&nbsp;20&nbsp;37&nbsp;51&nbsp;59&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;89&nbsp;107&nbsp;123&nbsp;134&nbsp;150&nbsp;164&nbsp;184&nbsp;205&nbsp;224&nbsp;240</spanx></c>
2021 <c>5</c>
2022 <c><spanx style="vbare">10&nbsp;15&nbsp;32&nbsp;51&nbsp;67&nbsp;&nbsp;81&nbsp;&nbsp;96&nbsp;112&nbsp;129&nbsp;142&nbsp;158&nbsp;173&nbsp;189&nbsp;204&nbsp;220&nbsp;236</spanx></c>
2023 <c>6</c>
2024 <c><spanx style="vbare">&nbsp;8&nbsp;21&nbsp;37&nbsp;51&nbsp;65&nbsp;&nbsp;79&nbsp;&nbsp;98&nbsp;113&nbsp;126&nbsp;138&nbsp;155&nbsp;168&nbsp;179&nbsp;192&nbsp;209&nbsp;218</spanx></c>
2025 <c>7</c>
2026 <c><spanx style="vbare">12&nbsp;15&nbsp;34&nbsp;55&nbsp;63&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;87&nbsp;108&nbsp;118&nbsp;131&nbsp;148&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;203&nbsp;219&nbsp;236</spanx></c>
2027 <c>8</c>
2028 <c><spanx style="vbare">16&nbsp;19&nbsp;32&nbsp;36&nbsp;56&nbsp;&nbsp;79&nbsp;&nbsp;91&nbsp;108&nbsp;118&nbsp;136&nbsp;154&nbsp;171&nbsp;186&nbsp;204&nbsp;220&nbsp;237</spanx></c>
2029 <c>9</c>
2030 <c><spanx style="vbare">11&nbsp;28&nbsp;43&nbsp;58&nbsp;74&nbsp;&nbsp;89&nbsp;105&nbsp;120&nbsp;135&nbsp;150&nbsp;165&nbsp;180&nbsp;196&nbsp;211&nbsp;226&nbsp;241</spanx></c>
2031 <c>10</c>
2032 <c><spanx style="vbare">&nbsp;6&nbsp;16&nbsp;33&nbsp;46&nbsp;60&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;92&nbsp;107&nbsp;123&nbsp;137&nbsp;156&nbsp;169&nbsp;185&nbsp;199&nbsp;214&nbsp;225</spanx></c>
2033 <c>11</c>
2034 <c><spanx style="vbare">11&nbsp;19&nbsp;30&nbsp;44&nbsp;57&nbsp;&nbsp;74&nbsp;&nbsp;89&nbsp;105&nbsp;121&nbsp;135&nbsp;152&nbsp;169&nbsp;186&nbsp;202&nbsp;218&nbsp;234</spanx></c>
2035 <c>12</c>
2036 <c><spanx style="vbare">12&nbsp;19&nbsp;29&nbsp;46&nbsp;57&nbsp;&nbsp;71&nbsp;&nbsp;88&nbsp;100&nbsp;120&nbsp;132&nbsp;148&nbsp;165&nbsp;182&nbsp;199&nbsp;216&nbsp;233</spanx></c>
2037 <c>13</c>
2038 <c><spanx style="vbare">17&nbsp;23&nbsp;35&nbsp;46&nbsp;56&nbsp;&nbsp;77&nbsp;&nbsp;92&nbsp;106&nbsp;123&nbsp;134&nbsp;152&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;204&nbsp;222&nbsp;237</spanx></c>
2039 <c>14</c>
2040 <c><spanx style="vbare">14&nbsp;17&nbsp;45&nbsp;53&nbsp;63&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;89&nbsp;107&nbsp;115&nbsp;132&nbsp;151&nbsp;171&nbsp;188&nbsp;206&nbsp;221&nbsp;240</spanx></c>
2041 <c>15</c>
2042 <c><spanx style="vbare">&nbsp;9&nbsp;16&nbsp;29&nbsp;40&nbsp;56&nbsp;&nbsp;71&nbsp;&nbsp;88&nbsp;103&nbsp;119&nbsp;137&nbsp;154&nbsp;171&nbsp;189&nbsp;205&nbsp;222&nbsp;237</spanx></c>
2043 <c>16</c>
2044 <c><spanx style="vbare">16&nbsp;19&nbsp;36&nbsp;48&nbsp;57&nbsp;&nbsp;76&nbsp;&nbsp;87&nbsp;105&nbsp;118&nbsp;132&nbsp;150&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;202&nbsp;218&nbsp;236</spanx></c>
2045 <c>17</c>
2046 <c><spanx style="vbare">12&nbsp;17&nbsp;29&nbsp;54&nbsp;71&nbsp;&nbsp;81&nbsp;&nbsp;94&nbsp;104&nbsp;126&nbsp;136&nbsp;149&nbsp;164&nbsp;182&nbsp;201&nbsp;221&nbsp;237</spanx></c>
2047 <c>18</c>
2048 <c><spanx style="vbare">15&nbsp;28&nbsp;47&nbsp;62&nbsp;79&nbsp;&nbsp;97&nbsp;115&nbsp;129&nbsp;142&nbsp;155&nbsp;168&nbsp;180&nbsp;194&nbsp;208&nbsp;223&nbsp;238</spanx></c>
2049 <c>19</c>
2050 <c><spanx style="vbare">&nbsp;8&nbsp;14&nbsp;30&nbsp;45&nbsp;62&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;94&nbsp;111&nbsp;127&nbsp;143&nbsp;159&nbsp;175&nbsp;192&nbsp;207&nbsp;223&nbsp;239</spanx></c>
2051 <c>20</c>
2052 <c><spanx style="vbare">17&nbsp;30&nbsp;49&nbsp;62&nbsp;79&nbsp;&nbsp;92&nbsp;107&nbsp;119&nbsp;132&nbsp;145&nbsp;160&nbsp;174&nbsp;190&nbsp;204&nbsp;220&nbsp;235</spanx></c>
2053 <c>21</c>
2054 <c><spanx style="vbare">14&nbsp;19&nbsp;36&nbsp;45&nbsp;61&nbsp;&nbsp;76&nbsp;&nbsp;91&nbsp;108&nbsp;121&nbsp;138&nbsp;154&nbsp;172&nbsp;189&nbsp;205&nbsp;222&nbsp;238</spanx></c>
2055 <c>22</c>
2056 <c><spanx style="vbare">12&nbsp;18&nbsp;31&nbsp;45&nbsp;60&nbsp;&nbsp;76&nbsp;&nbsp;91&nbsp;107&nbsp;123&nbsp;138&nbsp;154&nbsp;171&nbsp;187&nbsp;204&nbsp;221&nbsp;236</spanx></c>
2057 <c>23</c>
2058 <c><spanx style="vbare">13&nbsp;17&nbsp;31&nbsp;43&nbsp;53&nbsp;&nbsp;70&nbsp;&nbsp;83&nbsp;103&nbsp;114&nbsp;131&nbsp;149&nbsp;167&nbsp;185&nbsp;203&nbsp;220&nbsp;237</spanx></c>
2059 <c>24</c>
2060 <c><spanx style="vbare">17&nbsp;22&nbsp;35&nbsp;42&nbsp;58&nbsp;&nbsp;78&nbsp;&nbsp;93&nbsp;110&nbsp;125&nbsp;139&nbsp;155&nbsp;170&nbsp;188&nbsp;206&nbsp;224&nbsp;240</spanx></c>
2061 <c>25</c>
2062 <c><spanx style="vbare">&nbsp;8&nbsp;15&nbsp;34&nbsp;50&nbsp;67&nbsp;&nbsp;83&nbsp;&nbsp;99&nbsp;115&nbsp;131&nbsp;146&nbsp;162&nbsp;178&nbsp;193&nbsp;209&nbsp;224&nbsp;239</spanx></c>
2063 <c>26</c>
2064 <c><spanx style="vbare">13&nbsp;16&nbsp;41&nbsp;66&nbsp;73&nbsp;&nbsp;86&nbsp;&nbsp;95&nbsp;111&nbsp;128&nbsp;137&nbsp;150&nbsp;163&nbsp;183&nbsp;206&nbsp;225&nbsp;241</spanx></c>
2065 <c>27</c>
2066 <c><spanx style="vbare">17&nbsp;25&nbsp;37&nbsp;52&nbsp;63&nbsp;&nbsp;75&nbsp;&nbsp;92&nbsp;102&nbsp;119&nbsp;132&nbsp;144&nbsp;160&nbsp;175&nbsp;191&nbsp;212&nbsp;231</spanx></c>
2067 <c>28</c>
2068 <c><spanx style="vbare">19&nbsp;31&nbsp;49&nbsp;65&nbsp;83&nbsp;100&nbsp;117&nbsp;133&nbsp;147&nbsp;161&nbsp;174&nbsp;187&nbsp;200&nbsp;213&nbsp;227&nbsp;242</spanx></c>
2069 <c>29</c>
2070 <c><spanx style="vbare">18&nbsp;31&nbsp;52&nbsp;68&nbsp;88&nbsp;103&nbsp;117&nbsp;126&nbsp;138&nbsp;149&nbsp;163&nbsp;177&nbsp;192&nbsp;207&nbsp;223&nbsp;239</spanx></c>
2071 <c>30</c>
2072 <c><spanx style="vbare">16&nbsp;29&nbsp;47&nbsp;61&nbsp;76&nbsp;&nbsp;90&nbsp;106&nbsp;119&nbsp;133&nbsp;147&nbsp;161&nbsp;176&nbsp;193&nbsp;209&nbsp;224&nbsp;240</spanx></c>
2073 <c>31</c>
2074 <c><spanx style="vbare">15&nbsp;21&nbsp;35&nbsp;50&nbsp;61&nbsp;&nbsp;73&nbsp;&nbsp;86&nbsp;&nbsp;97&nbsp;110&nbsp;119&nbsp;129&nbsp;141&nbsp;175&nbsp;198&nbsp;218&nbsp;237</spanx></c>
2075 </texttable>
2076
2077 <t>
2078 Given the stage-1 codebook entry cb1_Q8[], the stage-2 residual res_Q10[], and
2079  their corresponding weights, w_Q9[], the reconstructed normalized LSF
2080  coefficients are
2081 <figure align="center">
2082 <artwork align="center"><![CDATA[
2083 NLSF_Q15[k] = (cb1_Q8[k]<<7) + (res_Q10[k]<<14)/w_Q9[k] ,
2084 ]]></artwork>
2085 </figure>
2086  where the division is exact integer division.
2087 However, nothing thus far in the reconstruction process, nor in the
2088  quantization process in the encoder, guarantees that the coefficients are
2089  monotonically increasing and separated well enough to ensure a stable filter.
2090 When using the reference encoder, roughly 2% of frames violate this constraint.
2091 The next section describes a stabilization procedure used to make these
2092  guarantees.
2093 </t>
2094
2095 <section anchor="silk_nlsf_stabilization" title="Normalized LSF Stabilization">
2096 <t>
2097 The normalized LSF stabilization procedure is implemented in
2098  silk_NLSF_stabilize() (silk_NLSF_stabilize.c).
2099 This process ensures that consecutive values of the normalized LSF
2100  coefficients, NLSF_Q15[], are spaced some minimum distance apart
2101  (predetermined to be the 0.01 percentile of a large training set).
2102 <xref target="silk_nlsf_min_spacing"/> gives the minimum spacings for NB and MB
2103  and those for WB, where row k is the minimum allowed value of
2104  NLSF_Q[k]-NLSF_Q[k-1].
2105 For the purposes of computing this spacing for the first and last coefficient,
2106  NLSF_Q15[-1] is taken to be 0, and NLSF_Q15[d_LPC] is taken to be 32768.
2107 </t>
2108
2109 <texttable anchor="silk_nlsf_min_spacing"
2110            title="Minimum Spacing for Normalized LSF Coefficients">
2111 <ttcol>Coefficient</ttcol>
2112 <ttcol align="right">NB and MB</ttcol>
2113 <ttcol align="right">WB</ttcol>
2114  <c>0</c> <c>250</c> <c>100</c>
2115  <c>1</c>   <c>3</c>   <c>3</c>
2116  <c>2</c>   <c>6</c>  <c>40</c>
2117  <c>3</c>   <c>3</c>   <c>3</c>
2118  <c>4</c>   <c>3</c>   <c>3</c>
2119  <c>5</c>   <c>3</c>   <c>3</c>
2120  <c>6</c>   <c>4</c>   <c>5</c>
2121  <c>7</c>   <c>3</c>  <c>14</c>
2122  <c>8</c>   <c>3</c>  <c>14</c>
2123  <c>9</c>   <c>3</c>  <c>10</c>
2124 <c>10</c> <c>461</c>  <c>11</c>
2125 <c>11</c>       <c/>   <c>3</c>
2126 <c>12</c>       <c/>   <c>8</c>
2127 <c>13</c>       <c/>   <c>9</c>
2128 <c>14</c>       <c/>   <c>7</c>
2129 <c>15</c>       <c/>   <c>3</c>
2130 <c>16</c>       <c/> <c>347</c>
2131 </texttable>
2132
2133 <t>
2134 The procedure starts off by trying to make small adjustments which attempt to
2135  minimize the amount of distortion introduced.
2136 After 20 such adjustments, it falls back to a more direct method which
2137  guarantees the constraints are enforced but may require large adjustments.
2138 </t>
2139 <t>
2140 Let NDeltaMin_Q15[k] be the minimum required spacing for the current audio
2141  bandwidth from <xref target="silk_nlsf_min_spacing"/>.
2142 First, the procedure finds the index i where
2143  NLSF_Q15[i]&nbsp;-&nbsp;NLSF_Q15[i-1]&nbsp;-&nbsp;NDeltaMin_Q15[i] is the
2144  smallest, breaking ties by using the lower value of i.
2145 If this value is non-negative, then the stabilization stops; the coefficients
2146  satisfy all the constraints.
2147 Otherwise, if i&nbsp;==&nbsp;0, it sets NLSF_Q15[0] to NDeltaMin_Q15[0], and if
2148  i&nbsp;==&nbsp;d_LPC, it sets NLSF_Q15[d_LPC-1] to
2149  (32768&nbsp;-&nbsp;NDeltaMin_Q15[d_LPC]).
2150 For all other values of i, both NLSF_Q15[i-1] and NLSF_Q15[i] are updated as
2151  follows:
2152 <figure align="center">
2153 <artwork align="center"><![CDATA[
2154                                       i-1
2155                                       __
2156  min_center_Q15 = (NDeltaMin[i]>>1) + \  NDeltaMin[k]
2157                                       /_
2158                                       k=0
2159                                              d_LPC
2160                                               __
2161  max_center_Q15 = 32768 - (NDeltaMin[i]>>1) - \  NDeltaMin[k]
2162                                               /_
2163                                              k=i+1
2164 center_freq_Q15 = clamp(min_center_Q15[i],
2165                         (NLSF_Q15[i-1] + NLSF_Q15[i] + 1)>>1,
2166                         max_center_Q15[i])
2167
2168  NLSF_Q15[i-1] = center_freq_Q15 - (NDeltaMin_Q15[i]>>1)
2169
2170    NLSF_Q15[i] = NLSF_Q15[i-1] + NDeltaMin_Q15[i] .
2171 ]]></artwork>
2172 </figure>
2173 Then the procedure repeats again, until it has executed 20 times, or until
2174  it stops because the coefficients satisfy all the constraints.
2175 </t>
2176 <t>
2177 After the 20th repetition of the above, the following fallback procedure
2178  executes once.
2179 First, the values of NLSF_Q15[k] for 0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d_LPC
2180  are sorted in ascending order.
2181 Then for each value of k from 0 to d_LPC-1, NLSF_Q15[k] is set to
2182 <figure align="center">
2183 <artwork align="center"><![CDATA[
2184 max(NLSF_Q15[k], NLSF_Q15[k-1] + NDeltaMin_Q15[k]) .
2185 ]]></artwork>
2186 </figure>
2187 Next, for each value of k from d_LPC-1 down to 0, NLSF_Q15[k] is set to
2188 <figure align="center">
2189 <artwork align="center"><![CDATA[
2190 min(NLSF_Q15[k], NLSF_Q15[k+1] - NDeltaMin_Q15[k+1]) .
2191 ]]></artwork>
2192 </figure>
2193 </t>
2194
2195 </section>
2196
2197 <section anchor="silk_nlsf_interpolation" title="Normalized LSF Interpolation">
2198 <t>
2199 For 20&nbsp;ms SILK frames, the first half of the frame (i.e., the first two
2200  sub-frames) may use normalized LSF coefficients that are interpolated between
2201  the decoded LSFs for the previous frame and the current frame.
2202 A Q2 interpolation factor follows the LSF coefficient indices in the bitstream,
2203  which is decoded using the PDF in <xref target="silk_nlsf_interp_pdf"/>.
2204 This happens in silk_decode_indices() (silk_decode_indices.c).
2205 For the first frame after a decoder reset, when no prior LSF coefficients are
2206  available, the decoder still decodes this factor, but ignores its value and
2207  always uses 4 instead.
2208 For 10&nbsp;ms SILK frames, this factor is not stored at all.
2209 </t>
2210
2211 <texttable anchor="silk_nlsf_interp_pdf"
2212            title="PDF for Normalized LSF Interpolation Index">
2213 <ttcol>PDF</ttcol>
2214 <c>{13, 22, 29, 11, 181}/256</c>
2215 </texttable>
2216
2217 <t>
2218 Let n2_Q15[k] be the normalized LSF coefficients decoded by the procedure in
2219  <xref target="silk_nlsfs"/>, n0_Q15[k] be the LSF coefficients
2220  decoded for the prior frame, and w_Q2 be the interpolation factor.
2221 Then the normalized LSF coefficients used for the first half of a 20&nbsp;ms
2222  frame, n1_Q15[k], are
2223 <figure align="center">
2224 <artwork align="center"><![CDATA[
2225 n1_Q15[k] = n0_Q15[k] + (w_Q2*(n2_Q15[k] - n0_Q15[k]) >> 2) .
2226 ]]></artwork>
2227 </figure>
2228 This interpolation is performed in silk_decode_parameters()
2229  (silk_decode_parameters.c).
2230 </t>
2231 </section>
2232
2233 <section anchor="silk_nlsf2lpc"
2234          title="Converting Normalized LSF Coefficients to LPCs">
2235 <t>
2236 Any LPC filter A(z) can be split into a symmetric part P(z) and an
2237  anti-symmetric part Q(z) such that
2238 <figure align="center">
2239 <artwork align="center"><![CDATA[
2240           d_LPC
2241            __         -k   1
2242 A(z) = 1 - \  a[k] * z   = - * (P(z) + Q(z))
2243            /_              2
2244            k=1
2245 ]]></artwork>
2246 </figure>
2247 with
2248 <figure align="center">
2249 <artwork align="center"><![CDATA[
2250                -d_LPC-1      -1
2251 P(z) = A(z) + z         * A(z  )
2252
2253                -d_LPC-1      -1
2254 Q(z) = A(z) - z         * A(z  ) .
2255 ]]></artwork>
2256 </figure>
2257 The even normalized LSF coefficients correspond to a pair of conjugate roots of
2258  P(z), while the odd coefficients correspond to a pair of conjugate roots of
2259  Q(z), all of which lie on the unit circle.
2260 In addition, P(z) has a root at pi and Q(z) has a root at 0.
2261 Thus, they may be reconstructed mathematically from a set of normalized LSF
2262  coefficients, n[k], as
2263 <figure align="center">
2264 <artwork align="center"><![CDATA[
2265                  d_LPC/2-1
2266              -1     ___                        -1    -2
2267 P(z) = (1 + z  ) *  | |  (1 - 2*cos(pi*n[2*k])*z  + z  )
2268                     k=0
2269
2270                  d_LPC/2-1
2271              -1     ___                          -1    -2
2272 Q(z) = (1 - z  ) *  | |  (1 - 2*cos(pi*n[2*k+1])*z  + z  )
2273                     k=0
2274 ]]></artwork>
2275 </figure>
2276 </t>
2277 <t>
2278 However, SILK performs this reconstruction using a fixed-point approximation so
2279  that all decoders can reproduce it in a bit-exact manner to avoid prediction
2280  drift.
2281 The function silk_NLSF2A() (silk_NLSF2A.c) implements this procedure.
2282 </t>
2283 <t>
2284 To start, it approximates cos(pi*n[k]) using a table lookup with linear
2285  interpolation.
2286 The encoder SHOULD use the inverse of this piecewise linear approximation,
2287  rather than true the inverse of the cosine function, when deriving the
2288  normalized LSF coefficients.
2289 </t>
2290 <t>
2291 The top 7 bits of each normalized LSF coefficient index a value in the table,
2292  and the next 8 bits interpolate between it and the next value.
2293 Let i&nbsp;=&nbsp;n[k]&gt;&gt;8 be the integer index and
2294  f&nbsp;=&nbsp;n[k]&amp;255 be the fractional part of a given coefficient.
2295 Then the approximated cosine, c_Q17[k], is
2296 <figure align="center">
2297 <artwork align="center"><![CDATA[
2298 c_Q17[k] = (cos_Q13[i]*256 + (cos_Q13[i+1]-cos_Q13[i])*f + 8) >> 4 ,
2299 ]]></artwork>
2300 </figure>
2301  where cos_Q13[i] is the corresponding entry of
2302  <xref target="silk_cos_table"/>.
2303 </t>
2304
2305 <texttable anchor="silk_cos_table"
2306            title="Q13 Cosine Table for LSF Conversion">
2307 <ttcol align="right"></ttcol>
2308 <ttcol align="right">0</ttcol>
2309 <ttcol align="right">1</ttcol>
2310 <ttcol align="right">2</ttcol>
2311 <ttcol align="right">3</ttcol>
2312 <c>0</c>
2313  <c>8192</c> <c>8190</c> <c>8182</c> <c>8170</c>
2314 <c>4</c>
2315  <c>8152</c> <c>8130</c> <c>8104</c> <c>8072</c>
2316 <c>8</c>
2317  <c>8034</c> <c>7994</c> <c>7946</c> <c>7896</c>
2318 <c>12</c>
2319  <c>7840</c> <c>7778</c> <c>7714</c> <c>7644</c>
2320 <c>16</c>
2321  <c>7568</c> <c>7490</c> <c>7406</c> <c>7318</c>
2322 <c>20</c>
2323  <c>7226</c> <c>7128</c> <c>7026</c> <c>6922</c>
2324 <c>24</c>
2325  <c>6812</c> <c>6698</c> <c>6580</c> <c>6458</c>
2326 <c>28</c>
2327  <c>6332</c> <c>6204</c> <c>6070</c> <c>5934</c>
2328 <c>32</c>
2329  <c>5792</c> <c>5648</c> <c>5502</c> <c>5352</c>
2330 <c>36</c>
2331  <c>5198</c> <c>5040</c> <c>4880</c> <c>4718</c>
2332 <c>40</c>
2333  <c>4552</c> <c>4382</c> <c>4212</c> <c>4038</c>
2334 <c>44</c>
2335  <c>3862</c> <c>3684</c> <c>3502</c> <c>3320</c>
2336 <c>48</c>
2337  <c>3136</c> <c>2948</c> <c>2760</c> <c>2570</c>
2338 <c>52</c>
2339  <c>2378</c> <c>2186</c> <c>1990</c> <c>1794</c>
2340 <c>56</c>
2341  <c>1598</c> <c>1400</c> <c>1202</c> <c>1002</c>
2342 <c>60</c>
2343   <c>802</c>  <c>602</c>  <c>402</c>  <c>202</c>
2344 <c>64</c>
2345     <c>0</c> <c>-202</c> <c>-402</c> <c>-602</c>
2346 <c>68</c>
2347  <c>-802</c><c>-1002</c><c>-1202</c><c>-1400</c>
2348 <c>72</c>
2349 <c>-1598</c><c>-1794</c><c>-1990</c><c>-2186</c>
2350 <c>76</c>
2351 <c>-2378</c><c>-2570</c><c>-2760</c><c>-2948</c>
2352 <c>80</c>
2353 <c>-3136</c><c>-3320</c><c>-3502</c><c>-3684</c>
2354 <c>84</c>
2355 <c>-3862</c><c>-4038</c><c>-4212</c><c>-4382</c>
2356 <c>88</c>
2357 <c>-4552</c><c>-4718</c><c>-4880</c><c>-5040</c>
2358 <c>92</c>
2359 <c>-5198</c><c>-5352</c><c>-5502</c><c>-5648</c>
2360 <c>96</c>
2361 <c>-5792</c><c>-5934</c><c>-6070</c><c>-6204</c>
2362 <c>100</c>
2363 <c>-6332</c><c>-6458</c><c>-6580</c><c>-6698</c>
2364 <c>104</c>
2365 <c>-6812</c><c>-6922</c><c>-7026</c><c>-7128</c>
2366 <c>108</c>
2367 <c>-7226</c><c>-7318</c><c>-7406</c><c>-7490</c>
2368 <c>112</c>
2369 <c>-7568</c><c>-7644</c><c>-7714</c><c>-7778</c>
2370 <c>116</c>
2371 <c>-7840</c><c>-7896</c><c>-7946</c><c>-7994</c>
2372 <c>120</c>
2373 <c>-8034</c><c>-8072</c><c>-8104</c><c>-8130</c>
2374 <c>124</c>
2375 <c>-8152</c><c>-8170</c><c>-8182</c><c>-8190</c>
2376 <c>128</c>
2377 <c>-8192</c>        <c/>        <c/>        <c/>
2378 </texttable>
2379
2380 <t>
2381 Given the list of cosine values, silk_NLSF2A_find_poly() (silk_NLSF2A.c)
2382  computes the coefficients of P and Q, described here via a simple recurrence.
2383 Let p_Q16[k][j] and q_Q16[k][j] be the coefficients of the products of the
2384  first (k+1) root pairs for P and Q, with j indexing the coefficient number.
2385 Only the first (k+2) coefficients are needed, as the products are symmetric.
2386 Let p_Q16[0][0]&nbsp;=&nbsp;q_Q16[0][0]&nbsp;=&nbsp;1&lt;&lt;16,
2387  p_Q16[0][1]&nbsp;=&nbsp;-c_Q17[0], q_Q16[0][1]&nbsp;=&nbsp;-c_Q17[1], and
2388  d2&nbsp;=&nbsp;d_LPC/2.
2389 As boundary conditions, assume
2390  p_Q16[k][j]&nbsp;=&nbsp;q_Q16[k][j]&nbsp;=&nbsp;0 for all
2391  j&nbsp;&lt;&nbsp;0.
2392 Also, assume p_Q16[k][k+2]&nbsp;=&nbsp;p_Q16[k][k] and
2393  q_Q16[k][k+2]&nbsp;=&nbsp;q_Q16[k][k] (because of the symmetry).
2394 Then, for 0&nbsp;&lt;k&nbsp;&lt;&nbsp;d2 and 0&nbsp;&lt;=&nbsp;j&nbsp;&lt;=&nbsp;k+1,
2395 <figure align="center">
2396 <artwork align="center"><![CDATA[
2397 p_Q16[k][j] = p_Q16[k-1][j] + p_Q16[k-1][j-2]
2398               - ((c_Q17[2*k]*p_Q16[k-1][j-1] + 32768)>>16) ,
2399
2400 q_Q16[k][j] = q_Q16[k-1][j] + q_Q16[k-1][j-2]
2401               - ((c_Q17[2*k+1]*q_Q16[k-1][j-1] + 32768)>>16) .
2402 ]]></artwork>
2403 </figure>
2404 The use of Q17 values for the cosine terms in an otherwise Q16 expression
2405  implicitly scales them by a factor of 2.
2406 The multiplications in this recurrence may require up to 48 bits of precision
2407  in the result to avoid overflow.
2408 In practice, each row of the recurrence only depends on the previous row, so an
2409  implementation does not need to store all of them.
2410 </t>
2411 <t>
2412 silk_NLSF2A() uses the values from the last row of this recurrence to
2413  reconstruct a 32-bit version of the LPC filter (without the leading 1.0
2414  coefficient), a32_Q17[k], 0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d2:
2415 <figure align="center">
2416 <artwork align="center"><![CDATA[
2417 a32_Q17[k]         = -(q_Q16[d2-1][k+1] - q_Q16[d2-1][k])
2418                      - (p_Q16[d2-1][k+1] + p_Q16[d2-1][k])) ,
2419
2420 a32_Q17[d_LPC-k-1] =  (q_Q16[d2-1][k+1] - q_Q16[d2-1][k])
2421                      - (p_Q16[d2-1][k+1] + p_Q16[d2-1][k])) .
2422 ]]></artwork>
2423 </figure>
2424 The sum and difference of two terms from each of the p_Q16 and q_Q16
2425  coefficient lists reflect the (1&nbsp;+&nbsp;z**-1) and
2426  (1&nbsp;-&nbsp;z**-1) factors of P and Q, respectively.
2427 The promotion of the expression from Q16 to Q17 implicitly scales the result
2428  by 1/2.
2429 </t>
2430 </section>
2431
2432 <section anchor="silk_lpc_range"
2433  title="Limiting the Range of the LPC Coefficients">
2434 <t>
2435 The a32_Q17[] coefficients are too large to fit in a 16-bit value, which
2436  significantly increases the cost of applying this filter in fixed-point
2437  decoders.
2438 Reducing them to Q12 precision doesn't incur any significant quality loss,
2439  but still does not guarantee they will fit.
2440 silk_NLSF2A() applies up to 10 rounds of bandwidth expansion to limit
2441  the dynamic range of these coefficients.
2442 Even floating-point decoders SHOULD perform these steps, to avoid mismatch.
2443 </t>
2444 <t>
2445 For each round, the process first finds the index k such that abs(a32_Q17[k])
2446  is the largest, breaking ties by using the lower value of k.
2447 Then, it computes the corresponding Q12 precision value, maxabs_Q12, subject to
2448  an upper bound to avoid overflow in subsequent computations:
2449 <figure align="center">
2450 <artwork align="center"><![CDATA[
2451 maxabs_Q12 = min((maxabs_Q17 + 16) >> 5, 163838) .
2452 ]]></artwork>
2453 </figure>
2454 If this is larger than 32767, the procedure derives the chirp factor,
2455  sc_Q16[0], to use in the bandwidth expansion as
2456 <figure align="center">
2457 <artwork align="center"><![CDATA[
2458                     (maxabs_Q12 - 32767) << 14
2459 sc_Q16[0] = 65470 - -------------------------- ,
2460                     (maxabs_Q12 * (k+1)) >> 2
2461 ]]></artwork>
2462 </figure>
2463  where the division here is exact integer division.
2464 This is an approximation of the chirp factor needed to reduce the target
2465  coefficient to 32767, though it is both less than 0.999 and, for
2466  k&nbsp;&gt;&nbsp;0 when maxabs_Q12 is much greater than 32767, still slightly
2467  too large.
2468 </t>
2469 <t>
2470 silk_bwexpander_32() (silk_bwexpander_32.c) peforms the bandwidth expansion
2471  (again, only when maxabs_Q12 is greater than 32767) using the following
2472  recurrence:
2473 <figure align="center">
2474 <artwork align="center"><![CDATA[
2475  a32_Q17[k] = (a32_Q17[k]*sc_Q16[k]) >> 16
2476
2477 sc_Q16[k+1] = (sc_Q16[0]*sc_Q16[k] + 32768) >> 16
2478 ]]></artwork>
2479 </figure>
2480 The first multiply may require up to 48 bits of precision in the result to
2481  avoid overflow.
2482 The second multiply must be unsigned to avoid overflow with only 32 bits of
2483  precision.
2484 The reference implementation uses a slightly more complex formulation that
2485  avoids the 32-bit overflow using signed multiplication, but is otherwise
2486  equivalent.
2487 </t>
2488 <t>
2489 After 10 rounds of bandwidth expansion are performed, they are simply saturated
2490  to 16 bits:
2491 <figure align="center">
2492 <artwork align="center"><![CDATA[
2493 a32_Q17[k] = clamp(-32768, (a32_Q17[k]+16) >> 5, 32767) << 5 .
2494 ]]></artwork>
2495 </figure>
2496 Because this performs the actual saturation in the Q12 domain, but converts the
2497  coefficients back to the Q17 domain for the purposes of prediction gain
2498  limiting, this step must be performed after the 10th round of bandwidth
2499  expansion, regardless of whether or not the Q12 version of any of the
2500  coefficients still overflow a 16-bit integer.
2501 This saturation is not performed if maxabs_Q12 drops to 32767 or less prior to
2502  the 10th round.
2503 </t>
2504 </section>
2505
2506 <section title="Limiting the Prediction Gain of the LPC Filter">
2507 <t>
2508 Even if the Q12 coefficients would fit, the resulting filter may still have a
2509  significant gain (especially for voiced sounds), making the filter unstable.
2510 silk_NLSF2A() applies up to 18 additional rounds of bandwidth expansion to
2511  limit the prediction gain.
2512 Instead of controlling the amount of bandwidth expansion using the prediction
2513  gain itself (which may diverge to infinity for an unstable filter),
2514  silk_NLSF2A() uses LPC_inverse_pred_gain_QA() (silk_LPC_inv_pred_gain.c)
2515  to compute the reflection coefficients associated with the filter.
2516 The filter is stable if and only if the magnitude of these coefficients is
2517  sufficiently less than one.
2518 The reflection coefficients, rc[k], can be computed using a simple Levinson
2519  recurrence, initialized with the LPC coefficients
2520  a[d_LPC-1][n]&nbsp;=&nbsp;a[n], and then updated via
2521 <figure align="center">
2522 <artwork align="center"><![CDATA[
2523     rc[k] = -a[k][k] ,
2524
2525             a[k][n] - a[k][k-n-1]*rc[k]
2526 a[k-1][n] = --------------------------- .
2527                              2
2528                     1 - rc[k]
2529 ]]></artwork>
2530 </figure>
2531 </t>
2532 <t>
2533 However, LPC_inverse_pred_gain_QA() approximates this using fixed-point
2534  arithmetic to guarantee reproducible results across platforms and
2535  implementations.
2536 It is important to run on the real Q12 coefficients that will be used during
2537  reconstruction, because small changes in the coefficients can make a stable
2538  filter unstable, but increasing the precision back to Q16 allows more accurate
2539  computation of the reflection coefficients.
2540 Thus, let
2541 <figure align="center">
2542 <artwork align="center"><![CDATA[
2543 a32_Q16[d_LPC-1][n] = ((a32_Q17[n] + 16) >> 5) << 4
2544 ]]></artwork>
2545 </figure>
2546  be the Q16 representation of the Q12 version of the LPC coefficients that will
2547  eventually be used.
2548 Then for each k from d_LPC-1 down to 0, if
2549  abs(a32_Q16[k][k])&nbsp;&gt;&nbsp;65520, the filter is unstable and the
2550  recurrence stops.
2551 Otherwise, the row k-1 of a32_Q16 is computed from row k as
2552 <figure align="center">
2553 <artwork align="center"><![CDATA[
2554       rc_Q31[k] = -a32_Q16[k][k] << 15 ,
2555
2556      div_Q30[k] = (1<<30) - 1 - (rc_Q31[k]*rc_Q31[k] >> 32) ,
2557
2558           b1[k] = ilog(div_Q30[k]) - 16 ,
2559
2560                         (1<<29) - 1
2561      inv_Qb1[k] = ----------------------- ,
2562                   div_Q30[k] >> (b1[k]+1)
2563
2564      err_Q29[k] = (1<<29)
2565                   - ((div_Q30[k]<<(15-b1[k]))*inv_Qb1[k] >> 16) ,
2566
2567      mul_Q16[k] = ((inv_Qb1[k] << 16)
2568                    + (err_Q29[k]*inv_Qb1[k] >> 13)) >> b1[k] ,
2569
2570           b2[k] = ilog(mul_Q16[k]) - 15 ,
2571
2572   t_Q16[k-1][n] = a32_Q16[k][n]
2573                   - ((a32_Q16[k][k-n-1]*rc_Q31[k] >> 32) << 1) ,
2574
2575 a32_Q16[k-1][n] = ((t_Q16[k-1][n] *
2576                     (mul_Q16[k] << (16-b2[k]))) >> 32) << b2[k] .
2577 ]]></artwork>
2578 </figure>
2579 Here, rc_Q30[k] are the reflection coefficients.
2580 div_Q30[k] is the denominator for each iteration, and mul_Q16[k] is its
2581  multiplicative inverse.
2582 inv_Qb1[k], which ranges from 16384 to 32767, is a low-precision version of
2583  that inverse (with b1[k] fractional bits, where b1[k] ranges from 3 to 14).
2584 err_Q29[k] is the residual error, ranging from -32392 to 32763, which is used
2585  to improve the accuracy.
2586 t_Q16[k-1][n], 0&nbsp;&lt;=&nbsp;n&nbsp;&lt;&nbsp;k, are the numerators for the
2587  next row of coefficients in the recursion, and a32_Q16[k-1][n] is the final
2588  version of that row.
2589 Every multiply in this procedure except the one used to compute mul_Q16[k]
2590  requires more than 32 bits of precision, but otherwise all intermediate
2591  results fit in 32 bits or less.
2592 In practice, because each row only depends on the next one, an implementation
2593  does not need to store them all.
2594 If abs(a32_Q16[k][k])&nbsp;&lt;=&nbsp;65520 for
2595  0&nbsp;&lt;=&nbsp;k&nbsp;&lt;&nbsp;d_LPC, then the filter is considerd stable.
2596 </t>
2597 <t>
2598 On round i, 1&nbsp;&lt;=&nbsp;i&nbsp;&lt;=&nbsp;18, if the filter passes this
2599  stability check, then this procedure stops, and the final LPC coefficients to
2600  use for reconstruction<!--TODO: In section...--> are
2601 <figure align="center">
2602 <artwork align="center"><![CDATA[
2603 a_Q12[k] = (a32_Q17[k] + 16) >> 5 .
2604 ]]></artwork>
2605 </figure>
2606 Otherwise, a round of bandwidth expansion is applied using the same procedure
2607  as in <xref target="silk_lpc_range"/>, with
2608 <figure align="center">
2609 <artwork align="center"><![CDATA[
2610 sc_Q16[0] = 65536 - i*(i+9) .
2611 ]]></artwork>
2612 </figure>
2613 If, after the 18th round, the filter still fails the stability check, then
2614  a_Q12[k] is set to 0 for all k.
2615 </t>
2616 </section>
2617
2618 </section>
2619
2620 <section title="Long-Term Prediction (LTP) Parameters">
2621 <t>
2622 After the normalized LSF indices and, for 20&nbsp;ms frames, the LSF
2623  interpolation index, voiced frames (see <xref target="silk_frame_type"/>)
2624  include additional Long-Term Prediction (LTP) parameters.
2625 There is one primary lag index for each SILK frame, but this is refined to
2626  produce a separate lag index per subframe using a vector quantizer.
2627 Each subframe also gets its own prediction gain coefficient.
2628 </t>
2629
2630 <section title="Pitch Lags">
2631 <t>
2632 The primary lag index is coded either relative to the primary lag of the prior
2633  frame or as an absolute index.
2634 Like the quantization gains, the first LBRR frame, an LBRR frame where the
2635  previous LBRR frame was not coded, or the first regular SILK frame in an Opus
2636  frame all code the pitch lag as an absolute index.
2637 When the prior frame was not voiced, this also forces absolute coding.
2638 </t>
2639 <t>
2640 With absolute coding, the primary pitch lag may range from 2&nbsp;ms
2641  (inclusive) up to 18&nbsp;ms (exclusive), corresponding to pitches from
2642  500&nbsp;Hz down to 55.6&nbsp;Hz, respectively.
2643 It is comprised of a high part and a low part, where the decoder reads the high
2644  part using the 32-entry codebook in <xref target="silk_abs_pitch_high_pdf"/>
2645  and the low part using the codebook corresponding to the current audio
2646  bandwidth from <xref target="silk_abs_pitch_low_pdf"/>.
2647 The final primary pitch lag is then
2648 <figure align="center">
2649 <artwork align="center"><![CDATA[
2650 lag = lag_high*lag_scale + lag_low + lag_min
2651 ]]></artwork>
2652 </figure>
2653  where lag_high is the high part, lag_low is the low part, and lag_scale
2654  and lag_min are the values from the "Scale" and "Minimum Lag" columns of
2655  <xref target="silk_abs_pitch_low_pdf"/>, respectively.
2656 </t>
2657
2658 <texttable anchor="silk_abs_pitch_high_pdf"
2659  title="PDF for High Part of Primary Pitch Lag">
2660 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
2661 <c>{3,   3,   6,  11,  21,  30,  32,  19,
2662    11,  10,  12,  13,  13,  12,  11,   9,
2663     8,   7,   6,   4,   2,   2,   2,   1,
2664     1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1}/256</c>
2665 </texttable>
2666
2667 <texttable anchor="silk_abs_pitch_low_pdf"
2668  title="PDF for Low Part of Primary Pitch Lag">
2669 <ttcol>Audio Bandwidth</ttcol>
2670 <ttcol>PDF</ttcol>
2671 <ttcol>Scale</ttcol>
2672 <ttcol>Minimum Lag</ttcol>
2673 <ttcol>Maximum Lag</ttcol>
2674 <c>NB</c> <c>{64, 64, 64, 64}/256</c>                 <c>4</c> <c>16</c> <c>144</c>
2675 <c>MB</c> <c>{43, 42, 43, 43, 42, 43}/256</c>         <c>6</c> <c>24</c> <c>216</c>
2676 <c>WB</c> <c>{32, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 32}/256</c> <c>8</c> <c>32</c> <c>288</c>
2677 </texttable>
2678
2679 <t>
2680 All frames that do not use absolute coding for the primary lag index use
2681  relative coding instead.
2682 The decoder reads a single delta value using the 21-entry PDF in
2683  <xref target="silk_rel_pitch_pdf"/>.
2684 If the resulting value is zero, it falls back to the absolute coding procedure
2685  from the prior paragraph.
2686 Otherwise, the final primary pitch lag is then
2687 <figure align="center">
2688 <artwork align="center"><![CDATA[
2689 lag = lag_prev + (delta_lag_index - 9)
2690 ]]></artwork>
2691 </figure>
2692  where lag_prev is the primary pitch lag from the previous frame and
2693  delta_lag_index is the value just decoded.
2694 This allows a per-frame change in the pitch lag of -8 to +11 samples.
2695 The decoder does no clamping at this point, so this value can fall outside the
2696  range of 2&nbsp;ms to 18&nbsp;ms, and the decoder must use this unclamped
2697  value when using relative coding in the next SILK frame (if any).
2698 However, because an Opus frame can use relative coding for at most two
2699  consecutive SILK frames, integer overflow should not be an issue.
2700 </t>
2701
2702 <texttable anchor="silk_rel_pitch_pdf"
2703  title="PDF for Pitch Lag Change">
2704 <ttcol align="left">PDF</ttcol>
2705 <c>{46,  2,  2,  3,  4,  6, 10, 15,
2706     26, 38, 30, 22, 15, 10,  7,  6,
2707      4,  4,  2,  2,  2}/256</c>
2708 </texttable>
2709
2710 <t>
2711 After the primary pitch lag, a "pitch contour", stored as a single entry from
2712  one of four small VQ codebooks, gives lag offsets for each subframe in the
2713  current SILK frame.
2714 The codebook index is decoded using one of the PDFs in
2715  <xref target="silk_pitch_contour_pdfs"/> depending on the current frame size
2716  and audio bandwidth.
2717 <xref target="silk_pitch_contour_cb_nb10ms"/> through
2718  <xref target="silk_pitch_contour_cb_mbwb20ms"/> give the corresponding offsets
2719  to apply to the primary pitch lag for each subframe given the decoded codebook
2720  index.
2721 </t>
2722
2723 <texttable anchor="silk_pitch_contour_pdfs"
2724  title="PDFs for Subframe Pitch Contour">
2725 <ttcol>Audio Bandwidth</ttcol>
2726 <ttcol>SILK Frame Size</ttcol>
2727 <ttcol>PDF</ttcol>
2728 <c>NB</c>       <c>10&nbsp;ms</c>
2729 <c>{143, 50, 63}/256</c>
2730 <c>NB</c>       <c>20&nbsp;ms</c>
2731 <c>{68, 12, 21, 17, 19, 22, 30, 24,
2732     17, 16, 10}/256</c>
2733 <c>MB or WB</c> <c>10&nbsp;ms</c>
2734 <c>{91, 46, 39, 19, 14, 12,  8,  7,
2735      6,  5,  5,  4}/256</c>
2736 <c>MB or WB</c> <c>20&nbsp;ms</c>
2737 <c>{33, 22, 18, 16, 15, 14, 14, 13,
2738     13, 10,  9,  9,  8,  6,  6,  6,
2739      5,  4,  4,  4,  3,  3,  3,  2,
2740      2,  2,  2,  2,  2,  2,  1,  1,
2741      1,  1}</c>
2742 </texttable>
2743
2744 <texttable anchor="silk_pitch_contour_cb_nb10ms"
2745  title="Codebook Vectors for Subframe Pitch Contour: NB, 10&nbsp;ms Frames">
2746 <ttcol>Index</ttcol>
2747 <ttcol align="right">Subframe Offsets</ttcol>
2748 <c>0</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2749 <c>1</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2750 <c>2</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2751 </texttable>
2752
2753 <texttable anchor="silk_pitch_contour_cb_nb20ms"
2754  title="Codebook Vectors for Subframe Pitch Contour: NB, 20&nbsp;ms Frames">
2755 <ttcol>Index</ttcol>
2756 <ttcol align="right">Subframe Offsets</ttcol>
2757  <c>0</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2758  <c>1</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
2759  <c>2</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
2760  <c>3</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2761  <c>4</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2762  <c>5</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2763  <c>6</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2764  <c>7</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2765  <c>8</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2766  <c>9</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
2767 <c>10</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
2768 </texttable>
2769
2770 <texttable anchor="silk_pitch_contour_cb_mbwb10ms"
2771  title="Codebook Vectors for Subframe Pitch Contour: MB or WB, 10&nbsp;ms Frames">
2772 <ttcol>Index</ttcol>
2773 <ttcol align="right">Subframe Offsets</ttcol>
2774  <c>0</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2775  <c>1</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2776  <c>2</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2777  <c>3</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2778  <c>4</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;-1</spanx></c>
2779  <c>5</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
2780  <c>6</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;-1</spanx></c>
2781  <c>7</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
2782  <c>8</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;-2</spanx></c>
2783  <c>9</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;&nbsp;3</spanx></c>
2784 <c>10</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;3,&nbsp;-2</spanx></c>
2785 <c>11</c> <c><spanx style="vbare">-3,&nbsp;&nbsp;3</spanx></c>
2786 </texttable>
2787
2788 <texttable anchor="silk_pitch_contour_cb_mbwb20ms"
2789  title="Codebook Vectors for Subframe Pitch Contour: MB or WB, 20&nbsp;ms Frames">
2790 <ttcol>Index</ttcol>
2791 <ttcol align="right">Subframe Offsets</ttcol>
2792  <c>0</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2793  <c>1</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2794  <c>2</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2795  <c>3</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2796  <c>4</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2797  <c>5</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0</spanx></c>
2798  <c>6</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1</spanx></c>
2799  <c>7</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
2800  <c>8</c> <c><spanx style="vbare">-1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
2801  <c>9</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
2802 <c>10</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
2803 <c>11</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-1</spanx></c>
2804 <c>12</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;2</spanx></c>
2805 <c>13</c> <c><spanx style="vbare">-2,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;3</spanx></c>
2806 <c>14</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;-1,&nbsp;-2</spanx></c>
2807 <c>15</c> <c><spanx style="vbare">-3,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;3</spanx></c>
2808 <c>16</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-2</spanx></c>
2809 <c>17</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;3,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;0,&nbsp;-2</spanx></c>
2810 <c>18</c> <c><spanx style="vbare">-3,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;4</spanx></c>
2811 <c>19</c> <c><spanx style="vbare">-4,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;&nbsp;4</spanx></c>
2812 <c>20</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;3,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;-1,&nbsp;-3</spanx></c>
2813 <c>21</c> <c><spanx style="vbare">-4,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;5</spanx></c>
2814 <c>22</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;4,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-1,&nbsp;-3</spanx></c>
2815 <c>23</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;4,&nbsp;&nbsp;1,&nbsp;-1,&nbsp;-4</spanx></c>
2816 <c>24</c> <c><spanx style="vbare">-5,&nbsp;-1,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;6</spanx></c>
2817 <c>25</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;5,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-1,&nbsp;-4</spanx></c>
2818 <c>26</c> <c><spanx style="vbare">-6,&nbsp;-2,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;6</spanx></c>
2819 <c>27</c> <c><spanx style="vbare">-5,&nbsp;-2,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;&nbsp;5</spanx></c>
2820 <c>28</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;6,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-1,&nbsp;-5</spanx></c>
2821 <c>29</c> <c><spanx style="vbare">-7,&nbsp;-2,&nbsp;&nbsp;3,&nbsp;&nbsp;8</spanx></c>
2822 <c>30</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;6,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-2,&nbsp;-6</spanx></c>
2823 <c>31</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;5,&nbsp;&nbsp;2,&nbsp;-2,&nbsp;-5</spanx></c>
2824 <c>32</c> <c><spanx style="vbare">&nbsp;8,&nbsp;&nbsp;3,&nbsp;-2,&nbsp;-7</spanx></c>
2825 <c>33</c> <c><spanx style="vbare">-9,&nbsp;-3,&nbsp;&nbsp;3,&nbsp;&nbsp;9</spanx></c>
2826 </texttable>
2827
2828 <t>
2829 The final pitch lag for each subframe is assembled in silk_decode_pitch()
2830  (silk_decode_pitch.c).
2831 Let lag be the primary pitch lag for the current SILK frame, contour_index be
2832  index of the VQ codebook, and lag_cb[contour_index][k] be the corresponding
2833  entry of the codebook from the appropriate table given above for the
2834  <spanx style="emph">k</spanx>th subframe.
2835 Then the final pitch lag for that subframe is
2836 <figure align="center">
2837 <artwork align="center"><![CDATA[
2838 pitch_lags[k] = clamp(lag_min, lag + lag_cb[contour_index][k],
2839                       lag_max)
2840 ]]></artwork>
2841 </figure>
2842  where lag_min and lag_max are the values from the "Minimum Lag" and
2843  "Maximum Lag" columns of <xref target="silk_abs_pitch_low_pdf"/>,
2844  respectively.
2845 </t>
2846
2847 </section>
2848
2849 </section>
2850
2851 </section>
2852
2853 <section title="LBRR Frames">
2854 <t>
2855 LBRR frames, if present, immediately follow the header bits, prior to any
2856  regular SILK frames.
2857 Each frame whose LBRR flag was set includes a separate set of data for each
2858  channel.
2859 </t>
2860 </section>
2861
2862 </section>
2863
2864
2865 <section title="CELT Decoder">
2866
2867 <t>
2868 The CELT layer is decoded based on the following symbols and sets of symbols:
2869 </t>
2870
2871 <texttable anchor='table_example'>
2872 <ttcol align='center'>Symbol(s)</ttcol>
2873 <ttcol align='center'>PDF</ttcol>
2874 <ttcol align='center'>Condition</ttcol>
2875 <c>silence</c>      <c>{32767, 1}/32768</c> <c></c>
2876 <c>post-filter</c>  <c>{1, 1}/2</c> <c></c>
2877 <c>octave</c>       <c>uniform (6)</c><c>post-filter</c>
2878 <c>period</c>       <c>raw bits (4+octave)</c><c>post-filter</c>
2879 <c>gain</c>         <c>raw bits (3)</c><c>post-filter</c>
2880 <c>tapset</c>       <c>{2, 1, 1}/4</c><c>post-filter</c>
2881 <c>transient</c>    <c>{7, 1}/8</c><c></c>
2882 <c>intra</c>        <c>{7, 1}/8</c><c></c>
2883 <c>coarse energy</c><c><xref target="energy-decoding"/></c><c></c>
2884 <c>tf_change</c>    <c><xref target="transient-decoding"/></c><c></c>
2885 <c>tf_select</c>    <c>{1, 1}/2</c><c><xref target="transient-decoding"/></c>
2886 <c>spread</c>       <c>{7, 2, 21, 2}/32</c><c></c>
2887 <c>dyn. alloc.</c>  <c><xref target="allocation"/></c><c></c>
2888 <c>alloc. trim</c>  <c>{2, 2, 5, 10, 22, 46, 22, 10, 5, 2, 2}/128</c><c></c>
2889 <c>skip</c>         <c>{1, 1}/2</c><c><xref target="allocation"/></c>
2890 <c>intensity</c>    <c>uniform</c><c><xref target="allocation"/></c>
2891 <c>dual</c>         <c>{1, 1}/2</c><c></c>
2892 <c>fine energy</c>  <c><xref target="energy-decoding"/></c><c></c>
2893 <c>residual</c>     <c><xref target="PVQ-decoder"/></c><c></c>
2894 <c>anti-collapse</c><c>{1, 1}/2</c><c><xref target="anti-collapse"/></c>
2895 <c>finalize</c>     <c><xref target="energy-decoding"/></c><c></c>
2896 <postamble>Order of the symbols in the CELT section of the bit-stream.</postamble>
2897 </texttable>
2898
2899 <t>
2900 The decoder extracts information from the range-coded bit-stream in the order
2901 described in the figure above. In some circumstances, it is
2902 possible for a decoded value to be out of range due to a very small amount of redundancy
2903 in the encoding of large integers by the range coder.
2904 In that case, the decoder should assume there has been an error in the coding,
2905 decoding, or transmission and SHOULD take measures to conceal the error and/or report
2906 to the application that a problem has occurred.
2907 </t>
2908
2909 <section anchor="transient-decoding" title="Transient Decoding">
2910 <t>
2911 The <spanx style="emph">transient</spanx> flag encoded in the bit-stream has a
2912 probability of 1/8. When it is set, then the MDCT coefficients represent multiple
2913 short MDCTs in the frame. When not set, the coefficients represent a single
2914 long MDCT for the frame. In addition to the global transient flag is a per-band
2915 binary flag to change the time-frequency (tf) resolution independently in each band. The
2916 change in tf resolution is defined in tf_select_table[][] in celt.c and depends
2917 on the frame size, whether the transient flag is set, and the value of tf_select.
2918 The tf_select flag uses a 1/2 probability, but is only decoded
2919 if it can have an impact on the result knowing the value of all per-band
2920 tf_change flags.
2921 </t>
2922 </section>
2923
2924 <section anchor="energy-decoding" title="Energy Envelope Decoding">
2925
2926 <t>
2927 It is important to quantize the energy with sufficient resolution because
2928 any energy quantization error cannot be compensated for at a later
2929 stage. Regardless of the resolution used for encoding the shape of a band,
2930 it is perceptually important to preserve the energy in each band. CELT uses a
2931 three-step coarse-fine-fine strategy for encoding the energy in the base-2 log
2932 domain, as implemented in quant_bands.c</t>
2933
2934 <section anchor="coarse-energy-decoding" title="Coarse energy decoding">
2935 <t>
2936 Coarse quantization of the energy uses a fixed resolution of 6 dB
2937 (integer part of base-2 log). To minimize the bitrate, prediction is applied
2938 both in time (using the previous frame) and in frequency (using the previous
2939 bands). The part of the prediction that is based on the
2940 previous frame can be disabled, creating an "intra" frame where the energy
2941 is coded without reference to prior frames. The decoder first reads the intra flag
2942 to determine what prediction is used.
2943 The 2-D z-transform of
2944 the prediction filter is: A(z_l, z_b)=(1-a*z_l^-1)*(1-z_b^-1)/(1-b*z_b^-1)
2945 where b is the band index and l is the frame index. The prediction coefficients
2946 applied depend on the frame size in use when not using intra energy and a=0 b=4915/32768
2947 when using intra energy.
2948 The time-domain prediction is based on the final fine quantization of the previous
2949 frame, while the frequency domain (within the current frame) prediction is based
2950 on coarse quantization only (because the fine quantization has not been computed
2951 yet). The prediction is clamped internally so that fixed point implementations with
2952 limited dynamic range to not suffer desynchronization.
2953 We approximate the ideal
2954 probability distribution of the prediction error using a Laplace distribution
2955 with seperate parameters for each frame size in intra and inter-frame modes. The
2956 coarse energy quantization is performed by unquant_coarse_energy() and
2957 unquant_coarse_energy_impl() (quant_bands.c). The encoding of the Laplace-distributed values is
2958 implemented in ec_laplace_decode() (laplace.c).
2959 </t>
2960
2961 </section>
2962
2963 <section anchor="fine-energy-decoding" title="Fine energy quantization">
2964 <t>
2965 The number of bits assigned to fine energy quantization in each band is determined
2966 by the bit allocation computation described in <xref target="allocation"></xref>.
2967 Let B_i be the number of fine energy bits
2968 for band i; the refinement is an integer f in the range [0,2^B_i-1]. The mapping between f
2969 and the correction applied to the coarse energy is equal to (f+1/2)/2^B_i - 1/2. Fine
2970 energy quantization is implemented in quant_fine_energy() (quant_bands.c).
2971 </t>
2972 <t>
2973 When some bits are left "unused" after all other flags have been decoded, these bits
2974 are assigned to a "final" step of fine allocation. In effect, these bits are used
2975 to add one extra fine energy bit per band per channel. The allocation process
2976 determines two <spanx style="emph">priorities</spanx> for the final fine bits.
2977 Any remaining bits are first assigned only to bands of priority 0, starting
2978 from band 0 and going up. If all bands of priority 0 have received one bit per
2979 channel, then bands of priority 1 are assigned an extra bit per channel,
2980 starting from band 0. If any bit is left after this, they are left unused.
2981 This is implemented in unquant_energy_finalise() (quant_bands.c).
2982 </t>
2983
2984 </section> <!-- fine energy -->
2985
2986 </section> <!-- Energy decode -->
2987
2988 <section anchor="allocation" title="Bit allocation">
2989 <t>Many codecs transmit significant amounts of side information for
2990 the purpose of controlling bit allocation within a frame. Often this
2991 side information controls bit usage indirectly and must be carefully
2992 selected to achieve the desired rate constraints.</t>
2993
2994 <t>The band-energy normalized structure of Opus MDCT mode ensures that a
2995 constant bit allocation for the shape content of a band will result in a
2996 roughly constant tone to noise ratio, which provides for fairly consistent
2997 perceptual performance. The effectiveness of this approach is the result of
2998 two factors: The band energy, which is understood to be perceptually
2999 important on its own, is always preserved regardless of the shape precision and because
3000 the constant tone-to-noise ratio implies a constant intra-band noise to masking ratio.
3001 Intra-band masking is the strongest of the perceptual masking effects. This structure
3002 means that the ideal allocation is more consistent from frame to frame than
3003 it is for other codecs without an equivalent structure.</t>
3004
3005 <t>Because the bit allocation is used to drive the decoding of the range-coder
3006 stream it MUST be recovered exactly so that identical coding decisions are
3007 made in the encoder and decoder. Any deviation from the reference's resulting
3008 bit allocation will result in corrupted output, though implementers are
3009 free to implement the procedure in any way which produces identical results.</t>
3010
3011 <t>Because all of the information required to decode a frame must be derived
3012 from that frame alone in order to retain robustness to packet loss the
3013 overhead of explicitly signaling the allocation would be considerable,
3014 especially for low-latency (small frame size) applications,
3015 even though the allocation is relatively static.</t>
3016
3017 <t>For this reason, in the MDCT mode Opus uses a primarily implicit bit
3018 allocation. The available bit-stream capacity is known in advance to both
3019 the encoder and decoder without additional signaling, ultimately from the
3020 packet sizes expressed by a higher level protocol. Using this information
3021 the codec interpolates an allocation from a hard-coded table.</t>
3022
3023 <t>While the band-energy structure effectively models intra-band masking,
3024 it ignores the weaker inter-band masking, band-temporal masking, and
3025 other less significant perceptual effects. While these effects can
3026 often be ignored they can become significant for particular samples. One
3027 mechanism available to encoders would be to simply increase the overall
3028 rate for these frames, but this is not possible in a constant rate mode
3029 and can be fairly inefficient. As a result three explicitly signaled
3030 mechanisms are provided to alter the implicit allocation:</t>
3031
3032 <t>
3033 <list style="symbols">
3034 <t>Band boost</t>
3035 <t>Allocation trim</t>
3036 <t>band skipping</t>
3037 </list>
3038 </t>
3039
3040 <t>The first of these mechanisms, band boost, allows an encoder to boost
3041 the allocation in specific bands. The second, allocation trim, works by
3042 biasing the overall allocation towards higher or lower frequency bands. The third, band
3043 skipping, selects which low-precision high frequency bands
3044 will be allocated no shape bits at all.</t>
3045
3046 <t>In stereo mode there are also two additional parameters
3047 potentially coded as part of the allocation procedure: a parameter to allow the
3048 selective elimination of allocation for the 'side' in jointly coded bands,
3049 and a flag to deactivate joint coding. These values are not signaled if
3050 they would be meaningless in the overall context of the allocation.</t>
3051
3052 <t>Because every signaled adjustment increases overhead and implementation
3053 complexity none were included speculatively: The reference encoder makes use
3054 of all of these mechanisms. While the decision logic in the reference was
3055 found to be effective enough to justify the overhead and complexity further
3056 analysis techniques may be discovered which increase the effectiveness of these
3057 parameters. As with other signaled parameters, encoder is free to choose the
3058 values in any manner but unless a technique is known to deliver superior
3059 perceptual results the methods used by the reference implementation should be
3060 used.</t>
3061
3062 <t>The process of allocation consists of the following steps: determining the per-band
3063 maximum allocation vector, decoding the boosts, decoding the tilt, determining
3064 the remaining capacity the frame, searching the mode table for the
3065 entry nearest but not exceeding the available space (subject to the tilt, boosts, band
3066 maximums, and band minimums), linear interpolation, reallocation of
3067 unused bits with concurrent skip decoding, determination of the
3068 fine-energy vs shape split, and final reallocation. This process results
3069 in an shape allocation per-band (in 1/8th bit units), a per-band fine-energy
3070 allocation (in 1 bit per channel units), a set of band priorities for
3071 controlling the use of remaining bits at the end of the frame, and a
3072 remaining balance of unallocated space which is usually zero except
3073 at very high rates.</t>
3074
3075 <t>The maximum allocation vector is an approximation of the maximum space
3076 which can be used by each band for a given mode. The value is
3077 approximate because the shape encoding is variable rate (due
3078 to entropy coding of splitting parameters). Setting the maximum too low reduces the
3079 maximum achievable quality in a band while setting it too high
3080 may result in waste: bit-stream capacity available at the end
3081 of the frame which can not be put to any use. The maximums
3082 specified by the codec reflect the average maximum. In the reference
3083 the maximums are provided partially computed form, in order to fit in less
3084 memory, as a static table (XXX cache.caps). Implementations are expected
3085 to simply use the same table data but the procedure for generating
3086 this table is included in rate.c as part of compute_pulse_cache().</t>
3087
3088 <t>To convert the values in cache.caps into the actual maximums: First
3089 set nbBands to the maximum number of bands for this mode and stereo to
3090 zero if stereo is not in use and one otherwise. For each band assign N
3091 to the number of MDCT bins covered by the band (for one channel), set LM
3092 to the shift value for the frame size (e.g. 0 for 120, 1 for 240, 3 for 480)
3093 then set i to nbBands*(2*LM+stereo). Then set the maximum for the band to
3094 the i-th index of cache.caps + 64 and multiply by the number of channels
3095 in the current frame (one or two) and by N then divide the result by 4
3096 using truncating integer division. The resulting vector will be called
3097 cap[]. The elements fit in signed 16 bit integers but do not fit in 8 bits.
3098 This procedure is implemented in the reference in the function init_caps() in celt.c.
3099 </t>
3100
3101 <t>The band boosts are represented by a series of binary symbols which
3102 are coded with very low probability. Each band can potentially be boosted
3103 multiple times, subject to the frame actually having enough room to obey
3104 the boost and having enough room to code the boost symbol. The default
3105 coding cost for a boost starts out at six bits, but subsequent boosts
3106 in a band cost only a single bit and every time a band is boosted the
3107 initial cost is reduced (down to a minimum of two). Since the initial
3108 cost of coding a boost is 6 bits the coding cost of the boost symbols when
3109 completely unused is 0.48 bits/frame for a 21 band mode (21*-log2(1-1/2^6)).</t>
3110
3111 <t>To decode the band boosts: First set 'dynalloc_logp' to 6, the initial
3112 amount of storage required to signal a boost in bits, 'total_bits' to the
3113 size of the frame in 8th-bits, 'total_boost' to zero, and 'tell' to the total number
3114 of 8th bits decoded
3115 so far. For each band from the coding start (0 normally, but 17 in hybrid mode)
3116 to the coding end (which changes depending on the signaled bandwidth): Set 'width'
3117 to the number of MDCT bins in this band for all channels. Take the larger of width
3118 and 64, then the minimum of that value and the width times eight and set 'quanta'
3119 to the result. This represents a boost step size of six bits subject to limits
3120 of 1/bit/sample and 1/8th bit/sample. Set 'boost' to zero and 'dynalloc_loop_logp'
3121 to dynalloc_logp. While dynalloc_loop_log (the current worst case symbol cost) in
3122 8th bits plus tell is less than total_bits plus total_boost and boost is less than cap[] for this
3123 band: Decode a bit from the bitstream with a with dynalloc_loop_logp as the cost
3124 of a one, update tell to reflect the current used capacity, if the decoded value
3125 is zero break the  loop otherwise add quanta to boost and total_boost, subtract quanta from
3126 total_bits, and set dynalloc_loop_log to 1. When the while loop finishes
3127 boost contains the boost for this band. If boost is non-zero and dynalloc_logp
3128 is greater than 2 decrease dynalloc_logp.  Once this process has been
3129 execute on all bands the band boosts have been decoded. This procedure
3130 is implemented around line 2352 of celt.c.</t>
3131
3132 <t>At very low rates it's possible that there won't be enough available
3133 space to execute the inner loop even once. In these cases band boost
3134 is not possible but its overhead is completely eliminated. Because of the
3135 high cost of band boost when activated a reasonable encoder should not be
3136 using it at very low rates. The reference implements its dynalloc decision
3137 logic at around 1269 of celt.c</t>
3138
3139 <t>The allocation trim is a integer value from 0-10. The default value of
3140 5 indicates no trim. The trim parameter is entropy coded in order to
3141 lower the coding cost of less extreme adjustments. Values lower than
3142 5 bias the allocation towards lower frequencies and values above 5
3143 bias it towards higher frequencies. Like other signaled parameters, signaling
3144 of the trim is gated so that it is not included if there is insufficient space
3145 available in the bitstream. To decode the trim first set
3146 the trim value to 5 then iff the count of decoded 8th bits so far (ec_tell_frac)
3147 plus 48 (6 bits) is less than or equal to the total frame size in 8th
3148 bits minus total_boost (a product of the above band boost procedure) then
3149 decode the trim value using the inverse CDF {127, 126, 124, 119, 109, 87, 41, 19, 9, 4, 2, 0}.</t>
3150
3151 <t>Stereo parameters</t>
3152
3153 <t>Anti-collapse reservation</t>
3154
3155 <t>The allocation computation first begins by setting up some initial conditions.
3156 'total' is set to the available remaining 8th bits, computed by taking the
3157 size of the coded frame times 8 and subtracting ec_tell_frac(). From this value one (8th bit)
3158 is subtracted to assure that the resulting allocation will be conservative. 'anti_collapse_rsv'
3159 is set to 8 (8th bits) iff the frame is a transient, LM is greater than 1, and total is
3160 greater than or equal to (LM+2) * 8. Total is then decremented by anti_collapse_rsv and clamped
3161 to be equal to or greater than zero. 'skip_rsv' is set to 8 (8th bits) if total is greater than
3162 8, otherwise it is zero. Total is then decremented by skip_rsv. This reserves space for the
3163 final skipping flag.</t>
3164
3165 <t>If the current frame is stereo intensity_rsv is set to the conservative log2 in 8th bits
3166 of the number of coded bands for this frame (given by the table LOG2_FRAC_TABLE). If
3167 intensity_rsv is greater than total then intensity_rsv is set to zero otherwise total is
3168 decremented by intensity_rsv, and if total is still greater than 8 dual_stereo_rsv is
3169 set to 8 and total is decremented by dual_stereo_rsv.</t>
3170
3171 <t>The allocation process then computes a vector representing the hard minimum amounts allocation
3172 any band will receive for shape. This minimum is higher than the technical limit of the PVQ
3173 process, but very low rate allocations produce excessively an sparse spectrum and these bands
3174 are better served by having no allocation at all. For each coded band set thresh[band] to
3175 twenty-four times the number of MDCT bins in the band and divide by 16. If 8 times the number
3176 of channels is greater, use that instead. This sets the minimum allocation to one bit per channel
3177 or 48 128th bits per MDCT bin, whichever is greater. The band size dependent part of this
3178 value is not scaled by the channel count because at the very low rates where this limit is
3179 applicable there will usually be no bits allocated to the side.</t>
3180
3181 <t>The previously decoded allocation trim is used to derive a vector of per-band adjustments,
3182 'trim_offsets[]'. For each coded band take the alloc_trim and subtract 5 and LM then multiply
3183 the result by number of channels, the number MDCT bins in the shortest frame size for this mode,
3184 the number remaining bands, 2^LM, and 8. Then divide this value by 64. Finally, if the
3185 number of MDCT bins in the band per channel is only one 8 times the number of channels is subtracted
3186 in order to diminish the allocation by one bit because width 1 bands receive greater benefit
3187 from the coarse energy coding.</t>
3188
3189
3190 </section>
3191
3192 <section anchor="PVQ-decoder" title="Shape Decoder">
3193 <t>
3194 In each band, the normalized <spanx style="emph">shape</spanx> is encoded
3195 using a vector quantization scheme called a "Pyramid vector quantizer".
3196 </t>
3197
3198 <t>In
3199 the simplest case, the number of bits allocated in
3200 <xref target="allocation"></xref> is converted to a number of pulses as described
3201 by <xref target="bits-pulses"></xref>. Knowing the number of pulses and the
3202 number of samples in the band, the decoder calculates the size of the codebook
3203 as detailed in <xref target="cwrs-decoder"></xref>. The size is used to decode
3204 an unsigned integer (uniform probability model), which is the codeword index.
3205 This index is converted into the corresponding vector as explained in
3206 <xref target="cwrs-decoder"></xref>. This vector is then scaled to unit norm.
3207 </t>
3208
3209 <section anchor="bits-pulses" title="Bits to Pulses">
3210 <t>
3211 Although the allocation is performed in 1/8th bit units, the quantization requires
3212 an integer number of pulses K. To do this, the encoder searches for the value
3213 of K that produces the number of bits that is the nearest to the allocated value
3214 (rounding down if exactly half-way between two values), subject to not exceeding
3215 the total number of bits available. For efficiency reasons the search is performed against a
3216 precomputated allocation table which only permits some K values for each N. The number of
3217 codebooks entries can be computed as explained in <xref target="cwrs-encoding"></xref>. The difference
3218 between the number of bits allocated and the number of bits used is accumulated to a
3219 <spanx style="emph">balance</spanx> (initialised to zero) that helps adjusting the
3220 allocation for the next bands. One third of the balance is applied to the
3221 bit allocation of the each band to help achieving the target allocation. The only
3222 exceptions are the band before the last and the last band, for which half the balance
3223 and the whole balance are applied, respectively.
3224 </t>
3225 </section>
3226
3227 <section anchor="cwrs-decoder" title="Index Decoding">
3228
3229 <t>
3230 The codeword is decoded as a uniformly-distributed integer value
3231 by decode_pulses() (cwrs.c).
3232 The codeword is converted from a unique index in the same way as specified in
3233 <xref target="PVQ"></xref>. The indexing is based on the calculation of V(N,K)
3234 (denoted N(L,K) in <xref target="PVQ"></xref>), which is the number of possible
3235 combinations of K pulses
3236 in N samples. The number of combinations can be computed recursively as
3237 V(N,K) = V(N-1,K) + V(N,K-1) + V(N-1,K-1), with V(N,0) = 1 and V(0,K) = 0, K != 0.
3238 There are many different ways to compute V(N,K), including pre-computed tables and direct
3239 use of the recursive formulation. The reference implementation applies the recursive
3240 formulation one line (or column) at a time to save on memory use,
3241 along with an alternate,
3242 univariate recurrence to initialise an arbitrary line, and direct
3243 polynomial solutions for small N. All of these methods are
3244 equivalent, and have different trade-offs in speed, memory usage, and
3245 code size. Implementations MAY use any methods they like, as long as
3246 they are equivalent to the mathematical definition.
3247 </t>
3248
3249 <t>
3250 The decoding of the codeword from the index is performed as specified in
3251 <xref target="PVQ"></xref>, as implemented in function
3252 decode_pulses() (cwrs.c).
3253 </t>
3254 </section>
3255
3256 <section anchor="spreading" title="Spreading">
3257 <t>
3258 </t>
3259 </section>
3260
3261 <section anchor="split" title="Split decoding">
3262 <t>
3263 To avoid the need for multi-precision calculations when decoding PVQ codevectors,
3264 the maximum size allowed for codebooks is 32 bits. When larger codebooks are
3265 needed, the vector is instead split in two sub-vectors of size N/2.
3266 A quantized gain parameter with precision
3267 derived from the current allocation is entropy coded to represent the relative
3268 gains of each side of the split and the entire decoding process is recursively
3269 applied. Multiple levels of splitting may be applied up to a frame size
3270 dependent limit. The same recursive mechanism is applied for the joint coding
3271 of stereo audio.
3272 </t>
3273
3274 </section>
3275
3276 <section anchor="tf-change" title="Time-Frequency change">
3277 <t>
3278 </t>
3279 </section>
3280
3281
3282 </section>
3283
3284 <section anchor="anti-collapse" title="Anti-collapse processing">
3285 <t>
3286 When the frame has the transient bit set, an anti-collapse bit is decoded.
3287 When anti-collapse is set, then the energy in each small MDCT is prevented
3288 from collapsing to zero. For each band of each MDCT where a collapse is
3289 detected, a pseudo-random signal is inserted with an energy corresponding
3290 to the min energy over the two previous frames. A renormalization step is
3291 then required to ensure that the anti-collapse step did not alter the
3292 energy preservation property.
3293 </t>
3294 </section>
3295
3296 <section anchor="denormalization" title="Denormalization">
3297 <t>
3298 Just like each band was normalized in the encoder, the last step of the decoder before
3299 the inverse MDCT is to denormalize the bands. Each decoded normalized band is
3300 multiplied by the square root of the decoded energy. This is done by denormalise_bands()
3301 (bands.c).
3302 </t>
3303 </section>
3304
3305 <section anchor="inverse-mdct" title="Inverse MDCT">
3306 <t>The inverse MDCT implementation has no special characteristics. The
3307 input is N frequency-domain samples and the output is 2*N time-domain
3308 samples, while scaling by 1/2. The output is windowed using the same window
3309 as the encoder. The IMDCT and windowing are performed by mdct_backward
3310 (mdct.c). If a time-domain pre-emphasis
3311 window was applied in the encoder, the (inverse) time-domain de-emphasis window
3312 is applied on the IMDCT result.
3313 </t>
3314
3315 <section anchor="post-filter" title="Post-filter">
3316 <t>
3317 The output of the inverse MDCT (after weighted overlap-add) is sent to the
3318 post-filter. Although the post-filter is applied at the end, the post-filter
3319 parameters are encoded at the beginning, just after the silence flag.
3320 The post-filter can be switched on or off using one bit (logp=1).
3321 If the post-filter is enabled, then the octave is decoded as an integer value
3322 between 0 and 6 of uniform probability. Once the octave is known, the fine pitch
3323 within the octave is decoded using 4+octave raw bits. The final pitch period
3324 is equal to (16&lt;&lt;octave)+fine_pitch-1 so it is bounded between 15 and 1022,
3325 inclusively. Next, the gain is decoded as three raw bits and is equal to
3326 G=3*(int_gain+1)/32. The set of post-filter taps is decoded last using
3327 a pdf equal to {2, 1, 1}/4. Tapset zero corresponds to the filter coefficients
3328 g0 = 0.3066406250, g1 = 0.2170410156, g2 = 0.1296386719. Tapset one
3329 corresponds to the filter coefficients g0 = 0.4638671875, g1 = 0.2680664062,
3330 g2 = 0, and tapset two uses filter coefficients g0 = 0.7998046875,
3331 g1 = 0.1000976562, g2 = 0.
3332 </t>
3333
3334 <t>
3335 The post-filter response is thus computed as:
3336               <figure align="center">
3337                 <artwork align="center">
3338                   <![CDATA[
3339    y(n) = x(n) + G*(g0*y(n-T) + g1*(y(n-T+1)+y(n-T+1))
3340                               + g2*(y(n-T+2)+y(n-T+2)))
3341 ]]>
3342                 </artwork>
3343               </figure>
3344
3345 During a transition between different gains, a smooth transition is calculated
3346 using the square of the MDCT window. It is important that values of y(n) be
3347 interpolated one at a time such that the past value of y(n) used is interpolated.
3348 </t>
3349 </section>
3350
3351 <section anchor="deemphasis" title="De-emphasis">
3352 <t>
3353 After the post-filter,
3354 the signal is de-emphasized using the inverse of the pre-emphasis filter
3355 used in the encoder: 1/A(z)=1/(1-alpha_p*z^-1), where alpha_p=0.8500061035.
3356 </t>
3357 </section>
3358
3359 </section>
3360
3361 <section anchor="Packet Loss Concealment" title="Packet Loss Concealment (PLC)">
3362 <t>
3363 Packet loss concealment (PLC) is an optional decoder-side feature which
3364 SHOULD be included when transmitting over an unreliable channel. Because
3365 PLC is not part of the bit-stream, there are several possible ways to
3366 implement PLC with different complexity/quality trade-offs. The PLC in
3367 the reference implementation finds a periodicity in the decoded
3368 signal and repeats the windowed waveform using the pitch offset. The windowed
3369 waveform is overlapped in such a way as to preserve the time-domain aliasing
3370 cancellation with the previous frame and the next frame. This is implemented
3371 in celt_decode_lost() (mdct.c).
3372 </t>
3373 </section>
3374
3375 </section>
3376
3377 <section anchor="switching" title="Mode Switching">
3378 <t>
3379 Switching between the Opus coding modes requires careful consideration. More
3380 specifically, the transitions that cannot be easily handled are the ones where
3381 the lower frequencies have to switch between the SILK LP-based model and the CELT
3382 transform model. If nothing is done, a glitch will occur for these transitions.
3383 On the other hand, switching between the SILK-only modes and the hybrid mode
3384 does not require any special treatment.
3385 </t>
3386
3387 <t>
3388 There are two ways to avoid or reduce glitches during the problematic mode 
3389 transitions: with, or without side information. Only transitions with side
3390 information are normatively specified. For transitions with no side
3391 information, it is RECOMMENDED for the decoder to use a concealment technique
3392 (e.g. make use of the PLC algorithm) to "fill in"
3393 the gap or the discontinuity caused by the mode transition. Note that this
3394 concealment MUST NOT be applied when switching between the SILK mode and the
3395 hybrid mode or vice versa. Similarly, it MUST NOT be applied when merely
3396 changing the bandwidth within the same mode.
3397 </t>
3398
3399 <section anchor="side-info" title="Switching Side Information">
3400 <t>
3401 Switching with side information involves transmitting in-band a 5-ms
3402 "redundant" CELT frame within the Opus frame.
3403 This frame is designed to fill-in the gap or discontinuity without requiring
3404 the decoder to conceal it. For transitons from a CELT-only frame to a 
3405 SILK-only or hybrid frame, the redundant frame is inserted in the frame
3406 following the transition (i.e. the SILK-only/hybrid frame). For transitions
3407 from a SILK-only/hybrid frame to a CELT-only frame, the redundant frame is
3408 inserted in the first frame. For all SILK-only and hybrid frames (not only
3409 those involved in a mode transition), a binary symbol of probability 2^-12
3410 needs to be decoded just after the SILK part of the bit-stream. When the
3411 symbol value is 1, then the frame includes an embedded redundant frame. The
3412 redundant frame always starts and ends on byte boundaries. For SILK-only
3413 frames, the number of bytes is simply the number of whole remaining bytes.
3414 For hybrid frames, the number of bytes is equal to 2, plus a decoded unsigned
3415 integer (ec_dec_uint()) between 0 and 255. For hybrid frames, the redundant
3416 frame is placed at the end of the frame, after the CELT layer of the
3417 hybrid frame. The redundant frame is decoded like any other CELT-only frame,
3418 with the exception that it does not contain a TOC byte. The bandwidth
3419 is instead set to the same bandwidth of the current frame (for mediumband 
3420 frames, the redundant frame is set to wideband).
3421 </t>
3422
3423 <t>
3424 For CELT-only to SILK-only/hybrid transitions, the first
3425 2.5 ms of the redundant frame is used as-is for the reconstructed
3426 output. The remaining 2.5 ms is overlapped and added (cross-faded using
3427 the square of the MDCT power-complemantary window) to the decoded SILK/hybrid
3428 signal, ensuring a smooth transition. For SILK-only/hyrid to CELT-only
3429 transitions, only the second half of the 5-ms decoded redundant frame is used.
3430 In that case, only a 2.5-ms cross-fade is applied, still using the 
3431 power-complemantary window.
3432 </t>
3433 </section>
3434
3435 </section>
3436
3437 </section>
3438
3439
3440 <!--  ******************************************************************* -->
3441 <!--  **************************   OPUS ENCODER   *********************** -->
3442 <!--  ******************************************************************* -->
3443
3444 <section title="Codec Encoder">
3445 <t>
3446 Opus encoder block diagram.
3447 <figure>
3448 <artwork>
3449 <![CDATA[
3450          +----------+    +-------+
3451          |  sample  |    | SILK  |
3452       +->|   rate   |--->|encoder|--+
3453       |  |conversion|    |       |  |
3454 audio |  +----------+    +-------+  |    +-------+
3455 ------+                             +--->| Range |
3456       |  +-------+                       |encoder|---->
3457       |  | CELT  |                  +--->|       | bit-stream
3458       +->|encoder|------------------+    +-------+
3459          |       |
3460          +-------+
3461 ]]>
3462 </artwork>
3463 </figure>
3464 </t>
3465
3466 <section anchor="range-encoder" title="Range Coder">
3467 <t>
3468 The range coder also acts as the bit-packer for Opus. It is
3469 used in three different ways, to encode:
3470 <list style="symbols">
3471 <t>entropy-coded symbols with a fixed probability model using ec_encode(), (entenc.c)</t>
3472 <t>integers from 0 to 2**M-1 using ec_enc_uint() or ec_enc_bits(), (entenc.c)</t>
3473 <t>integers from 0 to N-1 (where N is not a power of two) using ec_enc_uint(). (entenc.c)</t>
3474 </list>
3475 </t>
3476
3477 <t>
3478 The range encoder maintains an internal state vector composed of the
3479 four-tuple (low,rng,rem,ext), representing the low end of the current
3480 range, the size of the current range, a single buffered output octet,
3481 and a count of additional carry-propagating output octets. Both rng
3482 and low are 32-bit unsigned integer values, rem is an octet value or
3483 the special value -1, and ext is an integer with at least 16 bits.
3484 This state vector is initialized at the start of each each frame to
3485 the value (0,2**31,-1,0). The reference implementation re-uses the
3486 'val' field of the entropy coder structure to hold low, in order to
3487 allow the same structure to be used for encoding and decoding, but
3488 we maintain the distinction here for clarity.
3489 </t>
3490
3491 <section anchor="encoding-symbols" title="Encoding Symbols">
3492 <t>
3493    The main encoding function is ec_encode() (entenc.c),
3494    which takes as an argument a three-tuple (fl,fh,ft)
3495    describing the range of the symbol to be encoded in the current
3496    context, with 0 &lt;= fl &lt; fh &lt;= ft &lt;= 65535. The values of this tuple
3497    are derived from the probability model for the symbol. Let f(i) be
3498    the frequency of the ith symbol in the current context. Then the
3499    three-tuple corresponding to the kth symbol is given by
3500    <![CDATA[
3501 fl=sum(f(i),i<k), fh=fl+f(i), and ft=sum(f(i)).
3502 ]]>
3503 </t>
3504 <t>
3505    ec_encode() updates the state of the encoder as follows. If fl is
3506    greater than zero, then low = low + rng - (rng/ft)*(ft-fl) and
3507    rng = (rng/ft)*(fh-fl). Otherwise, low is unchanged and
3508    rng = rng - (rng/ft)*(fh-fl). The divisions here are exact integer
3509    division. After this update, the range is normalized.
3510 </t>
3511 <t>
3512    To normalize the range, the following process is repeated until
3513    rng &gt; 2**23. First, the top 9 bits of low, (low&gt;&gt;23), are placed into
3514    a carry buffer. Then, low is set to <![CDATA[(low << 8 & 0x7FFFFFFF) and rng
3515    is set to (rng<<8)]]>. This process is carried out by
3516    ec_enc_normalize() (entenc.c).
3517 </t>
3518 <t>
3519    The 9 bits produced in each iteration of the normalization loop
3520    consist of 8 data bits and a carry flag. The final value of the
3521    output bits is not determined until carry propagation is accounted
3522    for. Therefore the reference implementation buffers a single
3523    (non-propagating) output octet and keeps a count of additional
3524    propagating (0xFF) output octets. An implementation MAY choose to use
3525    any mathematically equivalent scheme to perform carry propagation.
3526 </t>
3527 <t>
3528    The function ec_enc_carry_out() (entenc.c) performs
3529    this buffering. It takes a 9-bit input value, c, from the normalization:
3530    8 bits of output and a carry bit. If c is 0xFF, then ext is incremented
3531    and no octets are output. Otherwise, if rem is not the special value
3532    -1, then the octet (rem+(c>>8)) is output. Then ext octets are output
3533    with the value 0 if the carry bit is set, or 0xFF if it is not, and
3534    rem is set to the lower 8 bits of c. After this, ext is set to zero.
3535 </t>
3536 <t>
3537    In the reference implementation, a special version of ec_encode()
3538    called ec_encode_bin() (entenc.c) is defined to
3539    take a two-tuple (fl,ftb), where <![CDATA[0 <= fl < 2**ftb and ftb < 16. It is
3540    mathematically equivalent to calling ec_encode() with the three-tuple
3541    (fl,fl+1,1<<ftb)]]>, but avoids using division.
3542
3543 </t>
3544 </section>
3545
3546 <section anchor="encoding-bits" title="Encoding Raw Bits">
3547 <t>
3548    The CELT layer also allows directly encoding a series of raw bits, outside
3549    of the range coder, implemented in ec_enc_bits() (entenc.c).
3550    The raw bits are packed at the end of the packet, starting by storing the
3551    least significant bit of the value to be packed in the least significant bit
3552    of the last byte, filling up to the most significant bit in
3553    the last byte, and the continuing in the least significant bit of the
3554    penultimate byte, and so on.
3555    This packing may continue into the last byte output by the range coder,
3556    though the format should render it impossible to overwrite any set bit
3557    produced by the range coder when the procedure in
3558    <xref target='encoder-finalizing'/> is followed to finalize the stream.
3559 </t>
3560 </section>
3561
3562 <section anchor="encoding-ints" title="Encoding Uniformly Distributed Integers">
3563 <t>
3564    The function ec_enc_uint() is based on ec_encode() and encodes one of N
3565    equiprobable symbols, each with a frequency of 1, where N may be as large as
3566    2**32-1. Because ec_encode() is limited to a total frequency of 2**16-1, this
3567    is done by encoding a series of symbols in smaller contexts.
3568 </t>
3569 <t>
3570    ec_enc_uint() (entenc.c) takes a two-tuple (fl,ft),
3571    where ft is not necessarily a power of two. Let ftb be the location
3572    of the highest 1 bit in the two's-complement representation of
3573    (ft-1), or -1 if no bits are set. If ftb>8, then the top 8 bits of fl
3574    are encoded using ec_encode() with the three-tuple
3575    (fl>>ftb-8,(fl>>ftb-8)+1,(ft-1>>ftb-8)+1), and the remaining bits
3576    are encoded as raw bits. Otherwise, fl is encoded with ec_encode() directly
3577    using the three-tuple (fl,fl+1,ft).
3578 </t>
3579 </section>
3580
3581 <section anchor="encoder-finalizing" title="Finalizing the Stream">
3582 <t>
3583    After all symbols are encoded, the stream must be finalized by
3584    outputting a value inside the current range. Let end be the integer
3585    in the interval [low,low+rng) with the largest number of trailing
3586    zero bits, b, such that end+(1&lt;&lt;b)-1 is also in the interval
3587    [low,low+rng). Then while end is not zero, the top 9 bits of end, e.g.,
3588    <![CDATA[(end>>23), are sent to the carry buffer, and end is replaced by
3589    (end<<8&0x7FFFFFFF). Finally, if the value in carry buffer, rem, is]]>
3590    neither zero nor the special value -1, or the carry count, ext, is
3591    greater than zero, then 9 zero bits are sent to the carry buffer.
3592    After the carry buffer is finished outputting octets, the rest of the
3593    output buffer (if any) is padded with zero bits, until it reaches the raw
3594    bits. Finally, rem is set to the
3595    special value -1. This process is implemented by ec_enc_done()
3596    (entenc.c).
3597 </t>
3598 </section>
3599
3600 <section anchor="encoder-tell" title="Current Bit Usage">
3601 <t>
3602    The bit allocation routines in Opus need to be able to determine a
3603    conservative upper bound on the number of bits that have been used
3604    to encode the current frame thus far. This drives allocation
3605    decisions and ensures that the range coder and raw bits will not
3606    overflow the output buffer. This is computed in the
3607    reference implementation to whole-bit precision by
3608    the function ec_tell() (entcode.h) and to fractional 1/8th bit
3609    precision by the function ec_tell_frac() (entcode.c).
3610    Like all operations in the range coder, it must be implemented in a
3611    bit-exact manner, and must produce exactly the same value returned by
3612    the same functions in the decoder after decoding the same symbols.
3613 </t>
3614 </section>
3615
3616 </section>
3617
3618         <section title='SILK Encoder'>
3619           <t>
3620             In the following, we focus on the core encoder and describe its components. For simplicity, we will refer to the core encoder simply as the encoder in the remainder of this document. An overview of the encoder is given in <xref target="encoder_figure" />.
3621           </t>
3622
3623           <figure align="center" anchor="encoder_figure">
3624             <artwork align="center">
3625               <![CDATA[
3626                                                               +---+
3627                                +----------------------------->|   |
3628         +---------+            |     +---------+              |   |
3629         |Voice    |            |     |LTP      |              |   |
3630  +----->|Activity |-----+      +---->|Scaling  |---------+--->|   |
3631  |      |Detector |  3  |      |     |Control  |<+  12   |    |   |
3632  |      +---------+     |      |     +---------+ |       |    |   |
3633  |                      |      |     +---------+ |       |    |   |
3634  |                      |      |     |Gains    | |  11   |    |   |
3635  |                      |      |  +->|Processor|-|---+---|--->| R |
3636  |                      |      |  |  |         | |   |   |    | a |
3637  |                     \/      |  |  +---------+ |   |   |    | n |
3638  |                 +---------+ |  |  +---------+ |   |   |    | g |
3639  |                 |Pitch    | |  |  |LSF      | |   |   |    | e |
3640  |              +->|Analysis |-+  |  |Quantizer|-|---|---|--->|   |
3641  |              |  |         |4|  |  |         | | 8 |   |    | E |->
3642  |              |  +---------+ |  |  +---------+ |   |   |    | n |14
3643  |              |              |  |   9/\  10|   |   |   |    | c |
3644  |              |              |  |    |    \/   |   |   |    | o |
3645  |              |  +---------+ |  |  +----------+|   |   |    | d |
3646  |              |  |Noise    | +--|->|Prediction|+---|---|--->| e |
3647  |              +->|Shaping  |-|--+  |Analysis  || 7 |   |    | r |
3648  |              |  |Analysis |5|  |  |          ||   |   |    |   |
3649  |              |  +---------+ |  |  +----------+|   |   |    |   |
3650  |              |              |  |       /\     |   |   |    |   |
3651  |              |    +---------|--|-------+      |   |   |    |   |
3652  |              |    |        \/  \/            \/  \/  \/    |   |
3653  |  +---------+ |    |      +---------+       +------------+  |   |
3654  |  |High-Pass| |    |      |         |       |Noise       |  |   |
3655 -+->|Filter   |-+----+----->|Prefilter|------>|Shaping     |->|   |
3656 1   |         |      2      |         |   6   |Quantization|13|   |
3657     +---------+             +---------+       +------------+  +---+
3658
3659 1:  Input speech signal
3660 2:  High passed input signal
3661 3:  Voice activity estimate
3662 4:  Pitch lags (per 5 ms) and voicing decision (per 20 ms)
3663 5:  Noise shaping quantization coefficients
3664   - Short term synthesis and analysis
3665     noise shaping coefficients (per 5 ms)
3666   - Long term synthesis and analysis noise
3667     shaping coefficients (per 5 ms and for voiced speech only)
3668   - Noise shaping tilt (per 5 ms)
3669   - Quantizer gain/step size (per 5 ms)
3670 6:  Input signal filtered with analysis noise shaping filters
3671 7:  Short and long term prediction coefficients
3672     LTP (per 5 ms) and LPC (per 20 ms)
3673 8:  LSF quantization indices
3674 9:  LSF coefficients
3675 10: Quantized LSF coefficients
3676 11: Processed gains, and synthesis noise shape coefficients
3677 12: LTP state scaling coefficient. Controlling error propagation
3678    / prediction gain trade-off
3679 13: Quantized signal
3680 14: Range encoded bitstream
3681
3682 ]]>
3683             </artwork>
3684             <postamble>Encoder block diagram.</postamble>
3685           </figure>
3686
3687           <section title='Voice Activity Detection'>
3688             <t>
3689               The input signal is processed by a VAD (Voice Activity Detector) to produce a measure of voice activity, and also spectral tilt and signal-to-noise estimates, for each frame. The VAD uses a sequence of half-band filterbanks to split the signal in four subbands: 0 - Fs/16, Fs/16 - Fs/8, Fs/8 - Fs/4, and Fs/4 - Fs/2, where Fs is the sampling frequency, that is, 8, 12, 16, or 24&nbsp;kHz. The lowest subband, from 0 - Fs/16 is high-pass filtered with a first-order MA (Moving Average) filter (with transfer function H(z) = 1-z^(-1)) to reduce the energy at the lowest frequencies. For each frame, the signal energy per subband is computed. In each subband, a noise level estimator tracks the background noise level and an SNR (Signal-to-Noise Ratio) value is computed as the logarithm of the ratio of energy to noise level. Using these intermediate variables, the following parameters are calculated for use in other SILK modules:
3690               <list style="symbols">
3691                 <t>
3692                   Average SNR. The average of the subband SNR values.
3693                 </t>
3694
3695                 <t>
3696                   Smoothed subband SNRs. Temporally smoothed subband SNR values.
3697                 </t>
3698
3699                 <t>
3700                   Speech activity level. Based on the average SNR and a weighted average of the subband energies.
3701                 </t>
3702
3703                 <t>
3704                   Spectral tilt. A weighted average of the subband SNRs, with positive weights for the low subbands and negative weights for the high subbands.
3705                 </t>
3706               </list>
3707             </t>
3708           </section>
3709
3710           <section title='High-Pass Filter'>
3711             <t>
3712               The input signal is filtered by a high-pass filter to remove the lowest part of the spectrum that contains little speech energy and may contain background noise. This is a second order ARMA (Auto Regressive Moving Average) filter with a cut-off frequency around 70&nbsp;Hz.
3713             </t>
3714             <t>
3715               In the future, a music detector may also be used to lower the cut-off frequency when the input signal is detected to be music rather than speech.
3716             </t>
3717           </section>
3718
3719           <section title='Pitch Analysis' anchor='pitch_estimator_overview_section'>
3720             <t>
3721               The high-passed input signal is processed by the open loop pitch estimator shown in <xref target='pitch_estimator_figure' />.
3722               <figure align="center" anchor="pitch_estimator_figure">
3723                 <artwork align="center">
3724                   <![CDATA[
3725                                  +--------+  +----------+
3726                                  |2 x Down|  |Time-     |
3727                               +->|sampling|->|Correlator|     |
3728                               |  |        |  |          |     |4
3729                               |  +--------+  +----------+    \/
3730                               |                    | 2    +-------+
3731                               |                    |  +-->|Speech |5
3732     +---------+    +--------+ |                   \/  |   |Type   |->
3733     |LPC      |    |Down    | |              +----------+ |       |
3734  +->|Analysis | +->|sample  |-+------------->|Time-     | +-------+
3735  |  |         | |  |to 8 kHz|                |Correlator|----------->
3736  |  +---------+ |  +--------+                |__________|          6
3737  |       |      |                                  |3
3738  |      \/      |                                 \/
3739  |  +---------+ |                            +----------+
3740  |  |Whitening| |                            |Time-     |
3741 -+->|Filter   |-+--------------------------->|Correlator|----------->
3742 1   |         |                              |          |          7
3743     +---------+                              +----------+
3744
3745 1: Input signal
3746 2: Lag candidates from stage 1
3747 3: Lag candidates from stage 2
3748 4: Correlation threshold
3749 5: Voiced/unvoiced flag
3750 6: Pitch correlation
3751 7: Pitch lags
3752 ]]>
3753                 </artwork>
3754                 <postamble>Block diagram of the pitch estimator.</postamble>
3755               </figure>
3756               The pitch analysis finds a binary voiced/unvoiced classification, and, for frames classified as voiced, four pitch lags per frame - one for each 5&nbsp;ms subframe - and a pitch correlation indicating the periodicity of the signal. The input is first whitened using a Linear Prediction (LP) whitening filter, where the coefficients are computed through standard Linear Prediction Coding (LPC) analysis. The order of the whitening filter is 16 for best results, but is reduced to 12 for medium complexity and 8 for low complexity modes. The whitened signal is analyzed to find pitch lags for which the time correlation is high. The analysis consists of three stages for reducing the complexity:
3757               <list style="symbols">
3758                 <t>In the first stage, the whitened signal is downsampled to 4&nbsp;kHz (from 8&nbsp;kHz) and the current frame is correlated to a signal delayed by a range of lags, starting from a shortest lag corresponding to 500&nbsp;Hz, to a longest lag corresponding to 56&nbsp;Hz.</t>
3759
3760                 <t>
3761                   The second stage operates on a 8&nbsp;kHz signal ( downsampled from 12, 16, or 24&nbsp;kHz ) and measures time correlations only near the lags corresponding to those that had sufficiently high correlations in the first stage. The resulting correlations are adjusted for a small bias towards short lags to avoid ending up with a multiple of the true pitch lag. The highest adjusted correlation is compared to a threshold depending on:
3762                   <list style="symbols">
3763                     <t>
3764                       Whether the previous frame was classified as voiced
3765                     </t>
3766                     <t>
3767                       The speech activity level
3768                     </t>
3769                     <t>
3770                       The spectral tilt.
3771                     </t>
3772                   </list>
3773                   If the threshold is exceeded, the current frame is classified as voiced and the lag with the highest adjusted correlation is stored for a final pitch analysis of the highest precision in the third stage.
3774                 </t>
3775                 <t>
3776                   The last stage operates directly on the whitened input signal to compute time correlations for each of the four subframes independently in a narrow range around the lag with highest correlation from the second stage.
3777                 </t>
3778               </list>
3779             </t>
3780           </section>
3781
3782           <section title='Noise Shaping Analysis' anchor='noise_shaping_analysis_overview_section'>
3783             <t>
3784               The noise shaping analysis finds gains and filter coefficients used in the prefilter and noise shaping quantizer. These parameters are chosen such that they will fulfil several requirements:
3785               <list style="symbols">
3786                 <t>Balancing quantization noise and bitrate. The quantization gains determine the step size between reconstruction levels of the excitation signal. Therefore, increasing the quantization gain amplifies quantization noise, but also reduces the bitrate by lowering the entropy of the quantization indices.</t>
3787                 <t>Spectral shaping of the quantization noise; the noise shaping quantizer is capable of reducing quantization noise in some parts of the spectrum at the cost of increased noise in other parts without substantially changing the bitrate. By shaping the noise such that it follows the signal spectrum, it becomes less audible. In practice, best results are obtained by making the shape of the noise spectrum slightly flatter than the signal spectrum.</t>
3788                 <t>Deemphasizing spectral valleys; by using different coefficients in the analysis and synthesis part of the prefilter and noise shaping quantizer, the levels of the spectral valleys can be decreased relative to the levels of the spectral peaks such as speech formants and harmonics. This reduces the entropy of the signal, which is the difference between the coded signal and the quantization noise, thus lowering the bitrate.</t>
3789                 <t>Matching the levels of the decoded speech formants to the levels of the original speech formants; an adjustment gain and a first order tilt coefficient are computed to compensate for the effect of the noise shaping quantization on the level and spectral tilt.</t>
3790               </list>
3791             </t>
3792             <t>
3793               <figure align="center" anchor="noise_shape_analysis_spectra_figure">
3794                 <artwork align="center">
3795                   <![CDATA[
3796   / \   ___
3797    |   // \\
3798    |  //   \\     ____
3799    |_//     \\___//  \\         ____
3800    | /  ___  \   /    \\       //  \\
3801  P |/  /   \  \_/      \\_____//    \\
3802  o |  /     \     ____  \     /      \\
3803  w | /       \___/    \  \___/  ____  \\___ 1
3804  e |/                  \       /    \  \
3805  r |                    \_____/      \  \__ 2
3806    |                                  \
3807    |                                   \___ 3
3808    |
3809    +---------------------------------------->
3810                     Frequency
3811
3812 1: Input signal spectrum
3813 2: Deemphasized and level matched spectrum
3814 3: Quantization noise spectrum
3815 ]]>
3816                 </artwork>
3817                 <postamble>Noise shaping and spectral de-emphasis illustration.</postamble>
3818               </figure>
3819               <xref target='noise_shape_analysis_spectra_figure' /> shows an example of an input signal spectrum (1). After de-emphasis and level matching, the spectrum has deeper valleys (2). The quantization noise spectrum (3) more or less follows the input signal spectrum, while having slightly less pronounced peaks. The entropy, which provides a lower bound on the bitrate for encoding the excitation signal, is proportional to the area between the deemphasized spectrum (2) and the quantization noise spectrum (3). Without de-emphasis, the entropy is proportional to the area between input spectrum (1) and quantization noise (3) - clearly higher.
3820             </t>
3821
3822             <t>
3823               The transformation from input signal to deemphasized signal can be described as a filtering operation with a filter
3824               <figure align="center">
3825                 <artwork align="center">
3826                   <![CDATA[
3827                                      Wana(z)
3828 H(z) = G * ( 1 - c_tilt * z^(-1) ) * -------
3829                                      Wsyn(z),
3830             ]]>
3831                 </artwork>
3832               </figure>
3833               having an adjustment gain G, a first order tilt adjustment filter with
3834               tilt coefficient c_tilt, and where
3835               <figure align="center">
3836                 <artwork align="center">
3837                   <![CDATA[
3838                16                                 d
3839                __                                __
3840 Wana(z) = (1 - \ (a_ana(k) * z^(-k))*(1 - z^(-L) \ b_ana(k)*z^(-k)),
3841                /_                                /_
3842                k=1                               k=-d
3843             ]]>
3844                 </artwork>
3845               </figure>
3846               is the analysis part of the de-emphasis filter, consisting of the short-term shaping filter with coefficients a_ana(k), and the long-term shaping filter with coefficients b_ana(k) and pitch lag L. The parameter d determines the number of long-term shaping filter taps.
3847             </t>
3848
3849             <t>
3850               Similarly, but without the tilt adjustment, the synthesis part can be written as
3851               <figure align="center">
3852                 <artwork align="center">
3853                   <![CDATA[
3854                16                                 d
3855                __                                __
3856 Wsyn(z) = (1 - \ (a_syn(k) * z^(-k))*(1 - z^(-L) \ b_syn(k)*z^(-k)).
3857  &nb